水平井多段壓裂應力場計算新模型

鄧 燕，尹 建, ，郭建春

（1.西南石油大學 油氣藏地質及開發工程國家重點實驗室，四川 成都 610500；2.中國石油川慶鉆探工程有限公司 鉆采工程技術研究院，四川 廣漢 618300）

1 引 言

水平井多段壓裂改造是提高水平井在低滲儲層應用效果的技術關鍵[1－2]，水平井應力場問題是水平井壓裂研究的重要問題，影響著壓裂過程中裂縫的起裂和延伸。目前對水平井應力場的研究主要考慮井筒內壓、壓裂液滲流效應以及地應力分量等因素造成的應力變化[3－5]，而水平井多段壓裂形成裂縫通常具有先后順序，先壓開的裂縫會在其周圍產生誘導應力場，導致井筒周圍應力場更為復雜，對人工裂縫形成后產生的誘導應力大小目前主要是使用解析模型進行計算，模型可以計算裂縫高度所在的二維平面上的誘導應力大小，無法計算水平井筒周圍水平面上的誘導應力大小，不利于進一步研究受誘導應力干擾下的裂縫延伸過程[6－10]。

本文以均質各向同性的二維平面人工裂縫模型為基礎，利用位移不連續理論，推導建立非等裂縫半長、非等間距和任意裂縫傾角的水力裂縫誘導應力場數學模型，結合井筒內壓等因素產生的應力變化建立起水平井多段壓裂應力場模型。采用應力云圖反映了實例井多段壓裂壓開每條裂縫后水平井筒周圍應力分布，并通過每段破裂壓力值驗證應力場模型的準確性。

2 物理模型

在水平井分段壓裂施工作業時，井壁周圍巖石的實際受力狀態是非常復雜的。如圖1 所示，水平井分段壓裂井筒內壓裂時，井眼內部作用有液柱壓力，外部作用有原地應力，巖石內部存在孔隙壓力，壓裂液由于壓差向地層滲濾引起附加壓力，射孔等引起應力變化以及已壓開裂縫會對井筒周圍產生誘導應力影響。

圖1 水平井多段壓裂井筒示意圖Fig.1 Wellbore sketch of horizontal well staged fracturing

由于在復雜應力條件下井壁巖石有可能發生塑性變形，再加上地層不均質性以及各向異性等因素，使得對井筒周圍應力場的研究較為困難。因此，為了便于分析，假設巖石是均質各向同性的多孔彈性介質，同時處于線彈性狀態，不考慮巖石與壓裂液的物理化學作用，同時假設射孔孔眼前端為圓球狀，在井筒和射孔孔眼之間有良好連通，井筒和孔眼通道有相同的流體壓力，水泥環膠結良好。那么水平井筒周圍的應力滿足疊加原理，可以通過疊加原理得到在各因素綜合作用下的水平井井筒周圍誘導應力場分布，定義壓應力為正，拉應力為負。水平井筒周圍巖石受井筒內壓、地應力、壓裂液滲流、熱應力、射孔和先壓開裂縫綜合作用下的應力場分布為

3 數學模型

3.1 人工裂縫誘導應力場模型

水平井分段壓裂過程中，壓開的裂縫將會在其壁面上產生載荷以平衡張開的巖塊，同時產生誘導應力場，該問題屬于應力邊界問題，采用位移不連續法推導建立人工裂縫誘導應力場模型。位移不連續方法是間接邊界元法的一種，自1976年由Crouch等[11]建立以來，由于其直接以裂隙面上的相對位移為未知量，在處理不連續體問題時更簡單、更方便，因而在巖體工程上受到越來越廣泛的應用，對于水平井壓裂產生的人工裂縫，裂縫張開后的應力場問題與巖體工程中裂隙邊界受外力作用產生相對運動而引起的應力場問題相似，因此，采用位移不連續方法進行研究。

為了研究方便，建立如圖2 所示的局部坐標系（s，n）與總坐標系（x，y），水平井筒方向沿x 方向，將人工裂縫離散成N個邊界單元，對任意邊界單元j，局部坐標系（s，n）與總坐標系（x，y）的傾角為βj，單元j 的位移不連續量記為和和的符號規定為：裂縫的兩邊相向運動時為正；裂縫的正邊相對負邊向左運動時為正。

