非靜態混合細分法

閆飛一， 鄭紅嬋

(西北工業大學理學院應用數學系，陜西 西安 710129)

非靜態混合細分法

閆飛一， 鄭紅嬋

(西北工業大學理學院應用數學系，陜西 西安 710129)

提出了一種含參數b的非靜態Binary混合細分法，當參數取0、1時，分別對應已有的非靜態四點C1插值細分法及C-B樣條細分法。用漸進等價定理證明了對任意 (0,1]區間的參數其極限曲線為C2連續的。從理論上證明了細分法對特殊函數的再生性，及其對圓和橢圓等特殊曲線的再生性，并通過實驗對比說明了對任意的[0,1]區間的參數，該細分法都能再生圓和橢圓等特殊曲線，而與其漸進等價的靜態細分法則不具備該性質。將該細分法推廣為含局部控制參數的廣義混合細分法，從而可以達到局部調整極限曲線的目的。

非靜態混合細分法；C-B樣條；圓，橢圓；局部參數

細分過程定義了一種在初始多邊形(網格)上按照一定的細分規則通過不斷加細而得到的光滑極限曲線(曲面)，按照細分規則是否隨著細分次數的變化而改變，可將細分法分為非靜態細分法和靜態細分法；按照極限曲線是否經過初始控制頂點，又可將其分為插值細分法和逼近細分法。在幾何外形設計和機器制造中，圓、橢圓等特殊曲線具有特別重要的地位，而大多數靜態細分法不能精確構造這些特殊曲線，所以能夠再生這些特殊曲線的非靜態細分法成為近年來研究的熱點。

由文獻[1-5]可知，用非靜態插值細分法可再生圓、橢圓、心形線及其他圓錐曲線等。此外，文獻[6-8]介紹了圓、橢圓等特殊曲線的非靜態逼近細分生成方法。逼近細分法通常具有更高的連續性，而插值細分法則可以更好地逼近初始多邊形。在一定條件下，兩種細分法可以相互轉化甚至共同包含于一個混合細分法。文獻[9-10]提到幾種插值和逼近細分法相互轉換的方法。文獻[11-12]給出兩種靜態混合細分法，隨著參數的改變可得到包含插值和逼近的細分曲線。但上述混合細分法不具備再生圓、橢圓等特殊曲線的性質。Jeong等[13]通過類指數樣條法構造出一類含參數的非靜態細分法，在特殊參數下該細分法可為插值細分法或逼近細分法，且其極限曲線可再生圓、螺線等。本文提出另外一種可以再生特殊曲線的非靜態混合細分構造法，并將其推廣到含局部控制參數的廣義混合細分法。

1 非靜態Binary混合細分法

本節在C-B樣條細分法及由其推導出的一個非靜態四點插值細分法基礎上，構造一個非靜態混合細分法。

1.1 由 C-B樣條細分法得到非靜態四點插值細分法

按照文獻[5]提出的生成多項式方法，可由細分法式(1)的生成多項式

構造一種非靜態四點插值細分法。首先引入一個2次多項式 w

k

(z)滿足 w

k

其中

且：

1.2 一種非靜態Binary混合細分法

圖1 C-B樣條細分法式(1)和插值細分法式(3)之間的關系

從而，可以將細分法式(1)改寫為：

將細分法式(3)改寫為：

進一步引入參數b∈[0,1]，結合式(4)～(5)可得到一個非靜態混合細分法：

注：當k→∞時細分法式(6)收斂于靜態混合細分法：

2 連續性分析

引理 1. 式(7)所表示的靜態細分法Sa的生成多項式為其中，

引理 2. 式(6)所表示的非靜態細分法 Sak的

證明. (1)由三角函數性質易證

(2) 按照同樣的方法，易證式②成立。

引理4. 對任意的b∈(0,1]，生成多項式 h(z)式(8)所對應的細分法Sh是C1連續的。

證明. 記Sh的一階差分細分法為其生成多項式為

因為：

從而由漸進等價定理[15]及細分法S的連續性與其一階差分細分法的收斂性之間關系[16]可知引理4成立。

引理 5. 生成多項式 hk(z)式(8)所對應的細分法是C1連續的。

證明. 由引理3可得：

進而由漸進等價定理[15]得是C1連續的，故引理5得證。

定理1. 當b∈(0,1]時，式(6)所表示的非靜態細分法是C2連續的；當b=0時，其為C1連續。

證明. 根據非靜態細分法 Cm連續的充分條件[16]，可得當b∈(0,1]時，是C2連續的；又當b= 0時，其為已知的C1連續的非靜態四點插值細分法[1]，故定理1得證。

