大學數學在其他學科領域中的應用

林洪偉

大學數學在其他學科領域中的應用

林洪偉

本文介紹大學數學在初等數學、物理化學、生物醫學、經濟學、計算機科學等不同學科領域的具體應用，以激發學生學習大學數學的興趣，培養大學生利用大學數學知識分析本專業相關問題，從而提高自己解決專業問題的能力。

大學數學；高等數學；矩陣；離散數學；概率論

大學數學是高等教育的一個重要組成部分，這是因為不論是數學專業，還是非數學專業中的天文學、力學、物理學、化學、生物學、計算機、通信等專業，甚至人文類專業都與大學數學有著密切的聯系，大學數學日趨成為高等院校中幾乎所有專業都要開設的課程。雖然大學數學是各類學科的基礎和工具，但是大多數學生對學習大學數學的目的不明確，不理解為什么要學習大學數學，不知道大學數學在自己專業是否有具體的應用，從而致使學生難以達到大學數學教育的基本要求。要使大學生對大學數學有正確的認識和端正的學習態度，就必須讓他們清楚認識到大學數學學習的重要性，特別是在自己所學專業中的作用，只有這樣才能提高大學生對大學數學的認識，激發大學生學習大學數學的興趣，培養大學生運用所學的大學數學知識、方法去觀察、分析實際問題，從而提高解決實際問題的能力。本文主要介紹大學數學在某些相關學科領域中的一些具體應用。

一、在初等數學教育中的應用

大學數學與初等數學有著密切的聯系，大學數學是初等數學的延伸和深化,站在大學數學的角度看待某些初等數學問題將會使問題的理解變得更深刻和全面。①因此，對數學專業的師范類或有志從事中學數學教育的大學生來說，大學數學的學習將為后面從事中學數學教育提供一定的幫助，在強調大學數學作用時，可以從以下幾方面敘述：

(1)圓的面積公式或者圓周率的由來，從而引入極限的概念；

(2)有特殊曲線的斜率問題到一般曲線的斜率，引入導數的概念，曲線在某點處的斜率實質為該點處的導數；

(3)中學涉及不等式的證明、函數單調性的判斷可以利用導數的知識；

(4)中學很多實際應用問題可以歸結為函數求極值問題，問題解在導數為零的點中選取。

(5)中學有很多平面圖形求面積、立體圖形求體積問題，規則圖形很容易處理，但是對于曲邊梯形面積、曲頂柱體體積問題在分割、求和、取極限過程中的以直代曲、以規則代替不規則的思想方法正是精確與不精確、有限與無限辯證關系的一種體現，導致定積分概念的產生。

大學數學的方法可以使我們居高臨下地去面對初等問題，確定解題思路，幫助我們剖析某些問題的實質，尋求簡捷的求解方法。中學數學中常涉及的大學數學知識有極限、導數、微分、定積分、行列式、向量、概率等問題。

二、在物理學、化學中的應用

中學時期數理化三個學科聯系密切，進入大學以后，物理、化學相關專業的學生更應該清楚大學數學作為工具學科，對物理、化學的發展和研究起到很大的推動作用。微積分是大學數學的核心，它們卻是由物理學的奠基人牛頓在研究經典力學的過程中創立的，化學是一門關于物質存在和轉化的科學，大學數學在化學中的應用同樣相當廣泛②，主要體現在以下幾個方面：

判別式模型為了得到正確的分類邊界，從非單一樣本的數據中抽取出共有的特征。判別式句法分析為了避開聯合概率模型中所要求的獨立性假設，分析方法中采用條件概率模型。其代表模型是賓西法尼亞大學的最大生成樹句法分析器，這是真正意義上的依存句法分析器。但是，非投影問題對系統復雜度是一個很大的挑戰，判別式依存句法的優勢在于對非投影問題的處理分析，該方法更加注重算法復雜度的降低。判別式的句法分析方法和生成式的分析方法一樣，都是進行整個句子內的全局搜索，所以算法復雜度是必須要考慮的問題。判別式方法的一個最大缺陷是它的訓練方法繁瑣，需要重復分析訓練集來迭代參數。

(1)物理學中，很多物理量，例如力、速度、加速度、場強等都是既有大小又有方向的量，稱為向量（或矢量）。當然也有物理量涉及向量的運算，例如力矩為徑向矢量與作用力的數量積；

(2)微分學是高等數學的核心之一，在物理學中具有重要應用，導數概念就來源于變直線運動的瞬時速度，實質為增量比的極限。除了瞬時速度，物理學中還有很多量都具有這樣的特征，例如加速度、角速度、線密度、電流強度等；

(3)高等數學另一核心為積分學，在同濟版的《高等數學》中，定積分概念的引入利用了物理學中變直線運動，同樣的，重積分、曲線積分、曲面積分大多來源于物理學中具體物理量的計算?？偠灾?，積分學在物理學中的應用非常廣泛，例如變直線做功、不均勻構件的質量、不均勻物體的質心、物體的引力、磁感應強度、磁通量等。

(4)高等數學在化學中的應用也相當廣泛，特別對于近代化學，高等數學顯現出其特別的基礎作用，從定量分析到量子化學，從數量分析到計量化學，高等數學在化學中的作用日益增強，所涉及的數學知識也越來越深奧②，例如基元反應的反應速率計算、利用高等數學方法可以證明化學熱力學的結論和推導相關公式。③

