相異成本下異質產品的多寡頭古諾模型

張數，盧虎生

摘 要：針對行業內執行產品質量標準，生產商可選擇生產各質量等級產品的情形，本文建立了相異成本下異質產品的多寡頭古諾模型。在線性反需求函數下，用數值方法求解了擴展古諾模型，分析了成本對均衡解和利潤的影響。研究表明，在本文針對的情形下，生產商自身成本降低導致的利潤增加大于對手成本升高；在生產商內部，具有成本優勢產品的成本降低導致的利潤增加大于不具有成本優勢產品的成本降低。

關鍵詞：博弈論；異質產品；相異成本；古諾模型

0 引言

古諾模型是一個經典的博弈模型，研究雙寡頭壟斷市場及均衡產量問題。近年來，許多學者在寡頭數目、相異成本、差異產品等方面擴展了古諾模型。張明善研究了多個生產商下的一般動態古諾模型；張宇波分別討論了線性反需求函數和非線性反需求函數下的多寡頭動態古諾模型，還有劉新民討論了雙曲線需求函數的多寡頭古諾模型；王強討論了在成本信息不完全的情況下差異產品的廠商古諾模型，廖萍康分別討論了成本函數為線性函數和非線性函數情況下的多寡頭古諾模型等等。

在同質產品的基礎上，具有一定替代程度的差異產品方面也取得了進展。葉和俊借助動態古諾模型，討論同一行業中兩個具有一定替代性的差異化產品在不同情況下競爭的市場均衡結果；方海燕，張薇采用逆向歸納法求出了當產品差異程度不同時，產品市場合作策略與產品市場競爭策略的優劣；王玉靈運用過程創新基準效益的概念和異質產品寡占模型的分析方法，將傳統古諾模型擴展到同類異質產品三方寡占的古諾模型。但這些異質產品的研究不適用執行產品質量標準的行業，本文旨在建立相關模型，用數值方法求解，分析成本差異對均衡解的影響。

1 異質產品的擴展多寡頭古諾模型

本文研究一個相對獨立的市場區域內的產量博弈問題。行業內執行統一的產品質量標準，各生產商可選擇生產若干種質量等級的產品。根據生產成本的差異將生產商分為若干類，每一類生產商的成本函數非常接近。模型的具體假設如下：

（1）在完全信息條件下，每個寡頭都理性地追求利潤最大化；

（2）假設該區域內產品價格不受其它區域的影響，即該區域內產品的價格僅由區域內所有生產商的所有質量等級產品的產量決定；

（3）假設每個寡頭都可以生產m種不同質量等級的產品；

（4）按照產品成本的差異，分為n類生產商；

設 是第 個生產商的第 種質量等級產品的產量， 是市場上（所有生產商）第種產品的總產量。 是第 種產品的價格，n個生產商面臨共同的市場反需求函數：

其中 ，A是常數， 是每種產品消費者最大支付愿望， 是各質量等級產品對產品價格的影響矩陣，反映不同產品間的替代程度。

假設 是第 個生產商的第 種產品的單位成本。各個生產商的決策目標相同，都理性地最大化自身利潤，第 個生產商的得益函數為：

當 時，上述模型為經典的雙寡頭古諾模型。當 時，為多寡頭同質產品古諾模型?？梢?，本文所建立的模型是經典古諾模型的擴展。

2 舉例分析

2.1 設計實驗

考慮市場上有3個生產商，3種質量等級的情況，即n=3，m=3（質量等級按序號從低到高排列），消費者最大支付愿望和替代程度設置為：

以2#生產商的成本為基準，1#生產商具有高質量等級產品的成本優勢，3#生產商則具有低質量等級產品的成本優勢。在所有實驗中，2#生產商的產品成本保持不變， 。假設三個生產商的2#產品的成本都相同， 。1#生產商1#產品的成本高于2#生產商，范圍為15～20，步長為1。1#生產商3#產品的成本低于2#生產商，范圍為55～50，步長為-1。3#生產商1#產品的成本低于2#生產商，范圍為15～10，步長為-1。3#生產商3#產品的成本高于2#生產商，范圍為55～60，步長為1。4因素6水平共設計了1296次實驗。用數值解方法求解各個生產商的均衡產量，利用C++調用LINGO軟件編程，程序退出條件設定為誤差小于，每次實驗都經過幾十次甚至上百次的迭代計算。