圖2 坐標示意圖Fig.2 Schematic diagram of coordinate system

3.1.1 應力邊界條件

裂縫內部受到均勻的壓力 σn=p作用，任意單元j 的已知邊界條件可寫為

3.1.2 人工裂縫誘導應力場數學模型

單元i 中點的剪應力和法應力可以由j 單元的位移不連續量通過下式得到[11]：

其表達式分別為

式中： aj為j 單元的半長度(m)。

將式（3）代入到式（2）中可以得到求解人工裂縫誘導應力場數學模型的基本方程組為

該方程組由2N個方程組成，未知量的個數也為2N個，求出各方程中的應力邊界影響因素就可以求出各單元的常位移不連續量，再通過計算任意位置的應力邊界影響系數就可以確定出該位置的誘導應力值。

3.2 水平井射孔井段井筒周圍應力分布模型

將直角坐標系轉換為柱坐標系對井筒周圍的應力狀態進行分析，將水平井井壁視為無限小的變形多孔彈性介質，將水平井井筒和射孔孔眼看成是2個不同尺寸的井眼垂直相交，綜合考慮井筒內壓、應力場、壓裂液滲流條件和溫度變化，根據應力疊加原理，得到水平井射孔完井時水平井筒周圍任意點i 的應力分布式為[12]

式中：E為彈性模量(MPa)；ν為泊松比；Pw為井筒中壓裂液產生的壓力(MPa)；c為壓力修正系數，無因次；σr(i)、σθ'(i)和 σx(i)分別為i 點處的徑向應力、切向應力和軸向應力(MPa)；τrθ(i)、τrx(i)、τθx(i)為i 點處的剪應力分量(MPa)；δ為滲透性系數，無因次；φ為孔隙度，無因次；Pp為孔隙壓力(MPa)；αT為水平井井筒周圍巖石的線性膨脹系數(1/℃)；ξ為多孔彈性系數，無因次；θ為射孔方位角(°)；θ′為裂縫起裂方位角(°)；R為井筒半徑(m)；r為i點距離井筒中心的距離(m)；△T為巖石溫差(℃)。

3.2.1 不存在人工裂縫的應力分布模型

未形成人工裂縫前，（x,y,z）坐標系中的正應力和剪應力分量可以通過坐標變換由原地應力得到[12]：

式中：σH、σh、σv分別為最大水平主應力、最小水平主應力和垂直應力(MPa)；α為水平井方位角(°)。

式（7）、（8）構成了不存在人工裂縫條件下的水平井井筒周圍應力場的數學模型。

3.2.2 存在人工裂縫的應力分布模型

分段壓裂形成人工裂縫后，井筒周圍主應力場由原地應力場和人工裂縫產生的誘導應力場組成，見圖3。根據疊加原理，分段壓裂壓開T-1 條裂縫后井筒周圍任意一點i的應力為[13－14]

式中：σ′H(i)、σ′h(i)、σ′v(i)為i 點處的復合應力分量(MPa)；σx誘導(i,j)和σy誘導(i,j)為第j 條裂縫對位置i 處產生的誘導應力分量(MPa)。

式（8）中σV、σH和 σh分別由和(i)替換，變換為

式（3）、（7）、（9）和（10）構成了存在人工裂縫條件下的水平井井筒周圍應力場的數學模型。

圖3 水平井多裂縫應力分布示意圖Fig.3 Stress distribution of horizontal well with multiple fractures

3.3 模型求解

對不存在、存在人工裂縫的應力分布模型求解主要區別是在于對人工裂縫誘導應力大小的計算，對于不存在人工裂縫的應力分布模型，應力分量都是解析表達式，代入各參數就可以進行求解；對于存在人工裂縫的應力分布模型，根據前面提到的方法確定了任意位置受到的誘導應力大小后將其代入式（9）計算出復合應力分量，再代入式（10）、（7）得到計算位置的各應力分量。

