二次根式運算中的易錯點辨析

在學習二次根式時，同學們由于對有關概念、性質理解不深，在做題的過程中常常會出現似“是”而“非”的錯誤.現就容易出現的一些錯誤進行辨析，從中探尋正確的解法，以避免錯誤的發生.

一、忽視二次根式為正數的前提條件，盲目開方

例1 化簡-a.

錯解：

原式=a-a·=（a-1）.

錯因剖析：上述解法忽視了-a3>0這一隱含條件，即a<0，盲目進行開方，進而導致變形不等價，造成錯解.我們知道=|a|=a（a≥0時）-a（a<0時）.事實上由于與均為算術平方根，應有>0且>0，而a與<0.

正解：原式=-a-a·=（1-a）.

二、沒有正確區分（）2與的意義

例2 計算+（）2

錯解： +（）2=-5+5=0

錯因剖析：本題出錯的原因是沒有準確理解的意義，（）2與的運算順序不同，（）2先開方后乘方，先乘方后開方，這里的表示的是（-5）2的算術平方根，即25的算術平方根，所以=5，（）2表示的是的平方是5.

正解：+（）2=5+5=10.

三、忽視同類二次根式的定義

例3 已知和是同類二次根式，求m的值.

錯解：∵和是同類二次根式，∴2m=4m+4，即m=-2.

錯因剖析：若m=-2，則2m=-4<0，與二次根式的定義相矛盾.兩個根式是同類二次根式，必須滿足以下兩個條件：①是最簡二次根式；②被開方數相同.因此，應將其化簡成2，然后再利用同類根式的值相等這一條件求解.

正解：=2，且2、與是同類根式，∴有=，兩邊平方得：2m=m+1，即m=1.

四、錯用根式的性質

例4 計算：（1）；（2）

錯解：（1）原式==5+12=17；

（2）原式=-=10-6=8.

錯因剖析：錯解錯在套用積的算術平方根性質：=·，符號“”代表開平方，也起著括號作用，對于不能用二次根式性質計算的，應如同先要進行括號內的運算一樣，根號內的運算要首先進行.

注意：≠±

正解：（1）原式===13；

（2）原式===8.

五、忽視題設的隱含條件

例5 若m=，試求-的值.

錯解：-

=-

=-=m-1-

=2--1-（2+）=-1-2

錯因剖析：錯解是由于忽視了題設中 m==2-<1，即m-1<0這一隱含條件.

正解：-

=-

=-=m-1+

=2--1+2+=3.

六、根號外的數（式）與根號內的數（式）約分

例6 計算：.

錯解：原式=+

=+=2+3=5.

錯因剖析：錯在把根號外的“3”與根號內的“12”、“27”直接約分.按運算性質的要求，應將根號內能開得盡方的因數（式）開方后，再與根號外的因式相除.

正解：原式=+=

七、誤用分配律

例7 計算：÷+.

錯解：原式=÷+÷

=×+×

=3+2

錯因剖析：錯解的原因是把和對除數的分配，即（a+b）÷d=（a+b）·=+，誤解為除數對和的分配.

正解： 原式=÷=×==6-6.

八、違背運算順序

例8 計算

÷

錯解：原式=×÷×=×÷×=.

錯因剖析：上面的解法錯在把寫成×時，沒有添加括號，造成運算順序有誤.

正解：原式=×÷（×）

=×÷（×）=÷=.

九、忽視分類討論

例9 將下式分母有理化：.

錯解：原式=

=.

錯因剖析：出錯的原因在于忽視了對字母的討論，從而導致了變形的不等價.事實上，當a=0時，1-=0，進而導致分式的分母為0，并且結果中的分母亦為0，此時分式無意義.

正解：（1）當a=0時，原式=；

（2）當a≠0時，1-≠0，

此時原式=.

十、忽視將計算結果化為最簡二次根式

例10 計算：（5+）（5-2）.

錯解：原式=25-10+5-2.

錯因剖析：錯解中的、不是最簡二次根式，應把它化為最簡二次根式后，再把同類二次根式進行合并計算.

正解：原式=25-10+5- 2=25-10+10-6= 19.