微積分在大學數學學習和生活中的應用

王興龍

（西京學院，陜西 西安 710000）

微積分在大學數學學習和生活中的應用

王興龍

（西京學院，陜西 西安 710000）

數學作為一種工具，借助這種工具可以解決現實生活的各種問題。微積分作為數學的一個分支，可以解決工作生活中沒有規律的一些問題。為了更好的應用微積分知識，本文通過闡述微積分知識，分析微積分在大學數學學習中的應用，以及微積分在生活中的應用，進而為其他領域應用微積分提供參考。

大學數學；微積分；應用

隨著計算機的出現，微積分的應用范圍進一步拓寬。伴隨著函數概念的產生，以及科學技術的進步，微積分應運而生。在大學數學教學過程中，微積分發揮著承上啟下的作用，可以說微積分是數學發展史上的一項偉大創造。

1 微積分

在人類發展史上，數學作為一項重要的工具，借助數學人們可以掌握其他自然學科知識，同時在日常工作生活中，借助數學人們可以非常便利地解決實際問題。在大學數學中，微積分作為一個數學分支，其研究對象主要集中在函數的微分、積分，以及一些其他的內容方面?？梢哉f，微積分是大學數學中的基礎性學科，通常情況下，主要包括導數、變化率理論等內容。微積分作為大學數學的重要內容，主要來源于實踐。在日常工作生活中，借助微積分可以解決最大化、最優化等實際問題。在組織開展機械工作的過程中，借助微積分可以進行圖形設計。在園藝施工方面，可以通過微積分對施工面積（可以是不規則圖形）進行計算。在美術繪圖方面，借助微積分可以進行繪圖操作。另外，在企業經營管理方面，利用微積分建立數學模型對未來的經濟形勢進行預測分析。

綜上所述，微積分作為一種最為便捷的工具，廣泛應用于人們的日常生活中。在日常的工作生活中，如果沒有出現大量的實際問題，或者說如果沒有數學家深入的研究分析，那么就不會出現當前的微積分理論。在研究探索微積分理論的過程中，需要以實際情況為基點，對實際問題進行抽象化處理，將其轉化成數學問題?？梢哉f，研究微積分的過程，就是推動社會進步的過程，在這一過程中，需要不斷提出新問題，同時推動數學向前發展，并且在一定程度上提出驗證數學理論的標準體系。

2 微積分在大學數學學習中的應用

在大學數學學習過程中，經常會涉及研究函數方面的內容，在研究過程中，一般需要從量的角度對事物的運動變化進行研究分析，這種研究方法被稱為數學分析。從廣義上來說，數學分析主要包括微積分、函數論等學科內容。但是，為了便于研究分析，通常將數學分析等同于微積分，人為的混淆了數學分析與微積分之間的聯系。對于微積分來說，其基本內容主要涉及微分學、積分學等方面，如例1、2、3所示。其中，微分學主要涉及極限理論、導數、微分等。而對于積分學來說，主要包括定積分和不定積分等內容。由于微積分具有較強的實踐性，從某種意義上可以說，微積分是與應用相互聯系的，比較有代表性的就是，利用微積分學、微分方程等，牛頓從萬有引力定律導出開普勒行星運動三定律。此后，在微積分學的推動下，數學實現了快速的發展，同時也推動了天文學、力學、物理學等學科的發展，并且，微積分在這些學科中的應用范圍越來越廣，尤其是計算機的出現，在一定程度上進一步推動了這些應用的發展。

在解決數學實際問題時，經常會面臨恒力做功的問題，對于這些問題，我們可以利用物理學知識給予解決。但是，如果涉及到的力是變力，在這種情況下，我們就不能簡單地用物理學知識解決了，這時需要借助微積分，通過對位移進行無限細分處理，處理后的結果就是可以將細分后的最小單位視為恒力，然后根據物理公式進行求解，最后對每個單位上的功進行無限求和，所得結果就是變力所做總功。在處理實際問題時，這種方式經常會用到。另外，在物體勻速直線運動中，需要分析位移、速度兩者之間的關系，如果速度是恒定的，那么可以通過s=vt進行計算。但是，物體勻速運動在現實社會中是不存在的，對于這種問題如何確定位移、速度之間的關系呢？對此，可以用微積分進行解決，將物體的運動時間進行無限細分處理，當細分到一定程度時，在每個小單位的時間內速度幾乎不發生變化，在這種情況下，可以將其視為勻速直線運動，然后根據公式進行求解，最后把所有的位移加進行匯總，匯總結果就是總的位移。

