住宅間距與日照關系的初步數學分析

魏珈

（北京市第171中學，中國 北京100013）

住宅間距與日照關系的初步數學分析

魏珈

（北京市第171中學，中國 北京100013）

從日照的角度對住宅間距進行了初步數學分析。對影長的計算方法進行了整理，選取計算條件研究了一日不同時刻、正午時刻不同節氣與影長的關系；建立了住宅間距的物理模型和數學模型，并對典型城市的日照間距系數與緯度的關系，不同住宅高度與日照系數的關系進行了研究；最后給出了典型城市的日照間距系數取值范圍。結果表明：一日內太陽高度角和影子的長度隨時間不同而不同，太陽高度角在正午時刻最大，影子的長度在正午的時刻最短。正午時刻一年內不同節氣的太陽高度角和影子的長度是不一樣的，太陽高度角在夏至時最大，冬至時最??；影子的長度在夏至時最短，冬至時最長。緯度不同，日照間距系數也不同，緯度越大日照間距系數越大，即所需的間距越大。樓層越高日照間距系數越大，即所需的間距越大。

住宅；日照；住宅間距；日照間距；太陽高度角

0 引言

隨著我國城市化進程不斷加快，城市高樓尤其是高層住宅日益密集，住宅樓間距對住宅采光的影響越來越大。住宅樓間距大小一方面與城市經濟發展水平有關，但更重要的是與所處的自然條件有關，尤其是與日照的關系尤為密切?；诖?，本文通過查閱相關文獻資料[1-3]，結合所學知識，對住宅間距與日照的關系進行了初步數學分析。

1 影長的計算方法

地球除自西向東自轉外，還繞著太陽公轉。一年之中，太陽離人們的距離和高度是變化的，甚至一天之中也是不同的。因此，在一年四季中，太陽距觀測地點的位置是變化的（主要以太陽高度角來表示）。而太陽高度角的變化又是由物體所在的當地地理位置（緯度）和赤緯角所決定的。

太陽高度角是指太陽光的入射方向和地平面之間的夾角，專業上講太陽高度角是指某地太陽光線與該地作垂直于地心的地表切線的夾角。

太陽高度角的計算公式[1]如下：

式中：H為太陽高度角，°；B為地理緯度；為赤緯角，°；Ω為時角（Ω=15°t，t=n-12，n為時間數）。

赤緯角又稱太陽赤緯，是地球赤道平面與太陽和地球中心的連線之間的夾角。赤緯角的計算公式如下：

式中：n為日數，自1月1日開始計算。

因此，假設物體是一竹竿，其影子的長度，在一年之中、一天之中也是變化的，其影長的大小主要與物體高度和太陽高度角有關。影長與太陽高度角關系示意如圖1所示。

從圖1可以看出，影長的計算公式如下：

式中：l為影長，m；h為物體高度，m；H為太陽高度角，°。

2 最長影長日的比較分析

2.1 一日不同時刻影長的比較分析

從式（1）可以看出，太陽高度角與某地的地理緯度、赤緯角和時角有關，本節將研究某日不同時刻影長的大小。

本節研究選取的計算條件如下：

物體垂直高度：10m

物體所在地緯度：39°54′（北京）

赤緯角：0°

將上述計算條件代入式（1）和式（3），即可計算出當赤緯角為0°時，一日內不同時刻的太陽高度角和影子的長度。見表1。

從表1可以看出，一日內太陽高度角和影子的長度隨時間不同而不同，太陽高度角在正午時刻最大，影子的長度在正午的時刻最短。

2.2 正午時刻不同節氣影長的比較分析

2.1 節中，為方便計算，選取的赤緯角為0°，但實際上，從式（2）可以看出，赤緯角是隨時間而變的。為研究一年中不同時間太陽高度角和影子的長度，本文選取了一年中主要的節氣，通過公式（1）、（2）和（3）來計算。假定研究選取的計算條件除赤緯角外，其他均不變，選取正午時刻，計算可得不同節氣的太陽高度角和影長。見表2。