4 模型的驗證與應用

由于應力大小無法監測，因此，不能直接對建立的模型進行驗證。由于地層破裂壓力大小取決于井壁處的應力分布，而破裂壓力值可以監測，因此，使用建立的應力場模型并結合巖石破裂準則預測破裂壓力值，通過與實際施工破裂壓力值對比，間接驗證應力場模型的準確性。地層破裂壓力由應力分布模型結合張性破裂準則迭代得到。

采用某油田一口水平井數據進行應力分析以及模型驗證，該井對2 831.98～2 834.98 m、2 595.07～2 598.07 m、2 461.98～2 464.98 m 共3 層完成壓裂改造，使用PT 軟件進行壓后凈壓力擬合，3 段壓裂的施工參數及裂縫參數見表1。

應力場及破裂壓力計算所用到的地應力參數、儲層參數等數據見表2、3。

第1 段壓裂前，水平井筒周圍應力分量分布見圖4(a)～4(c)，從圖中可以看出，整個水平井筒周圍僅在距離井壁很近的范圍應力存在著極小的變化，在距離井壁稍遠的位置應力不變。在2 831.98～2 834.98 m 進行壓裂后形成一條垂直于水平井筒的

人工裂縫，人工裂縫形成后對水平井筒周圍應力場造成了很大影響，與未形成裂縫前相應的應力分量值對比看，人工裂縫形成后在裂縫尖端出現應力集中，造成應力降低，在裂縫周圍一定區域造成應力值有較大的升高，人工裂縫造成的應力影響不能被忽略。

表1 施工參數及裂縫參數擬合結果Table 1 Fitting results of construction and fracture parameters

表2 應力場及破裂壓力計算基本參數Table 2 Basic calculation parameters of stress field and fracture pressure

表3 儲層參數Table 3 Reservoir parameters

圖4 不存在裂縫和單條裂縫形成后水平井筒周圍應力分布對比Fig.4 Comparison of stress fields around horizontal wellbore between no crack and single crack

對2 595.07～2 598.07 m和2 461.98～2 464.9 m進行壓裂后，形成第2 條人工裂縫和第3 條人工裂縫，水平井筒周圍應力分布分別見圖5、6。從圖中可以看出，人工裂縫數量越多，應力之間干擾越嚴重，水平井筒周圍應力分布越復雜。

圖5 兩條裂縫形成后水平井筒周圍應力分布Fig.5 Stress contours around horizontal wellbore for two cracks

圖6 3 條裂縫形成后水平井筒周圍應力分布Fig.6 Stress contours around horizontal wellbore for three cracks

分別計算未考慮和考慮裂縫誘導應力影響的3條裂縫破裂壓力值，將計算結果與壓裂施工的實際破裂壓力值進行對比，見表4。

第1 段壓裂產生的裂縫是初始裂縫，起裂過程中沒有受到先壓開裂縫的應力干擾，采用不存在人工裂縫的應力分布模型計算結果與實際值誤差2.9%；第2 段和第3 段壓裂裂縫起裂都會受到之前產生裂縫的應力干擾，采用不存在人工裂縫應力分布模型和采用存在人工裂縫應力分布模型得到的破裂壓力值與實際值平均誤差分別為5.1%和3.4%。說明建立的井筒周圍應力分布模型準確性較高，存在先壓開裂縫情況下井筒周圍應力分布應該考慮先壓開裂縫產生的應力影響。

5 結 論

（1）所建立的水平井多段壓裂應力場計算模型不僅考慮了井筒內壓、壓裂液滲流、地應力、熱應力、射孔等因素，還重點考慮了壓開人工裂縫產生的誘導應力影響，模型驗證表明由于考慮了人工裂縫誘導應力影響，計算結果更準確。

（2）人工裂縫產生后會在其周圍產生很大的誘導應力，影響原始地應力，多段壓裂壓開裂縫條數越多，裂縫間干擾越嚴重，水平井筒周圍應力變化越復雜，后續裂縫的起裂和延伸都將會受到影響，在多段壓裂設計中應該對先壓裂縫的誘導應力干擾加以考慮。

[1]中國石油勘探與生產公司.水平井壓裂酸化改造技術[M].北京:石油工業出版社,2011.

