二次函數最值問題及其解決方法

楊寒英

學生在初中階段接觸最多的，而且覺得比較難以理解的函數便是二次函數.為了使學生更好地理解函數的單調性的作用，筆者補充了一節關于求二次函數最值問題的探究性的課.這節課一方面起到了擴充知識的作用，提高學生對知識的應用能力；另一方面培養學生的探究意識和數形結合的思想方法.

一、分類舉例

1.軸定區間定問題

【例1】 求二次函數f（x）=x2-2x-3在以下區間上的最值.

（1）x∈[-2，0]；（2）x∈[0，3]；（3）x∈[2，4].

分析： f（x）=（x-1）2-4.

①若對稱軸在給定區間的右側或左側，此時函數在該區間上是單調函數，最大值和最小值分別在區間端點處取得，比如本題的（1）（3）小題；

②若對稱軸穿過區間，此時函數在該區間上先減后增，最小值在對稱軸處取得.而最大值在端點處取得.此時只需計算哪個端點處的函數值較大即可，或比較哪個端點距離對稱軸較遠（端點離對稱軸越遠，函數值越大）即可，比如本題的（2）小題；

③函數的最大、最小值只在區間的端點或對稱軸處取得.

2.軸定區間變問題

【例2】 求二次函數f（x）=x2-2x-3在區間[t，t+2]上的值域.

分析：隨著區間位置的改變，對稱軸和區間的相對位置對函數值域的影響便一目了然了.

①當對稱軸位于區間的左側，即t≥1時，函數f（x）在區間[t，t+2]上為增函數，此時f（x）的取值范圍是f（t）≤f（x）≤f（t+2）；

②當對稱軸位于左半區間，即t≤1≤t+1時，函數f（x）在區間[t，t+2]上是先減后增，右端點t+2距離對稱軸較遠，此時f（x）的取值范圍是f（1）≤f（x）≤f（t+2）；

③當對稱軸位于右半區間，即t+1≤1≤t+2時，函數f（x）在區間[t，t+2]上也是先減后增，此時是左端點t距離對稱軸較遠，所以f（x）的取值范圍是f（1）≤f（x）≤f（t）；

④當對稱軸位于區間的右側，即t+2≤1時，函數f（x）在區間[t，t+2]上為減函數，此時f（x）的取值范圍是f（t+2）≤f（x）≤f（t）.

部分學生可能只討論了三種情況，將②③合并，這是出錯的主要原因.

3.軸變區間定問題

【例3】 求函數f（x）=x2-2mx+2在區間[-1，1]上的值域.

分析：對稱軸x=m可改變，對稱軸與區間[-1，1]的相對位置也是變化的，仿照例2可以求出函數的值域.

①當對稱軸位于區間的左側，即m≤-1時，有f（-1）≤f（x）≤f（1）；

②當對稱軸位于左半區間，即-1≤m≤0時，有f（m）≤f（x）≤f（1）；

③當對稱軸位于右半區間，即0≤m≤1時，有f（m）≤f（x）≤f（-1）；

④當對稱軸位于區間的右側，即m≥1時，有f（1）≤f（x）≤f（-1）.

4.軸變區間變問題

【例4】 求函數f（x）=x2-2mx+2在區間[a，b]上的值域.

分析：還是同前面的例子相同的討論.

①當對稱軸位于區間的左側，即當m

②當對稱軸位于左半區間，即a≤m≤

學生在初中階段接觸最多的，而且覺得比較難以理解的函數便是二次函數.為了使學生更好地理解函數的單調性的作用，筆者補充了一節關于求二次函數最值問題的探究性的課.這節課一方面起到了擴充知識的作用，提高學生對知識的應用能力；另一方面培養學生的探究意識和數形結合的思想方法.

一、分類舉例

1.軸定區間定問題

【例1】 求二次函數f（x）=x2-2x-3在以下區間上的最值.

（1）x∈[-2，0]；（2）x∈[0，3]；（3）x∈[2，4].

分析： f（x）=（x-1）2-4.

①若對稱軸在給定區間的右側或左側，此時函數在該區間上是單調函數，最大值和最小值分別在區間端點處取得，比如本題的（1）（3）小題；

②若對稱軸穿過區間，此時函數在該區間上先減后增，最小值在對稱軸處取得.而最大值在端點處取得.此時只需計算哪個端點處的函數值較大即可，或比較哪個端點距離對稱軸較遠（端點離對稱軸越遠，函數值越大）即可，比如本題的（2）小題；

③函數的最大、最小值只在區間的端點或對稱軸處取得.

2.軸定區間變問題

【例2】 求二次函數f（x）=x2-2x-3在區間[t，t+2]上的值域.

分析：隨著區間位置的改變，對稱軸和區間的相對位置對函數值域的影響便一目了然了.

