檢測相對于雙基準的直線傾斜度誤差的程序設計

溫英明

(廣州移訊網絡科技有限公司，廣州 510620)

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檢測相對于雙基準的直線傾斜度誤差的程序設計

溫英明

(廣州移訊網絡科技有限公司，廣州 510620)

介紹了檢測相對于雙基準的直線傾斜度誤差的數學處理和程序設計框圖。采用了平行線原則輔助確立包容面，保證最小直徑的圓柱面的軸線與第一基準要素成理論正確角度、平行于第二基準平面，且與第二基準平面距離為圖紙給定的理論值，同時取得定向最小包容區域，從而計算得到直線的傾斜度誤差。

雙基準；傾斜度誤差；數學處理；程序設計；平行線原則

0 引言

傾斜度誤差是指被測實際要素對其相對于基準成一理論角度的理想要素的變動量。傾斜度誤差分為4種：平面對基準直線的傾斜度誤差、平面對基準平面的傾斜度誤差、直線對基準直線的傾斜度誤差和直線對基準平面的傾斜度誤差[1]。前兩種傾斜度誤差的被測要素為平面，后兩種傾斜度誤差的被測要素為直線，其計算方法更加復雜。

對于傾斜度誤差檢測的文獻有不少，但有關采用計算機編程的數學模型方面的文獻不多。關于傾斜度誤差計算的文獻中，對于輔助要素的確定往往借助于被測要素事先擬定的“理想要素”(擬合平面或直線)。這樣的“理想要素”(擬合平面或直線)的方位顯然影響了評定誤差的包容要素方位的正確確定，從而使計算出的誤差將包含原理誤差。文獻[2-4]傾斜度的誤差計算，對于被測要素(面或線)均先進行擬合(以下稱之為擬合法)，再根據擬合后的要素建立輔助要素(面或線)。這樣就無法保證包容實際要素的區域為最小包容區域[5]。由此確立的包容面與最小包容區域的包容面往往不相符,因此計算得到的誤差將包含原理誤差。

直線對基準平面的傾斜度誤差又有單一基準平面和雙基準平面兩種情形。有關評定軸線對雙基準平面在任意方向的傾斜度誤差方面的文獻不多。文獻[6-7]是完全相同的兩篇文章，提出了一種評定軸線對雙基準平面在任意方向的傾斜度誤差。兩文中有幾處把數積式子寫成矢量積式子，估計是筆誤，否則有關式子不成立。該算法通過坐標的旋轉變換確定評定軸線。略去筆誤不說，問題在于該評定軸線在旋轉變換之前是由最小二乘法確定的，與B基準平面一般不平行，而最后又以被測直線上的點到評定軸線的距離來評價傾斜度誤差，評定軸線本身已經不合理，因此無法保證誤差評定符合最小包容區域原則。

以下將介紹筆者研制的評定軸線對雙基準平面在任意方向的傾斜度誤差的數學處理和JAVA程序設計框圖。本計算方法與已有文獻介紹的方法不同，為了表述方便稱之為“平行線原則”。

1 “平行線原則”評定原理

先簡單介紹直線對基準平面的傾斜度誤差定義。對于任意方向的傾斜度誤差值為包容被測實際線，且與基準平面A成一理論角度的圓柱面定向最小區域直徑f(圖1)。具有最小直徑的圓柱面與被測實際線至少有2點或3點接觸。

圖1 直線的傾斜度誤差

對于雙基準平面在任意方向的傾斜度誤差，還必須保證最小直徑的圓柱面的軸線平行于B基準平面，且與B基準平面距離為圖紙給定的理論值。

把包容被測實際線且具有最小直徑的圓柱面的軸線稱為評定軸線，其方向是確定的，即既要與基準A成一理論角度,又要與B基準平面平行。評定軸線的位置被限定在與B基準平面距離為圖紙給定的理論值的平行平面上(“平行線原則”的含義)，卻又尚未完全確定。如何完全確定評定軸線的位置成為解決問題的關鍵。

假設被測直線L對基準平面A的理論傾斜角度為θ，且與B基準平面距離為圖紙給定的理論值t?；鶞势矫鍭和B按國家標準形狀誤差評定規則確定(本文不作詳細介紹)，為默認的正交平面[1]。評定軸線對雙基準平面在任意方向的傾斜度誤差的JAVA程序設計框圖見圖2。

圖2 程序設計框圖

1)輸入被測直線點坐標數據以及基準平面A點坐標數據(或經過一點和法線方向數)、基準平面B點坐標數據(或經過一點和法線方向數)、傾斜角度θ以及被測直線與B基準平面距離t。