通過上述分析，在處理變化的實際問題時，一般需要對變化的量進行無限細分處理，然后在最小單位內視為不變，最后按照恒定問題進行解決。

解：分項積分法，將函數2y=x在點x=1展開，得

解：在求函數極限時，常常不能直接采用基本的函數極限公式求解，需要事先對函數進行變形，將其轉化成基本的函數極限公式類型的函數，然后求解。

3 微積分在生活中的應用

在日常工作生活中，我們遇到的任何問題都可能成為數學的研究對象。實際上，生活的各個方面都隱含著微積分知識，只有通過不斷地挖掘，我們才能真正看清現象的本質，同時將具體的事物用抽象的數學知識表現出來。當我們難以理解某個抽象的事物時，在這種情況下，可以將其還原到具體的事物中，按照具體一抽象一具體的方式不斷深化，最終認清事物的本質。

3.1 排隊等待問題（極限夾逼定理）

在大學數學教學活動，數列極限夾逼定理是一條重要的定律，按照要求，畫出3條相互垂直的空間直線，分別代表3個相互垂直的平面，按照從左到右的順序依次將其記為Yn、a、Zn，假設a是固定的，而Yn、Zn都是無限地接近a，此時，在Yn、Zn兩個平面之間任意放入平面Xn，平面Xn都是向a無限逼近，這就是夾逼定理的相關內容。按照夾逼定理的要求，我們可以將日常生活中的實例進行對號入座，例如，排隊買票問題，當許多人排成一列長隊按順序買票時，如果后面的人越來越多，那么隊伍中間的人就要想還有多長時間才能輪到自己，這是被后面的人擠到購票窗口前，這就是夾逼定理中直觀感受，其中Xn就是參與排隊買票的人，而Yn、Zn就是后面排隊的人，而購票窗口就是事先規定的a。

3.2 投資決策問題

在經濟生活中，初等數學的應用范圍也非常廣泛，例如在解決投資決策問題時，如果以均勻流（將資金按照流水的方式定期地存入銀行）的方式向銀行存款，那么t年后，應該取出多少資金，這種問題可以通過定積分的方式給予解決。例如，一個企業向某項目一次性投入2千萬元，并且一年后建成投產同時獲得回報。如果不考慮資金的時間價值，那么收回投資本金的時間為5年，如果考慮資金的時間價值，那么實際情況就會發生改變。在這種情況下，借助微積分，可以確保投資決策的科學性、合理性，同時可以規避風險，提高投資收益率。

3.3 切菜問題（“微元法”計算立體的體積）

利用微積分解決實際問題時，例如，已知平行截面的面積，如何利用定積分計算空間立體的體積。假設空間存在某個立體面，并且該立體面由一個曲而和垂自于x軸的兩個平面構成，從x軸上任選一點垂直截所圍立體，并且所得截面面積就是已知連續函數，那么就可以通過定積分表示此立體體積。對于這種方式可以通過“微元法”得出結論。在日常生活中，這種方式應用范圍比較廣，可以視為切黃瓜，在水平的桌面上，放置洗凈的黃瓜，用菜刀按照垂直于菜板的方向切掉黃瓜的兩端，如何計算剩余黃瓜的體積？首先如何計算不規則黃瓜的體積？按照垂直于菜板的方向，以較小的間隔切一個黃瓜片，可以將這片黃瓜片視為一個圓柱體，其體積就是截面面積與黃瓜片厚度的乘積。以此類推，如果將這根黃瓜切成若干薄片，分別計算每片黃瓜的體積，然后相加就得出所求黃瓜體積的近似值。如何提高黃瓜體積數值的精度？就是將其進行無限細分處理，然后再進行無限求和，這樣就可以提高計算值的精度。

另外，微積分作為大學數學的一個分支，其應用范圍不僅局限于解決有關變化的實際問題，隨著科學技術的發展，微積分在科學技術領域的應用范圍也在不斷拓寬，并且取得一定的成就。

4 結論

綜上所述，微積分的發明與使用是一個不斷積累的過程，在這一過程中，不僅展現了人類集體智慧的結晶，同時需要專家、學者們的共同努力，不斷改進和完善。在日常的工作生活中，微積分不僅可以解決實際問題，更重要的體現了人類的聰明才智。

［1］ 吳強， 李建平，戴清平. 在軍事院校大一新學員高等數學的教學中融入數學文化的思考與體會［J］. 大學數學， 2012 ， 4（3）： 32-21.

［2］ 喻偉， 高建， 付英定. 理工科大學大面積微積分研究性教學的探索與實踐［J］.大學數學， 2014， 25 （4）： 51-54.

O172；O1-4

A

1003-5168（2015）11-279-02