自主探究,促進層次理解

許懷珍

教學片斷一：鋪墊理解

師（出示■、■、■）：怎么理解這些分數的意義？怎么用除法算式來表示它們的意義？

生１：把單位“１”平均分為３份，表示這樣的１份就是■，用除法來表示就是１÷３，除法的結果可以用小數來表示。

……

師：幾個幾分之一就表示成幾分之幾。

師（出示■米、■噸）：怎么理解這兩個分數的意義？和之前的分數比有什么區別？

生２：這兩個分數表示的是數量，而不是比率?！雒妆硎荆泵椎摹?，■噸表示１噸的■，用算式表示就是１÷６＝■（米）、１÷９×７＝■×７＝■（噸），也就是７個■噸是■噸。

師生（小結）：１米、１小時、１噸的幾分之幾，可以直接表示成幾分之幾米、幾分之幾小時或幾分之幾噸等。

教學片斷二：層次探究

師：將１個餅子平均分給４個人，你認為每個人能分到幾分之幾？分到幾個？如果是同樣的３個餅子呢？

生１：把１個餅子平均分成四份，就是１÷４＝■，每人可以分到■個餅子。

生２：當有３個餅子時，將每個餅子平均分成四份，這樣每人可分到１÷４×３＝■（個）餅子。

生３：３個餅子的■，就是一個餅子的■。

師：如果將３個餅子平均分給５個人，你認為每人能分到幾分之幾？分到幾個？

生4：每人可以分到１個餅子的■，那么分３個餅子，每人能分到■個餅子。

師：如果是４個餅子平均分給５個人呢？

生5：４÷５＝１÷５×４，就是１個餅子的■。

師：如果將５個餅子等分給５個人呢？如果是將ａ個餅子平均分給５個人呢？如果是將ａ個餅子平均分給ｂ個人，那么每人分到多少個餅子呢？你怎么想的？（生答略）

師：ａ÷ｂ＝■，說明ａ個餅子等分ｂ份，就是１個餅子等分■份，也就是■個。那么，分數和除法算式之間有什么關系？

學生觀察后發現：除法的被除數相當于分子，除數相當于分母，而分數線則相當于除號，即被除數÷除數＝■，用字母表示為ａ÷ｂ＝■。

此時學生理解不能將整體１等分為０份，由此確定了數域范圍“分數的分子、分母不能為零，除數不能為零”，那么得到的結果就是ａ÷ｂ＝■（ｂ≠０）。

思考：

我根據學生反饋情況進行統計和調查，結果顯示學生對分數與除法這種程序性知識理解的四個水平層次有如下分布情況：其中全部學生都能夠達到水平一的理解（即程序性的技能理解）；有96%的學生達到了水平二的理解（即能夠由動手操作來進行理解）；針對水平三和水平四的理解（即高水平理解），分別有７７％和５９％的學生達到。

１．活動操作，促進直觀理解

在分數與除法學習中，學生容易出現量和率的混淆，于是我讓學生從活動操作中理解一個餅子的幾分之幾就是幾分之幾個，并進行了鋪墊教學。如教學片斷一中從舊知入手進行鋪墊，引導學生理解分數的意義，其目的是為了拓展學生的思維空間，引導他們克服真分數的思維定式。教學片斷二中，我讓學生抓住幾個餅子的幾分之一與一個餅子的幾分之幾之間的關系進行分析討論，強化學生對分數概念中份數定義與商定義之間的聯系。

２．表象操作，深化抽象理解

表象積累能夠有效促進對抽象知識的理解。學生對一個餅子的幾分之一容易理解，但對幾個餅子的幾分之一無法建立抽象認知，此時就要從豐富的表象操作來予以引導。為此，我引導學生一步步鞏固強化，從直觀操作到確認分幾個餅子就有幾個幾分之一，促進他們抽象思維的提升。

３．數字推演，發展形式理解

數字推演到形式理解是理解中的較高層次，教師要盡可能地引導學生提升到這個層次。從后測的數據分析可以看出，這個高層次的理解水平并非學生無可企及，也并非所有學生都可能達到。為此，我緊緊圍繞直觀的活動操作和表象操作引導學生進行活動經驗積累，使學生能夠順利地過渡到數字推演這個環節，直到理解并得到諸如ａ÷ｂ＝■的形式理解。