2.2 結果分析

首先，分析自身成本與對手成本對于生產商利潤的影響。圖1為3個生產商的利潤隨著成本變化的趨勢。

（1）當三個生產商相應產品的成本相等時（圖1中左上角，1#生產商和3#生產商的1#產品的成本都為15），三個生產商的利潤相等，為467，三種質量等級產品的產量分別為6.84，9.18，5.84。經驗證，此均衡解與解析解完全相同。

（2）1#和3#生產商的利潤均隨著自身成本降低和對手成本增加而增加。1#生產商利潤等值線朝著斜率為-0.3800的梯度方向逐步增加，增加的幅度越來越大，自身成本降低一個單位所導致的利潤增加值是對手成本升高一個單位所導致利潤增加值的2.997倍。3#生產商利潤的梯度方向斜率為-1.3077，利潤比例為3.015：1。

（3）圖1中2#生產商和3#生產商利潤等值線上有明顯的拐點，拐點右側1#生產商不再生產1#產品，3個生產商各質量等級產品的產量等值線見圖2。

當三個生產商的成本完全相等時（a圖的左上角和b圖的右下角），均衡解與圖1相同，三個生產商的利潤均為467。對于1#生產商，其3#產品具有高質量等級成本優勢，其成本降低1個單位，利潤平均增加13.695，其1#產品不具有成本優勢，其成本降低1個單位，利潤平均增加2.352，前者是后者的5.82倍；對于3#生產商，其1#產品具有低質量等級成本優勢成本降低1個單位，利潤平均增加16.549，其3#產品不具有成本優勢，其成本降低1個單位，利潤平均增加1.376，前者是后者的12.03倍。

3 結論

本文建立了成本相異條件下具有多種不同質量等級產品的多寡頭古諾模型，并通過實驗的方法對該模型進行分析，從而得到使企業利潤最大時的最優解，分析實驗結果可得出如下結論：

1）在執行行業產品質量標準的情況下，生產商自身成本降低比對手成本升高，對于利潤的貢獻大。就本文算例，比如1#生產商，本生產商成本減少1導致本生產商利潤增加了2.352，而對手生產商成本增加1導致本生產商利潤增加了0.79，它們對生產商利潤增加的比例為2.997：1。

2）具有成本優勢的產品的成本降低比不具有成本優勢的產品的成本降低，對于生產商利潤的貢獻大。對于生產商來講，自已生產商優勢產品的成本更為重要。就本文算例，比如1#生產商屬于高端產品占成本優勢的生產商，本生產商低端產品成本增加1會使利潤減少2.352，而高端產品成本增加1，使利潤減少13.695；3生產商屬于低端產品成本占優勢的生產商，情況正好相反。本生產商低端產品成本增加1會使利潤減少16.549，而高端產品成本增加1，使利潤減少1.376。

在執行統一產品質量標準、相對獨立的市場區域內，生產商提升利潤的途徑為：應從降低自身生產成本，尤其是具有比較成本優勢的產品成本。

參考文獻：

[1] 張明善.多個生產商下的動態古諾模型分析[J].管理科學學報，2002.10：85-90.

[2] 張宇波.寡占市場中動態古諾模型的建立及穩定性分析[J].系統工程理論與實踐，2003.11：54-59.

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[6] 葉和俊.差異化古諾競爭的一個動態模型[J].大連海事大學學報（社會科學版），2007.06：101-104.

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[8] 王玉靈.同類異質產品三方古諾模型的擴展及應用[J].北京航空航天大學學報，2009.10：1273-1277.