中學生數學觀察能力的培養

郭鳳雷

摘要：數學能力是順利完成數學學習活動所必需一種個性心理特征，在教學中學生往往缺乏條件分析能力、觀察能力。發展數學問題條件的觀察能力是數學學習目標的一個重要組成部分，在教學中要培養學生的通過觀察，聯系數學知識，構造數學模型，進而提升數學問題及解決數學問題的能力。

關鍵詞：數學 ? 觀察能力 ? 培養

DOI：

10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.09.194

觀察，從數學上來說，就是有意識地對事物的數與形的特點進行一番直覺的認識。數學解題雖然與物理、化學、生物上的實驗不同，但也需要通過現象去認識本質，需要抓住問題中的數與形的特點，找出內在的聯系與規律。要想提高自己的解題能力，就得使自己善于觀察。

觀察能力不強的學生，往往審題時看不清題意，解題時找不到突破口，學習概念時不能掌握實質，因而影響學習成績的提高?？梢?，觀察對數學學習是十分重要的。

例如，解方程，

此題按常規解法來解，過程十分繁瑣。若觀察題目結構，可知， ，即，， 于是 。這樣，左邊 ?≥3>2，故原方程無解。由此我們直接通過觀察得到解題的結果。下面我們從以下幾個方面分析：

一、觀察外形，聯想知識

觀察一個問題的條件或結論，其外形與哪些知識相似，于是聯想到有關知識，運用這些知識去解答問題。

例1： 若

則

解析：如果我們細心觀察已知條件的特點，會發現它完全類似于一元二次方程ax2+bx+c=0的判別式△=b2-4ac的形式，于是我們就聯想到可將已知條件（z-x）2-4（x-y）（y-2）=0看作關于t 的二次方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0有等根的條件。在觀察此方程各項系數和為0，方程有等根1，則兩根之積

，所以x+y=2y。

二、觀察局部，各個擊破

對一個數學問題的局部進行觀察，有利于發現解題信息，或把一個問題分成若干個部分，認真觀察局部情況，有局部的突破而使問題逐步得到解決。

例2：在銳角中，求證：

sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC

解析：對不等式做整體處理有困難，因為是銳角三角形，有A+B>90°，0°<90°-B

由正弦性質可知

sinA>sin （90°-B）=cosC>0

同理：

sinB>cosC，sinC>cosA

三式相加既得所證。

三、觀察結論，聯系條件

注意觀察結論與條件之間的關系，尋找解題途徑。

例3：已知αβ為銳角，并且

3sin2α+3sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0。

求證：

解析：結論中有α，2β，聯系所給條件，設法把含β，2α的三角函數式變為含α，2β的三角函數式，在證明就容易了。

由已知得： 3sin2α= ?cos2β ? ? ? ? ? ?①式

3sinαcosα= sin2β ? ? ?②式

①式/②式，得

因為α，β為銳角，

所以

所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，

即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

四、觀察全題，挖掘隱含

搜尋每個細節，盡可能地挖掘隱含條件，最大限度的利用題目所提供的信息。

例4：設x，y∈R，且滿足

則x+y=（ ? ? ?）

A.1 ? ? ? ? ? B.2 ? ? ? ? ? C.3 ? ? ? ? ? D.4

解析：對于原方程不可能解出根，可觀察式子結構，構造函數，利用性質解題， 令

f（x）=x3+2x+sinx，則f（x）的圖像關于原點對稱，由題設

得

即f（x-2）=-f（y-2），（x-2）+（y-2）=0，即

x+y=4。

選D ?。

五、觀察圖形，巧解妙證

數形結合常常能為合理解題提供思路，對圖形特征的觀察，將有助于化繁為簡，巧妙解答。

例5：已知函數

若關于x的方程f2（x）-af（x）=0恰有5個不同的實數解，則a的取值范圍是（ ）

A.（0，1） ?B.（0，2） ?C.（1，2） ?D.（0，3）

解析：設t=f（x），則方程為t2-at=0，解得t=0或t=a，即f（x）=0或f（x）=a，如下圖作出函數的f（x）圖像，由函數圖像可知f（x）=0的解有兩個，故要使f2（x）-af（x）=0，恰有5個不同的解，則方程f（x）=a的解必有三個，此時0

觀察是中學數學學習方法中最基本的方法。在學習中，了解觀察的意義，掌握觀察的特點和作用，是決定觀察質量的前提。恰當地運用觀察，對培養學生觀察能力、提高學習效果有重大意義。并使學生從中產生興趣，從而化被動為主動，積極進行觀察和積累，從中得益。

參考文獻：

[1]呂傳漢等.數學的學習方法.高等教育出版社，1990.

[2]任勇.數學學習指導與教學藝術.人民教育出版社.

（責編 ? 金 ? 東）