用摩擦角巧解靜力學問題

王元立

摘 要：在高中物理競賽中常遇到靜力學問題，計算量比較大，將常規方法與應用摩擦角和全反力解題進行比較，便體現應用摩擦角解題的優勢。 關鍵詞：摩擦角；全反力；物體的平衡 什么是摩擦角？當兩物體相互接觸，如圖1，接觸面之間有摩擦時，支持面對物體具有支持力N和摩擦力f的作用，這兩個力的合力稱為全反力，其作用線與支持面的垂線即支持力的作用線之間形成的偏角為？漬，當達到臨界平衡狀態時，靜摩擦力達到最大值，偏角j也達到了最大值？漬m，如圖2所示，全反力與支持力之間夾角的最大值被稱為摩擦角，由圖可知tan ？漬m== μ，？漬m與μ表明物體之間的摩擦性質。由摩擦角的定義可以知道，全反力的作用線不可能超出摩擦角之外，必在摩擦角之內。因此，一定存在0≤？漬≤？漬m 。 下面通過例題來說明全反力和摩擦角在解決靜力學問題中的優勢。 例題：如圖3所示，質量為m的物體恰好能在傾角為α的固定斜面上勻速下滑，如在物體上施加一個力使物體沿斜面勻速上滑，為了使力取得最小值，這個力與斜面的傾斜角為多大？這個力的最小值是多少？ 解：物理情境I：由物體恰好能在斜面上勻速下滑，受力分析如圖4，列方程mg sin a =μ mg cos α可得μ= tan α。 物理情境II：對物體施加力F，使物體沿斜面勻速上滑，求F的最小值，可有兩種方法。 方法一：數學極值法：受力分析如圖5所示，設力F與斜面之間的夾角為θ，因為物體是勻速運動，處于平衡狀態，物體所受的合外力為0。列平衡方程如下： 沿斜面方向：F cos θ = mg sin α+f

① 垂直于斜面：F sin θ+N = mg cos α

②

f= μN

③ 由①、②、③得： F = mg 要使F取最小值，只要使表達式取最大值，該表達式可以表示為： cos θ+μ sin θ = sin （？漬+θ）

④ 其中取sin ？漬 = ，cos ？漬=

由④式可得，當時sin（？漬+θ）=1時，即？漬+θ= 90°時，F為最小，此時tan ？漬= ， ？漬= arctan，即：當θ= 90°-？漬= arctan μ =α時，F具有最小值，其最小值為：F=mgsin（θ+α）=mgsin2a，F= mg =（sin α sin ？漬+ cos α cos ？漬）mg =2 sin α cos ？漬 mg = mg sin 2α 。 方法二：受力分析如圖6所示，物體受重力mg、全反力F反（支持力N與摩擦力f的合力，且摩擦角？漬= arctan = arctan μ= α）和F，相當于物體在三個力的作用下處于平衡狀態，F反、F的合力與mg大小相等方向相反，畫出平行四邊形。從圖上可以看出，當F與F反垂直時，F取最小值，θ= 90°-α-（90°-α-？漬）= α。 則F=mg sin（？漬+α）=mg sin 2α，F與重力的夾角為90°- 2α，與斜面的夾角為θ=90°-α-（90°-α）=α。 點評：方法一是根據物體的平衡條件，建立坐標系列方程，對學生來說思路比較順暢，但是對數學知識的要求很高。方法二引入了全反力與摩擦角，利用三力平衡的知識做矢量三角形求其最值，有很強的技巧性，數學要求低，且容易計算。兩種方法比較，顯然方法二要簡單得多。 總之，在解決靜力學問題時，恰當地使用摩擦角和全反力可以起到事半功倍的效果。編輯 楊 倩