3 函數及特殊曲線的再生性

本節將證明非靜態混合細分法式(6)可再生圓和橢圓等特殊曲線。

由細分規則式(3)、(11)易得知：

類似地，可證：

引理9. 選取圓r=R上等距分布點：

為初始控制頂點，則由混合細分法式(6)所得的極限曲線為圓

圖2(a)～(b)分別表示由非靜態混合細分法式(6)及靜態混合細分法式(7)細分 8次后所生成的細分曲線，從外到內分別表示b取0、0.4、0.8、1.0時所得的細分曲線。在同一參數下，橫向對比圖2(a)和圖2(b)，不難發現細分法式(6)可以再生圓，在不同參數下，縱向對比圖2(a)中極限曲線，可以看出再生圓的半徑與參數b的大小成反比。

圖2 由非靜態式(6)及靜態式(7)細分法細分8次后所得的曲線(從外到內b分別取0、0.4、0.8、1.0)

圖3給出了圖2中細分曲線相對應的曲率圖。由于對任意的b∈[0,1]細分法式(6)都可以再生圓，所以其細分曲線的曲率處處相等，如圖 3(a)～(d)所示，而細分法式(7)不能再生圓，因而其細分曲線不滿足任意兩點處曲率相等，且曲率總是在控制點處達到最大值(如圖3(a′)～(d′))。

圖3 圖2中細分曲線相對應的曲率圖

4 帶局部參數的混合細分法

圖4刻畫了局部參數對混合細分法式(12)的極限曲線的影響，其中黑線表示初始網格，藍線表示由細分法式(12)細分10次后生成的細分曲線。圖4(a)中令所有頂點參數為0，其細分曲線插值所有的初始點；圖4(b)中所有頂點參數取為1，其細分曲線逼近所有的初始點；圖4(c)中相鄰兩個頂點參數分別為0、1，細分曲線則間隔地插值初始點；圖4(d)～(f)表示對初始點選取[0,1]內不同的參數，極限曲線將隨之改變。

圖4 局部參數對混合細分法式(12)的極限曲線的影響

5 結 論

本文提出了一種Binary非靜態混合細分法，證明了其C2連續性及其對函數和特殊曲線的再生性，并將該細分法推廣到了含局部參數的廣義混合細分法，通過實驗對比說明了該細分法具有再生圓、橢圓等特殊曲線的能力，并用實例說明了含局部參數的廣義混合細分法能夠實現局部插值。在未來的工作中，可以考慮其他特殊曲線及球、橢球等特殊曲面的細分法實現問題。

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Non-Stationary BlendingSubdivisionScheme

Yan Feiyi, Zheng Hongchan
(Department of AppliedMathematics,School ofSciences, Northwestern Polytechnical University, Xi′anShaanxi 710129, China)

A non-stationary blending BinarySubdivisionScheme with a parameter is presented first in this paper. Existing four-point C1interpolating non-stationaryScheme and C-BSplineSubdivisionScheme areSpecial cases of thisSubdivision when the parameter is 0 and 1 respectively. The limit curve of theScheme is C2with any parameter in the interval (0,1], which is proved by using the theory of asymptotic equivalence. Then the abilities of theScheme with any parameter in [0,1] to reproduceSpecial functions andSomeSpecial curves,Such as circle and ellipse, are analyzed, and comparisons with the correspondingStationarySchemes are also given to better demonstrate it. At last, a generalized non-stationary blendingScheme with local control parameter is proposed, which allows local adjustment of the limit curves.

non-stationary blendingSubdivisionScheme; C-BSpline; circle, ellipse; local parameter

TP 391.6

A

2095-302X(2015)02-0178-08

2014-07-13；定稿日期：2014-09-07

國家自然科學基金資助項目(61070233)

閆飛一(1992–)，女，河南平頂山人，碩士研究生。主要研究方向為計算幾何、計算機輔助幾何設計。E-mail：happy01fly@163.com通訊作者：鄭紅嬋(1971–)，女，陜西西安人，教授，博士。主要研究方向為計算幾何、計算機圖形學、計算機輔助幾何設計。E-mail：zhenghc@nwpu.edu.cn