表2 不同節氣的太陽高度角和影長

從表2可以看出，正午時刻一年內不同節氣的太陽高度角和影子的長度是不一樣的，太陽高度角在夏至時最大，冬至時最??；影子的長度在夏至時最短，冬至時最長。

3 住宅間距的模型建立

3.1 太陽照射時刻的選取

通過2.1節的分析可以看出，一日內影子的長度隨時間不同而不同，俯視看不同時刻太陽位置與影長的示意關系如圖2所示。

從圖2可以看出，雖然在正午時（12時）影長最短，但由于我國住宅多為正南正北布置，北面布置的住宅其被南面的住宅遮擋陽光的時間在正午最大。因此，本文的研究選取正午為計算依據，研究照射時刻為正午時，正南正北房屋受日照遮擋的影響，以此作為住宅間距的依據。

3.2 物理模型的建立

為更好地研究住宅間距與太陽日照的關系，建立住宅間距計算的物理模型，如圖3所示。

圖中：h為北面住宅的高度，m；H為太陽高度角，°；h1為北面住宅的最底層窗下沿距地面高度，m；l為北面住宅與南面住宅的間距，m。3.3 計算模型的建立

在進行住宅間距的計算時，選取的計算條件如下：

1）太陽照射時刻：正午（12時）；

2）窗臺高度：選取h1為1m；

3）住宅間距計算依據：以冬至（冬至這一天太陽高度角最小，影長最長）這一天南向房屋底層房間窗臺以上墻面，能被太陽照到。

根據上述計算條件，從圖3可以得出如下計算公式，見式（4）。

式中：H為太陽高度角，°；h為北面住宅的高度，m；h1為北面南向住宅的最底層窗下沿距地面高度，m；l為住宅間距，m。

將式（4）轉換一下，可得式（5）。

為更好地表示前排樓高h與住宅間距l的關系，可將式（5）轉換為式（6）。

4 典型城市的住宅間距比較研究

我國位于北半球，而且幅員遼闊，南北所跨近 50個緯度，因此同一高度的住宅，其在相同時刻的影長也是不一樣的。本文選取不同我國緯度的典型城市，研究在不同緯度下，日照間距系數的大小。

按照第3節所確定的住宅間距模型，假定南面住宅的高度為10m，根據式（1）-（5），可計算出我國不同緯度的城市的日照間距系數，見表3。

表3 典型城市的日照間距系數

從表3可以看出，緯度不同，日照間距系數也不同，緯度越大日照間距系數越大，即所需的間距越大。

表4 不同高度住宅下的日照間距系數

從表4可以看出，樓層越高日照間距系數越大，即所需的間距越大。

將表4中的數據進行整理，可得出我國不同城市日照間距系數的取值范圍，見表5。

Preliminary Mathematical Analysis of the Relationship Between the Residential Interval and Sunlight

WEI Jia
（Beijing NO.171 Middle School，Beijing 100013,China）

The residential interval was discussed with preliminary mathematical analysis of sunlight.Calculation methods of shadow length were summarized and calculation parameters were selected to determine the influence of different times of one day and different solar terms at noon to the length of shadow.The physical model and mathematical model were established to study the relation between coefficient of sunshine spacing and latitude,and the relation between various residential height and sunshine coefficient in a typical city.Value range of sunshine distance was then provided.The result demonstrated that the solar elevation angle and the length of shadow vary with times of one day as well as solar terms at noon. The solar elevation angle reaches maximum at noon time while the length of shadow reaches the minimum.Also,the solar elevation angle reaches the maximum at the summer solstice and minimum at winter solstice,while the opposite applies to the length of shadow.The coefficient of sunshine distance increases with the increasing latitude as well as the height of building,resulting in the increase of spacing.

Residence；Sunshine；Residential interval；Sunshine distance；Solar elevation angle

魏珈（2000—），女，北京人，學生，就讀于北京市第171中學。