例談中考數學中的開放性問題

廖朝煥

摘 要： 新課改的目的已不是將一切知識傳授給學生，而是要讓學生學會學習，學會思考，學以致用，打開思路，大膽創新.本文以近幾年中考數學試題中的開放性問題為例，搜集、歸納、分析、整理這類試題.通過對這類試題的分析和教學，引導學生探索和發現問題，并獨立地用所學知識解決問題.開放性問題的考查和教學為學生提供了廣闊的交流空間，對教師也提出了更高的要求.

關鍵詞： 問題解決 開放題 數學教學

培養創新精神和實踐能力是當前推進素質教育的重點.國家教育部在《初中畢業、升學考試改革的指導意見》中明確指出：“初中畢業、升學考試改革應有利于貫徹國家教育方針，推進中小學實施素質教育……”數學考試應“設計一定的開放性問題”.正是由于各地認真貫徹執行了這一意見和要求，因此在近幾年全國各地中考試題，特別是壓軸題中，開放性問題越來越受到命題者的青睞，也越來越受到廣大初中教師和學生的重視.開放性問題多出現于填空題和解答題中，要有條件開放，結論開放，策略開放，綜合開放等類型，它具有知識覆蓋面大，綜合性強，立意新穎，構思精巧等特點，并有相當的深度和難度.開放探究型試題具有答案不唯一的特征，它主要考查學生思維的靈活性、開放性和創新性，當然創新能力也離不開扎實的基礎知識和基本技能.正因為如此，當前對數學開放性問題的研究已成為數學教學的熱點，而在中考試題中適當設置一些開放性探索性問題無疑對轉變觀念，改進教學，加強創造性思維能力的培養都具有重大意義.現我結合近幾年中考數學試題中出現的開放性問題，對其略加分類和評析，供同仁復習時參考.

一、什么是開放性試題

開放性數學試題是相對于給出了明確的條件和結論的封閉型問題而言的.所謂開放性數學題通常指答案不確定或條件不完備，或具有多種不同解法，或有多種可能的解答等類型的數學問題.關于開放題的條件的有：不完備；可以多余；多余需選擇；不足需補充，等等.關于開放題的答案（結論、解法）的有：不固定；有多種；不唯一；不必唯一；不確定；不必有解，等等.因此，開放題的一個顯著特征是：答案的多樣性（多層次性）.此外，有些資料上把某些探索性問題也歸入開放題，雖然對探索題的研究具有公認的意義，但在討論與研究開放題的時候，是有必要把這兩者加以區別的，但是開放題與探索題的密切關系也是不可否認的.

二、近幾年中考數學試題中的開放題類型

由于開放題在中考中具有其他試題所不可替代的功能，因而備受命題者青睞.從近幾年的中考試卷來看，有以下幾類：

（一）條件開放型試題

條件開放型試題主要是指問題的條件開放，即問題的條件不完備或滿足結論的條件不唯一.解決此類問題的思路是從所給結論出發，逆向探索，逐步探尋其合乎要求的一些條件，從而進行邏輯推理證明，確定滿足結論的條件.

例1：如圖1，在△ABC和△FED中，AD=FC，AB=FE，當添加條件：時，就可得到△ABC≌△FED（只需填寫一個你認為正確的條件）.

說明：開放題的一個顯著特點是：答案的不唯一性，我們只需給出能使結論成立的一個答案即可.探求條件的過程，是一個由果索因的過程，這是數學中一種重要的解題方法——分析法.

例2：試寫出一個關于x、y二元一次方程組，使其解為x=2，y=4，符合要求的方程組為.

分析：我們只要構造出既含x又含y的兩個二元一次方程.構造方程實際上就是尋找x與y之間的數量關系.

說明：方程與函數有著緊密的聯系，如果我們把方程組的解看做對應于平面直角坐標系中的一個點A（2，4），則可以寫出過這個點的任意兩個一次函數的解析式（也是兩個二元一次方程）.

本題在解法上可以用代數的方法來解，也可用幾何的方法來解（形數結合——一種重要的數學思想方法）；可以用待定系數法，運用演繹推理的方法來解，也以可用直覺思維的方法來解，所以本題既是一個條件開放題，又是一個策略開放題.

（二）結論開放型試題

結論開放型試題就是給出問題的條件，根據已知條件探究問題的結論，并且將符合條件的結論一一羅列出來，或者對相應的結論的“存在性”加以推斷，甚至探求條件變化中的結論，這些問題都是結論開放性問題.解決此類題目要求利用條件大膽而合理地猜想，發現規律，得出結論；其基本解題思路是：首先認真剖析題意，充分挖掘題設信息，再由因尋果，順向推理或聯想，最后獲得所求結論.

例3：在平面直角坐標系中，點A在第一象限，點P在x軸上，若以P、O、A為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點P共有（ ）

A.2個 B.3個 C.4個 D.5個

分析：本題主要考查了數形結合和分類討論的數學思想.

例4：如圖2，以等腰三角形ABC的一腰AB為直徑的⊙O交BC于D，過D作DE⊥AC于E，可得結論DE是⊙O的切線.

問：（1）若點O在AB上向點B移動，以O為圓心，OB長為半徑的圓仍交BC于D，DE⊥AC的條件不變，那么上述結論是否還成立？請說明理由.

（2）如果AB=AC=5cm，sinA=，那么圓心O在AB的什么位置時，⊙O與AC相切？

分析：（1）連接OD.∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=∠C，∴OD∥AC，從而可得OD⊥DE，結論仍然成立.

（2）若⊙O與AC相切，設切點為F，連接OF，則由Rt△AOF中可求得OF=，即OB=.（解題過程略）

說明：本例的兩小題都屬于結論不確定性的開放性問題.第1小題是直接從題設條件出發探求結論是否成立；第2小題是從題設的結論出發來探求結論成立的條件，這也是解決這類問題的常用方法.

（三）綜合開放型試題

所謂綜合開放型試題，是指只給出一定的情境，其條件、解題策略與結論都要考生到情境中自行設定或尋找的問題.綜合開放型試題，較多地關注考生創新意識、創造能力與數學應用意識.

例5：某工廠現有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃利用這兩種原料生產A、B兩種產品共50件.已知生產一件A種產品，需用甲種原料9千克，乙種原料3千克，可獲利700元；生產一件B種產品，需用甲種原料4千克，乙種原料10千克，可獲利1200元.

（1）按要求安排A、B兩種產品的生產件數，有哪幾種方案？請你設計出來；

（2）設生產A、B兩種產品獲總利潤為y（元），其中一種產品生產件數為x，試寫出y與x之間的函數關系式，并利用函數的性質說明（1）中哪種生產方案獲總利潤最大？最大利潤是多少？

分析：本題主要考查考生對一元一次不等式組的應用，求一次函數的解析式及一次函數的應用等考點的理解.

參考文獻：

[1]羅養賢.初中總復習指導——數學.廈門：鷺江出版社，2013.

[2]李建周.中考總復習指導——數學.福州：福建人民出版社，2016.