[2]曲占慶,溫慶志.水平井壓裂技術[M].北京:石油工業出版社,2009.

[3]程遠方,王桂華,王瑞和.水平井水力壓裂增產技術中的巖石力學問題[J].巖石力學與工程學報,2004,23(14):2463－2466.CHENG Yuan-fang,WANG Gui-hua,WANG Rui-he.Rock mechanics problems in horizontal well fracturing[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2004,23(14):2463－2466.

[4]曾凡輝.水平井壓裂模擬模型及軟件研制[D].成都:西南石油大學,2006.

[5]朱海燕,鄧金根,劉書杰,等.定向射孔水力壓裂起裂壓力的預測模型[J].石油學報,2013,34(3):556－562.ZHU Hai-yan,DENG Jin-gen,LIU Shu-jie,et al.A prediction model for the hydraulic fracture initiation pressure in oriented perforation[J].Acta Petrolei Sinica,2013,34(3):556－562.

[6]曾凡輝,郭建春,劉恒,等.致密砂巖氣藏水平井分段壓裂優化設計與應用[J].石油學報,2013,34(5):959－968.ZENG Fan-hui,GUO Jian-chun,LIU Heng,et al.Optimization design and application of horizontal wellstaged fracturing in tight gas reservoirs[J].Acta Petrolei Sinica,2013,34(5):959－968.

[7]劉洪,胡永全,趙金洲,等.重復壓裂氣井誘導應力場模擬研究[J].巖石力學與工程學報,2004,23(23):4022－4027.LIU Hong,HU Yong-quan,ZHAO Jin-zhou,et al.Simulation study of induced stress field in refracturing gas well[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2004,23(23):4022－4027.

[8]郭建春,尹建,趙志紅.裂縫干擾下頁巖儲層壓裂形成復雜裂縫可行性[J].巖石力學與工程學報,2014,33(8):1589－1596.GUO Jian-chun,YIN Jian,ZHAO Zhi-hong.Feasibility of formation of complex fractures under cracks interference in shale reservoir fracturing[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2014,33(8):1589－1596.

[9]尹建,郭建春,趙志紅,等.射孔水平井分段壓裂破裂點優化方法[J].現代地質,2014,28(6):1307－1314.YIN Jian,GUO Jian-chun,ZHAO Zhi-hong,et al.Fracture rupture point optimization for staged fracturing of perforated horizontal well[J].Geoscience,2014,28(6):1307－1314.

[10]劉立峰,張士誠.通過改變近井地應力場實現頁巖儲層縫網壓裂[J].石油鉆采工藝,2011,33(4):71－74.LIU Li-feng,ZHANG Shi-cheng.Net fracturing by changing the surrounding in-situ stress in shale reservoirs[J].Oil Drilling &Production Technology,2011,33(4):71－74.

[11]CROUCH S L.Solution of plane elasticity problems by the displacement discontinuity method[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering,1976,10(2):301－343.

[12]HOSSAIN M M,RAHMAN M K,RAHMAN S S.A comprehensive monograph for hydraulic fracture initiation from deviated well bores under arbitrary stress regimes[C]//SPE54360,the 1999 SPE Asia Pacific Oil and Gas Conference and Exhibition.Jakarta,Indonesia:[s.n.],1999.

[13]尹建,郭建春,曾凡輝.水平井分段壓裂射孔間距優化方法[J].石油鉆探技術,2012,40(5):67－71.YIN Jian,GUO Jian-chun,ZENG Fan-hui.Perforation spacing optimization for staged fracturing of horizontal well[J].Petroleum Drilling Techniques,2012,40(5):67－71.

[14]郭天魁,張士誠,劉衛來,等.頁巖儲層射孔水平井分段壓裂的起裂壓力[J].天然氣工業,2013,33(12):1－6.GUO Tian-kui,ZHANG Shi-cheng,LIU Wei-lai,et al.Initiation pressure of multi-stage fracking for perforated horizontal wells of shale gas reservoirs[J].Natural Gas Industry,2013,33(12):1－6.