三、大學數學在生物醫學上的應用

隨著近代生物學的高速發展，數學在生命科學的作用愈發突出，無論是微觀方向的發展，還是宏觀方向的研究，都必須有精密的數學計算作為推動其前進的不懈動力。④生物數學就是在此基礎上誕生的以數學方法研究和解決生物學問題的一門新興學科。比較經典的生物數學模型有：意大利生物學家D＇Ancona提出的著名的地中海鯊魚問題，數學家Volterra運用微分方程理論成功地解決了這個問題；描述種群增長最簡單的模型是Malthus方程，以及改進的費爾許爾斯特-珀爾方程（Logistic方程）；L.A.Zadeh提出的模糊集合概念，模糊集合適合描述生物學中許多“軟”的模糊現象，為生命現象的數量化提供了新的數學工具等等。

現代醫學發展的總體趨勢是從定性研究向定量研究的轉變，能夠更有效地探索醫學科學領域中物質的量與量關系的規律性，推動醫學科學突破狹隘經驗的束縛，向著定量、精確、可計算、可預測、可控制的方向發展，而這些都需要利用數學的理論知識探索其數量規律。例如：常微分方程可以應用到臨床醫學的定量分析和群體醫學的動態分析；生物統計學、概率論可以為藥物使用、人口統計與流行病、公共衛生管理等作出決策；數學模型可以為臨床醫學、預防醫學等建立醫學數學模型；得到可供人們作出分析、判斷、預測和決策的結果；另外，臨床醫療和醫學科研所涉及的各類醫學儀器都離不開數學和計算機的支持。⑤

四、大學數學在經濟學中的應用

大學數學在經濟學中的應用由來已久，從當今高校開設的各類經濟數學課程可以看出大學數學作為基礎學科在經濟學各學科的發展中起著至關重要的作用。例如連續復利的計算借助了大學數學方法將經濟學中的離散變量進行連續化處理，最終得出連續復利的實質為一數列的極限；經濟學中很多變化率問題，如增長率、邊際問題、彈性問題等都涉及導數的計算；積分學在經濟學中的一個經典應用就是由邊際函數求總函數，例如由邊際成本求總成本；利用微分方程可以分析商品的市場價格與需求量(供給量)之間的函數關系,預測可再生資源的產量、預測商品的銷售量、分析關于國民收入、儲蓄與投資的關系問題等⑥；銀行吸收存款后涉及準備金計算和放款總額需要利用級數來進行計算等。

五、大學數學在計算機科學中的應用

隨著計算機領域科學的飛速發展，我們已身處在又一次的科技革命之中，移動通信、可穿戴設備、物聯網概念的提出和實施改變著人們的生活方式，而現代計算機發展是隨著新的數學問題而產生的，大學數學思想在其中發揮著非常重要的作用，大學數學課程都對計算機科學發展產生重要的影響。

矩陣論在很多領域獲得了廣泛的應用⑦，而矩陣分解在機器學習和模式識別的應用中,矩陣的低秩逼近可以大大降低數據特征的維數,節省存儲和計算資源。另外，稀疏矩陣在國家領空、海域監測中具有重要的應用。

離散數學是現代數學的一個重要分支,在數學中有著重要的應用,同時也是計算機科學中基礎理論的重要課程,對計算機科學的研究和計算機技術的發展有著重大的意義。例如：由離散數學的數理邏輯中的命題與邏輯演算發展而來的數字邏輯被廣泛應用到了計算機科學中,比較突出地表現在計算機程序設計中尤其是硬件設計中；數據結構中的圖和樹這兩個重要概念就是由離散數學中圖論理論引出來的，關系數據模型是以關系數學中的笛卡兒積為理論基礎的。

組合數學是研究離散對象的數學，與計算機所處理的對象是一致的，組合數學在計算機方面的應用極其廣泛，例如Ramsey數在信息檢索、分組交換網設計等計算機科學領域中的重要應用。

大學數學課程除了在上述五個大的方面有重要應用之外，還滲透到各行各業的方方面面中，例如經濟管理、軍事戰爭、工程設計等等，因此如果沒有大學數學的發展，那么人類社會很多方面都難以進步和發展。愛因斯坦曾說，熱愛是最好的老師。希望大學生在充分認識到大學數學應用的廣泛性及重要性同時，能夠熱愛和學好大學數學，把自己專業涉及的問題歸納為數學問題，進而有效地解決問題。

引文注釋

①彭小林，林廣群.高等數學在中學數學教學中的應用[J].西藏教育，2011(11)：26-27.

②李玲.高等數學在不同學科領域中的應用[J].四川文理學院學報，2011(21)：149-151.

③路慶華，張坤玲.高等數學在化學熱力學中的應用[J].石家莊職業技術學院學報，2015 (27)：62-65.

④廖祥,秦晉,劉清成.數學在生物學中的應用[J].科技向導，2011(7)：26.

⑤安建平.淺談高等數學在醫學中的應用[J].數理醫藥學雜志,2000(2).

⑥許玲.論高等數學在經濟學中的作用[J].高等數學，2012(4)：55-55.

⑦HubertLJ,Meulman J J,Heiser W J.Two purposes for matrix factorization.A historical appraisal.SIAM Review,2000（42）：68～82

(作者單位：金陵科技學院)

10.16653/j.cnki.32-1034/f.2016.24.048

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