題海無邊，方法為船

張裕剛

摘 要： 學習數學離不開解題教學，反思解題所用到的知識和方法，以及和其他知識的聯系等對提高解題能力非常重要，通過一題多解和多題一解對學生的思維能力進行訓練和拓展，是數學解題教學的重要方法.

關鍵詞： 解題教學 一題多解 多題一解

學好數學的重要途徑是解題，題海戰術固然不對，但離開解題要想學好數學也是萬萬不能的.著名數學家波利亞在《怎樣解題》中將數學解題過程劃分為四個階段：弄清問題—擬定計劃—實現計劃—回顧，這個解題過程中的回顧就是解題反思.解題反思是對整個解題活動的反思，包含內容很廣，如作者的命題意圖是什么，這道題涉及那些知識點、技能、方法、數學思想，這些知識方法對自己而言是否是攔路虎，這道題還有沒有其他解法，解法和結論是否具有普遍性，等等.有效的解題反思能幫助學生梳理知識和方法，提高學生解題能力，減輕學生學業負擔，激發學生學習興趣.本文擬從“一題多解”與“多題一解”的角度談談如何引導學生解題反思，將解題推向深入，努力讓學生達到“做一題，通一類，會一片”的高層次境界.

一、一題多解，培養發散思維能力

吉爾福特提出：“發散思維是一種記憶的廣泛搜索.”發散思維是指思維主體為完成任務或實現目標，充分發揮人的想象力，突破原來的知識圈，沿著不同方向，從不同角度思考，不墨守成規，不拘于傳統方法，沒有固定范圍的局限，由一點向四面八方想開去，由已知探索未知的思維形式，是對同一問題探究不同的甚至是奇異答案的思維方法.

許多數學題重在考查學生思維的全面性、深刻性和靈活性，有多種解法.教學中引導學生從不同角度思考，最大限度調動學生思維的積極性，盡可能觸及學生思維的“最近發展區”，適當點撥引導，讓學生探索新的解題途徑，將思維活動引向深入，獲得成功體驗.

例題1：如圖1，有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，問加工成的正方形零件的邊長是多少？

從以上證法中，根據所想用知識的需要進行構造是幾何證明中添加輔助線的常見思維動因，如何添加輔助線，與我們解題時的思維切入角度有很大關系.

依據圖形背景，聯想所學定理進行構造也是添加輔助線常見思維動因，平時養成多角度思考的習慣，就能在許多看似平凡的地方發現很多不平凡的東西，讓我們受益無窮.

二、多題一解，感悟知識聯系

許多數學題看似不同，但它們的內在本質或者說解題的思路、方法是一致的.在教學中引導學生對這類題目分析、比較，尋求通法、通解，讓他們抓住問題本質，感悟知識間的內在聯系，培養學生求同存異的思維能力，形成數學思想方法.

例題4：如圖10，分別以△ABC的邊AB、AC為一邊向外作正方形AEDB和正方形ACFG，連接CE、BG，求證：BG=CE，BG⊥CE.

分析：證△ABG≌△AEC易得.

讓正方形ACFG繞點A逆時針進行旋轉，其余條件不變，畫出幾何圖形，猜想以上結論是否成立？請說明理由.（用幾何畫板演示）

三、一題多解與多題一解實解題教學的注意事項

1.一題多解教學注意事項

首先要選好題，針對學生實際，選擇具有典型性和代表性的題目，不宜太復雜，但也不能過于簡單.過于復雜既挫傷學生研究學習的積極性，又不利于學生掌握方法，培養思維能力，過于簡單學生沒有興趣，也達不到培養思維的目的.其次，在一題多解教學中，既要注意方法的多樣性又要注意通法通解，把握好思維的開拓和知識方法的落實，如果一味追求多解法的新、奇、巧和深、廣、透，就會造成學生數學問題解決活動的失度和失控，損失一題多解的解題過程對培養學生優秀思維品質的應有效能.另外，學生自我感悟很重要，老師要引導、點撥，在學生思維受阻將學生思維引向深入，突破思維上的一個個關節點，老師千萬不能將一題多解變成自己的個人表演.

2.多題一解教學注意事項

多題一解教學中，選題時要注意題目與題目之間的關聯性，要做到在形式上不同，與方法實質上的相同相統一.題目的呈現由淺入深，通過對簡單題目的訓練得到方法，再解決其他題目，感悟總結題目之間內在的和本質的聯系.在這個訓練過程之中，特別注意選題之間的關聯性.多題一解是建立在“相同要素說”基礎上的，這就要求各個題目之間要有相同的要素，而且是在實質上的相同.若是在形式上也相同，那么各個題目間就缺少區分度，這種訓練不能達到由此及彼的效果；若是在實質上相去甚遠，則訓練也就毫無意義.

老師點撥歸納時，對幾個問題實質的描述上要做到簡潔一般.多題一解中的一般解法是作為一個通式，甚至一個規律出現的，對它的描述必然是簡約的、抽象的，這樣才能抓住各個題目之間解法的普遍性.

結語

課堂教學要體現“以學生發展為本”的教學理念，要求教師必須創造性地使用教材，創造性地設計學生活動.通過一題多解開闊學生思路、發散學生思維，讓學生學會多角度分析和解決問題；通過多題一解，對相關知識進行有效的拓展和遷移，拓展學生的思維深度，分析事物時學會由表及里，抓住事物的本質，找出事物間的內在聯系.

在教育教學工作中，教師要多注重挖掘解題過程對學生思維能力的培養，做到解答題目和訓練思維能力兩者兼顧.本文只是從一題多解和多題一解兩個角度進行了闡述，還有很多解題過程可促進學生的思維能力的發展，這就需要廣大一線教師和科研工作者進行更深入的研究和探討.