（責編杜華）

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教學片斷一：鋪墊理解

師（出示■、■、■）：怎么理解這些分數的意義？怎么用除法算式來表示它們的意義？

生１：把單位“１”平均分為３份，表示這樣的１份就是■，用除法來表示就是１÷３，除法的結果可以用小數來表示。

……

師：幾個幾分之一就表示成幾分之幾。

師（出示■米、■噸）：怎么理解這兩個分數的意義？和之前的分數比有什么區別？

生２：這兩個分數表示的是數量，而不是比率?！雒妆硎荆泵椎摹?，■噸表示１噸的■，用算式表示就是１÷６＝■（米）、１÷９×７＝■×７＝■（噸），也就是７個■噸是■噸。

師生（小結）：１米、１小時、１噸的幾分之幾，可以直接表示成幾分之幾米、幾分之幾小時或幾分之幾噸等。

教學片斷二：層次探究

師：將１個餅子平均分給４個人，你認為每個人能分到幾分之幾？分到幾個？如果是同樣的３個餅子呢？

生１：把１個餅子平均分成四份，就是１÷４＝■，每人可以分到■個餅子。

生２：當有３個餅子時，將每個餅子平均分成四份，這樣每人可分到１÷４×３＝■（個）餅子。

生３：３個餅子的■，就是一個餅子的■。

師：如果將３個餅子平均分給５個人，你認為每人能分到幾分之幾？分到幾個？

生4：每人可以分到１個餅子的■，那么分３個餅子，每人能分到■個餅子。

師：如果是４個餅子平均分給５個人呢？

生5：４÷５＝１÷５×４，就是１個餅子的■。

師：如果將５個餅子等分給５個人呢？如果是將ａ個餅子平均分給５個人呢？如果是將ａ個餅子平均分給ｂ個人，那么每人分到多少個餅子呢？你怎么想的？（生答略）

師：ａ÷ｂ＝■，說明ａ個餅子等分ｂ份，就是１個餅子等分■份，也就是■個。那么，分數和除法算式之間有什么關系？

學生觀察后發現：除法的被除數相當于分子，除數相當于分母，而分數線則相當于除號，即被除數÷除數＝■，用字母表示為ａ÷ｂ＝■。

此時學生理解不能將整體１等分為０份，由此確定了數域范圍“分數的分子、分母不能為零，除數不能為零”，那么得到的結果就是ａ÷ｂ＝■（ｂ≠０）。

思考：

我根據學生反饋情況進行統計和調查，結果顯示學生對分數與除法這種程序性知識理解的四個水平層次有如下分布情況：其中全部學生都能夠達到水平一的理解（即程序性的技能理解）；有96%的學生達到了水平二的理解（即能夠由動手操作來進行理解）；針對水平三和水平四的理解（即高水平理解），分別有７７％和５９％的學生達到。

１．活動操作，促進直觀理解

在分數與除法學習中，學生容易出現量和率的混淆，于是我讓學生從活動操作中理解一個餅子的幾分之幾就是幾分之幾個，并進行了鋪墊教學。如教學片斷一中從舊知入手進行鋪墊，引導學生理解分數的意義，其目的是為了拓展學生的思維空間，引導他們克服真分數的思維定式。教學片斷二中，我讓學生抓住幾個餅子的幾分之一與一個餅子的幾分之幾之間的關系進行分析討論，強化學生對分數概念中份數定義與商定義之間的聯系。

２．表象操作，深化抽象理解

表象積累能夠有效促進對抽象知識的理解。學生對一個餅子的幾分之一容易理解，但對幾個餅子的幾分之一無法建立抽象認知，此時就要從豐富的表象操作來予以引導。為此，我引導學生一步步鞏固強化，從直觀操作到確認分幾個餅子就有幾個幾分之一，促進他們抽象思維的提升。

３．數字推演，發展形式理解

數字推演到形式理解是理解中的較高層次，教師要盡可能地引導學生提升到這個層次。從后測的數據分析可以看出，這個高層次的理解水平并非學生無可企及，也并非所有學生都可能達到。為此，我緊緊圍繞直觀的活動操作和表象操作引導學生進行活動經驗積累，使學生能夠順利地過渡到數字推演這個環節，直到理解并得到諸如ａ÷ｂ＝■的形式理解。

