研究合力隨兩分力夾角變化的規律

陳顯盈　尤愛惠

摘 要：利用EXCEL軟件繪制出合力及其導數（即斜率）隨兩分力夾角變化的圖像，即F-θ圖像和F'（θ）-θ圖像，進而分析曲線變化的特點和規律。

關鍵詞：合力；分力夾角；F-θ圖像；F'（θ）-θ圖像；變化規律

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2015）8-0060-4

1 提出問題

本刊2015年第5期刊登了《用EXCEL研究合力和兩個分力夾角的變化關系》[1]。該文用EXCEL繪制了F-θ圖像，指出了一些錯誤的F-θ圖像。另外，編者對該文提出了建議：用數學分析的方法求和，進而分析圖像斜率的變化規律并確定拐點。因此，筆者采用EXCEL軟件對F-θ圖像和F'（θ）-θ圖像進行繪制，進而分析圖像中曲線變化的特點和規律。

3 繪制圖像與分析結果

1）當兩分力不等時，合力隨夾角變化的規律

以F1=15 N、F2=10 N為例，分別代入（1）（2）式可得，F=（325+300cosθ），F'（θ）=-300sinθ（325+300cosθ）。先新建一個EXCEL文件，再用軟件中的“函數”功能計算出結果。其中，在B1、C1表格中分別輸入函數公式“=SQRT（325+300*COS（A1*3.14159/180））”和“=-300*SIN（A1*3.14159/180）/SQRT（325+ 300*COS（A1 *3.14159/180））”；具體結果見表1。最后，用“圖表”功能中的“XY散點圖”選項分別繪制出F-θ圖像和F'（θ）-θ圖像，具體結果見圖2。

結合表1和圖2可以看出：當θ=0時，斜率為0；在0到180°范圍內，斜率為負數，其絕對值隨著夾角θ的增大而先增大后減??；當θ=180 °時，斜率又為0，在F-θ圖像中此附近表現出“U”字型曲線；在夾角180 °到360 °范圍內，斜率為正數，隨著夾角θ的增大而先增大后減??；當θ=360 °時，斜率又為0。

2）當兩分力相等時，合力隨夾角變化的規律

以F1=F2=15 N為例，代入（3）（4）式可得，F=15（2+2cosθ），F'（θ）=-30sinθ（2+2cosθ）。

同理，用EXCEL軟件計算結果并繪制出F-θ圖像和F'（θ）-θ圖像，具體結果見表2和圖3。

結合表2和圖3可以看出：當θ=0時，斜率為0；在0到180 °范圍內，斜率為負數，其絕對值隨著夾角的增大而一直增大；當θ=180 °時，斜率公式中分母為0，顯示“#DIV/0”，其實在附近F-θ圖像中斜率從-30突變為30，會表現出“V”字型曲線；在夾角180 °到360 °范圍內，斜率為正數，隨著夾角θ的增大而一直變??；當θ=360 °時，斜率又為0。

3）不同分力時，合力隨夾角變化的規律

在F1為15 N，而F2分別為1 N、4 N、7 N、10 N、13 N、15 N時，代入（2）式并用mathematica軟件繪制在同一坐標中，結果如圖4所示?？梢钥闯觯寒攦煞至Σ幌嗟葧r，導數絕對值在0到180 °范圍內先增大后減小，其拐角在90 °到180 °之間，在兩分力越接近時，曲線拐角越靠近180 °；當兩分力相等時，導數絕對值在0到180 °范圍內一直增大，即拐角在180 °處。

4 總結規律

對于合力及其導數（即斜率）隨兩分力夾角變化的曲線，其大致規律總結如下：

對于合力的變化規律，不管兩個分力是否相等，當θ=0時，合力最大，為F1+F2；在0到180 °范圍內，合力F隨著兩分力夾角θ的增大而減??；當θ=180 °時，合力最小，為F1-F2；在180 °到360 °范圍內，合力F隨著夾角θ的增大而增大；當θ=360 °時，合力又最大。

對于合力導數（即斜率）的變化規律，在θ=0處，不管兩個分力是否相等，F'（θ）都為0，即F-θ曲線的斜率為0，說明曲線剛開始都比較平緩再慢慢變陡。其最大的不同之處是在θ=180 °附近，利用EXCEL在θ=180 °附近繪制的F-θ曲線如圖5所示。當F1≠F2時，F-θ曲線斜率的絕對值先增大后減小，即先從平緩變陡再變平緩，表現出“U”字型曲線；當F1=F2時，F-θ曲線斜率的絕對值一直增大，即從平緩一直變陡，表現出“V”字型曲線，

5 案例分析（常見錯誤F-θ圖像糾正）

案例1：在夾角為0附近的常見錯誤圖像

題目1：有兩個互成角度的共點力，夾角為θ，它們的合力F隨θ變化的關系如圖6（a）所示，根據圖像可知兩共點力的大小分別是 。

圖像分析及糾正：如圖6（a）所示，根據圖像兩力分別2 N和3 N，在180 °附近出現“U”字型曲線，基本正確。但在夾角為0附近，曲線剛開始就較陡，而實際情況是比較平緩，斜率接近0，糾正后的大致圖像如圖6（b）所示。

案例2：在夾角為90 °附近的常見錯誤圖像

題目2：作用在同一質點上的兩個力的合力F隨兩個分力夾角θ（從90 °到270 °）的變化情況如圖7（a）所示，則兩力的大小分別是______N和______N。

圖像分析及糾正：如圖7（a）所示，根據題意可算得兩分力分別為30 N和40 N，在180 °附近出現“U”字型曲線，基本正確。但在夾角為90 °附近，曲線斜率達到無窮大，這與實際相矛盾，應減小其斜率，糾正后的大致圖像如圖7（b）所示。

案例3：在夾角為180 °附近的常見錯誤圖像

題目3：有兩個互成角度的共點力，夾角為θ，它們的合力F隨θ變化的關系如圖8（a）所示，那么這兩個力的大小分別是（ ）

A.1 N和6 N

B.2 N和5 N

C.3 N和4 N

D.4.5 N和2.5 N

圖像分析及糾正：如圖8（a）所示，合力最小值不為0，說明兩分力不相等，而在夾角為弧度附近表現為“V”字型曲線，相互矛盾，所以該圖像描繪錯誤。

糾正該圖有兩種方法：如圖8（b）所示，可將“V”字型曲線改為“U”字型曲線，此時答案為4.5 N和2.5 N；如圖8（c）所示，也可將曲線下移到最小值為0位置，此時答案為都是2.5 N。

參考文獻：

[1]羅志恒.用EXCEL研究合力和兩個分力夾角的變化關系[J].物理教學探討，2015，33（5）：54.

[2]陳顯盈，尤愛惠.用Mathematica演示波的衍射、干涉現象[J].物理通報，2010（11）：95.

（欄目編輯 王柏廬）