①當對稱軸位于區間的左側，即t≥1時，函數f（x）在區間[t，t+2]上為增函數，此時f（x）的取值范圍是f（t）≤f（x）≤f（t+2）；

②當對稱軸位于左半區間，即t≤1≤t+1時，函數f（x）在區間[t，t+2]上是先減后增，右端點t+2距離對稱軸較遠，此時f（x）的取值范圍是f（1）≤f（x）≤f（t+2）；

③當對稱軸位于右半區間，即t+1≤1≤t+2時，函數f（x）在區間[t，t+2]上也是先減后增，此時是左端點t距離對稱軸較遠，所以f（x）的取值范圍是f（1）≤f（x）≤f（t）；

④當對稱軸位于區間的右側，即t+2≤1時，函數f（x）在區間[t，t+2]上為減函數，此時f（x）的取值范圍是f（t+2）≤f（x）≤f（t）.

部分學生可能只討論了三種情況，將②③合并，這是出錯的主要原因.

3.軸變區間定問題

【例3】 求函數f（x）=x2-2mx+2在區間[-1，1]上的值域.

分析：對稱軸x=m可改變，對稱軸與區間[-1，1]的相對位置也是變化的，仿照例2可以求出函數的值域.

①當對稱軸位于區間的左側，即m≤-1時，有f（-1）≤f（x）≤f（1）；

②當對稱軸位于左半區間，即-1≤m≤0時，有f（m）≤f（x）≤f（1）；

③當對稱軸位于右半區間，即0≤m≤1時，有f（m）≤f（x）≤f（-1）；

④當對稱軸位于區間的右側，即m≥1時，有f（1）≤f（x）≤f（-1）.

4.軸變區間變問題

【例4】 求函數f（x）=x2-2mx+2在區間[a，b]上的值域.

分析：還是同前面的例子相同的討論.

①當對稱軸位于區間的左側，即當m

②當對稱軸位于左半區間，即a≤m≤

學生在初中階段接觸最多的，而且覺得比較難以理解的函數便是二次函數.為了使學生更好地理解函數的單調性的作用，筆者補充了一節關于求二次函數最值問題的探究性的課.這節課一方面起到了擴充知識的作用，提高學生對知識的應用能力；另一方面培養學生的探究意識和數形結合的思想方法.

一、分類舉例

1.軸定區間定問題

【例1】 求二次函數f（x）=x2-2x-3在以下區間上的最值.

（1）x∈[-2，0]；（2）x∈[0，3]；（3）x∈[2，4].

分析： f（x）=（x-1）2-4.

①若對稱軸在給定區間的右側或左側，此時函數在該區間上是單調函數，最大值和最小值分別在區間端點處取得，比如本題的（1）（3）小題；

②若對稱軸穿過區間，此時函數在該區間上先減后增，最小值在對稱軸處取得.而最大值在端點處取得.此時只需計算哪個端點處的函數值較大即可，或比較哪個端點距離對稱軸較遠（端點離對稱軸越遠，函數值越大）即可，比如本題的（2）小題；

③函數的最大、最小值只在區間的端點或對稱軸處取得.

2.軸定區間變問題

【例2】 求二次函數f（x）=x2-2x-3在區間[t，t+2]上的值域.

分析：隨著區間位置的改變，對稱軸和區間的相對位置對函數值域的影響便一目了然了.

①當對稱軸位于區間的左側，即t≥1時，函數f（x）在區間[t，t+2]上為增函數，此時f（x）的取值范圍是f（t）≤f（x）≤f（t+2）；

②當對稱軸位于左半區間，即t≤1≤t+1時，函數f（x）在區間[t，t+2]上是先減后增，右端點t+2距離對稱軸較遠，此時f（x）的取值范圍是f（1）≤f（x）≤f（t+2）；

③當對稱軸位于右半區間，即t+1≤1≤t+2時，函數f（x）在區間[t，t+2]上也是先減后增，此時是左端點t距離對稱軸較遠，所以f（x）的取值范圍是f（1）≤f（x）≤f（t）；

④當對稱軸位于區間的右側，即t+2≤1時，函數f（x）在區間[t，t+2]上為減函數，此時f（x）的取值范圍是f（t+2）≤f（x）≤f（t）.

部分學生可能只討論了三種情況，將②③合并，這是出錯的主要原因.

3.軸變區間定問題

【例3】 求函數f（x）=x2-2mx+2在區間[-1，1]上的值域.

分析：對稱軸x=m可改變，對稱軸與區間[-1，1]的相對位置也是變化的，仿照例2可以求出函數的值域.

①當對稱軸位于區間的左側，即m≤-1時，有f（-1）≤f（x）≤f（1）；

②當對稱軸位于左半區間，即-1≤m≤0時，有f（m）≤f（x）≤f（1）；

③當對稱軸位于右半區間，即0≤m≤1時，有f（m）≤f（x）≤f（-1）；

④當對稱軸位于區間的右側，即m≥1時，有f（1）≤f（x）≤f（-1）.

4.軸變區間變問題

【例4】 求函數f（x）=x2-2mx+2在區間[a，b]上的值域.

分析：還是同前面的例子相同的討論.

①當對稱軸位于區間的左側，即當m

②當對稱軸位于左半區間，即a≤m≤