（責編杜華）

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教學片斷一：鋪墊理解

師（出示■、■、■）：怎么理解這些分數的意義？怎么用除法算式來表示它們的意義？

生１：把單位“１”平均分為３份，表示這樣的１份就是■，用除法來表示就是１÷３，除法的結果可以用小數來表示。

……

師：幾個幾分之一就表示成幾分之幾。

師（出示■米、■噸）：怎么理解這兩個分數的意義？和之前的分數比有什么區別？

生２：這兩個分數表示的是數量，而不是比率?！雒妆硎荆泵椎摹?，■噸表示１噸的■，用算式表示就是１÷６＝■（米）、１÷９×７＝■×７＝■（噸），也就是７個■噸是■噸。

師生（小結）：１米、１小時、１噸的幾分之幾，可以直接表示成幾分之幾米、幾分之幾小時或幾分之幾噸等。

教學片斷二：層次探究

師：將１個餅子平均分給４個人，你認為每個人能分到幾分之幾？分到幾個？如果是同樣的３個餅子呢？

生１：把１個餅子平均分成四份，就是１÷４＝■，每人可以分到■個餅子。

生２：當有３個餅子時，將每個餅子平均分成四份，這樣每人可分到１÷４×３＝■（個）餅子。

生３：３個餅子的■，就是一個餅子的■。

師：如果將３個餅子平均分給５個人，你認為每人能分到幾分之幾？分到幾個？

生4：每人可以分到１個餅子的■，那么分３個餅子，每人能分到■個餅子。

師：如果是４個餅子平均分給５個人呢？

生5：４÷５＝１÷５×４，就是１個餅子的■。

師：如果將５個餅子等分給５個人呢？如果是將ａ個餅子平均分給５個人呢？如果是將ａ個餅子平均分給ｂ個人，那么每人分到多少個餅子呢？你怎么想的？（生答略）

師：ａ÷ｂ＝■，說明ａ個餅子等分ｂ份，就是１個餅子等分■份，也就是■個。那么，分數和除法算式之間有什么關系？

學生觀察后發現：除法的被除數相當于分子，除數相當于分母，而分數線則相當于除號，即被除數÷除數＝■，用字母表示為ａ÷ｂ＝■。

此時學生理解不能將整體１等分為０份，由此確定了數域范圍“分數的分子、分母不能為零，除數不能為零”，那么得到的結果就是ａ÷ｂ＝■（ｂ≠０）。

思考：

我根據學生反饋情況進行統計和調查，結果顯示學生對分數與除法這種程序性知識理解的四個水平層次有如下分布情況：其中全部學生都能夠達到水平一的理解（即程序性的技能理解）；有96%的學生達到了水平二的理解（即能夠由動手操作來進行理解）；針對水平三和水平四的理解（即高水平理解），分別有７７％和５９％的學生達到。

１．活動操作，促進直觀理解

在分數與除法學習中，學生容易出現量和率的混淆，于是我讓學生從活動操作中理解一個餅子的幾分之幾就是幾分之幾個，并進行了鋪墊教學。如教學片斷一中從舊知入手進行鋪墊，引導學生理解分數的意義，其目的是為了拓展學生的思維空間，引導他們克服真分數的思維定式。教學片斷二中，我讓學生抓住幾個餅子的幾分之一與一個餅子的幾分之幾之間的關系進行分析討論，強化學生對分數概念中份數定義與商定義之間的聯系。

２．表象操作，深化抽象理解

表象積累能夠有效促進對抽象知識的理解。學生對一個餅子的幾分之一容易理解，但對幾個餅子的幾分之一無法建立抽象認知，此時就要從豐富的表象操作來予以引導。為此，我引導學生一步步鞏固強化，從直觀操作到確認分幾個餅子就有幾個幾分之一，促進他們抽象思維的提升。

３．數字推演，發展形式理解

數字推演到形式理解是理解中的較高層次，教師要盡可能地引導學生提升到這個層次。從后測的數據分析可以看出，這個高層次的理解水平并非學生無可企及，也并非所有學生都可能達到。為此，我緊緊圍繞直觀的活動操作和表象操作引導學生進行活動經驗積累，使學生能夠順利地過渡到數字推演這個環節，直到理解并得到諸如ａ÷ｂ＝■的形式理解。

（責編杜華）

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