2)把基準平面A旋轉為水平面(如果輸入的是點坐標數據則應先求基準平面A法線a),(實際只要旋轉基準平面B和被測直線L的點坐標數據)。

3)求基準平面B法線方向b和位置。

4)把基準平面B繞Z軸旋轉為正平面，然后平移至與XOZ平面相距理論值t(注意平面B的法線正負方向)，使評定軸線(被測直線的理想位置)與XOZ平面重合(只要旋轉和平移被測直線L的點坐標數據)。

5)再把被測直線點坐標數據繞Y軸旋轉理論傾斜角度。目的就是使包容被測直線的圓柱面的軸線(評定軸線)旋轉為鉛垂線，包容被測直線的圓柱面在XOY平面上的投影為圓。

6)求被測直線點坐標水平投影的最小包容圓直徑(實際是最小包容圓柱面直徑)，即是直線對雙基準平面在任意方向的傾斜度誤差。

現在要注意的是這個最小包容圓(最小包容圓柱面)的中心應位于OX軸上(經過上述1)～5)步運算和變換已經位于OX軸上)，但包容圓中心的X坐標值未知。所以最小包容圓直徑的求取與單純的直線度誤差求取方法不同，應該以下面兩種方法求取包容圓中心的X坐標值，以便計算出最小包容圓直徑。

① 任意選取被測直線上一點M(x1,y1,z1)，作OX軸的垂線，與OX軸相交于O1。以O1為圓心，O1M為半徑作圓(圖3)。判別該圓是否包容所有被測點。如果該圓包容所有被測點，則該圓為候選的最小包容圓。

圖3 一點作圓

圖4 二點作圓

② 任意選取被測直線上兩點M(x1,y1,z1)和N(x2,y2,z2)，作中垂線與OX軸相交于O2。以O2為圓心，O2M為半徑作圓(圖4)。判別該圓是否包容所有被測點。如果該圓包容所有被測點，則該圓為候選的最小包容圓。

遍歷所有被測直線上的點，求取所有候選的最小包容圓后，其最小直徑即為直線對雙基準平面在任意方向的傾斜度誤差。

以上方法保證了理論被測要素的方向由基準和理論正確尺寸確定，定位最小包容區域是與公差帶形狀相同、按理論被測要素的位置、包容實際被測要素且具有最小直徑的區域。

2 實例

檢測如圖5的零件。表1是應該輸入的被測軸線的點坐標數據，它是由圓柱孔選取7個截面提取點坐標經過圓度誤差計算而得到的(圓度誤差的計算從略)；表2是應該輸入的基準平面A的數據，它是由上表面提取點坐標經過平面度誤差計算而得到的(平面度誤差的計算從略)；表3是基準平面B的數據，它是由側表面提取點坐標經過平面度誤差計算而得到的。被測軸線理論正確位置與基準平面B距離為80。被測軸線對基準平面A的理論正確角度為60°。計算得到的位置度誤差為0.0849。

表1 被檢測軸線的點坐標數據(每格為一個點的x,y,z)

表2 基準平面A的數據

表3 基準平面B的數據

3 結論

通過如圖5的實例檢驗以及實際應用，本設計軟件計算結果唯一且準確，對于被測要素為直線對雙基準平面在任意方向的傾斜度誤差的評定十分方便，完全符合最小包容原則。

圖5 實例模型

但在計算速度方面，專家建議尚可改進。例如選X坐標相差最大的兩點作中垂線交OX軸于O1點，過此兩點以O1為圓心作圓，若包容所有點，則此圓為所求；若有若干點在圓外，選偏離該圓最遠點C分別與原來兩點作中垂線，可以在OX軸上得到兩個交點。選距離O1最近的交點作圓心，過C點作圓，則此圓為所求。所設計軟件最大特點是，評定被測要素為直線對雙基準平面在任意方向的傾斜度誤差，完全符合評定誤差的基本原則——最小包容原則。

[1] GB/T 1182—2008產品幾何技術規范(GPS)幾何公差形狀、方向、位置和跳動公差標注

[2] 甘永立.形狀和位置誤差檢測.北京：國防工業出版社，1995

[3] 孫華平.基于UG/Open GRIP的面對面傾斜度誤差的評定.北京：工程圖學學報，2008(1)

[4] 蔡改貧.輔助平面法評定平面對平面傾斜度誤差的數學模型.宇航計測技術，1994(12)

[5] 汪愷.形狀和位置公差.北京：中國計劃出版社，2004

[6] 蔡改貧.任意方向軸線對平面傾斜度誤差的評定.實用測試技術，1997(11)

[7] 蔡改貧，羅小燕，劉飛飛,等.多基準軸線對平面傾斜度誤差的解析評定.計量技術,1998(3)

10.3969/j.issn.1000-0771.2015.12.11