基于FFT的正弦信號幅值估計研究

張　濤，楊炳恒，樊向黨

(海軍航空工程學院 青島校區， 山東 青島　266041)

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基于FFT的正弦信號幅值估計研究

張濤，楊炳恒，樊向黨

(海軍航空工程學院 青島校區， 山東 青島266041)

摘要：為了實現基于FFT求取正弦信號頻率的同時得到信號的幅值，推導了利用Matlab中FFT計算得到的幅值系數與信號真正幅值之間的關系，研究了在仿真中準確估計信號幅值的兩個影響因素，即頻率分辨率和信噪比。針對信號長度小于FFT計算點數時出現的估計誤差，提出了先對信號進行周期延拓再進行FFT計算的方法，并對頻率分辨率進行了重新定義，使其適用范圍更廣。針對信噪比在幅值估計中的影響進行了定量分析，確定了基于FFT估計信號幅值方法的適用范圍以及不同信噪比下的估計精度。

關鍵詞：FFT；幅值估計；頻率分辨率；信噪比

本文引用格式：張濤，楊炳恒，樊向黨.基于FFT的正弦信號幅值估計研究[J].兵器裝備工程學報，2016(7):90-93.

Citationformat:ZHANGTao，YANGBing-heng，FANXiang-dang.ResearchonAmplitudeEstimationofSinusoidSignalBasedonFFT[J].JournalofOrdnanceEquipmentEngineering,2016(7):90-93.

在進行信號處理時，若信噪比較低將很難從時域中得到信號的參數信息，有時信號甚至完全被噪聲所“淹沒”，但是在頻域卻很容易得到信號的參數信息，尤其是信號的頻率。因此，把時域信號轉化為頻域信號，對信號進行頻譜分析是信號處理中最常用的方法。對于實際信號，一般都是在一段連續時間內，使電壓(或電流)信號經過模數轉換，從而得到采樣點有限的離散時間信號，然后對所采集的離散信號進行傅立葉變換得到該信號的頻譜。Matlab中FFT函數可以進行離散傅立葉變換(DFT)的計算，得到信號的頻率成分。而信號的幅值同樣是一個重要的參數，它代表了信號能量的大小，如果在得到信號頻率的同時能夠得到信號的準確幅值，將會給信號檢測和參數估計帶來很大的方便。

準確估計信號的頻率是當前研究的一個熱點問題，國內外很多學者做了大量的工作[1-8]。而對于信號幅值的估計卻少有關注，僅僅有人做了一些理論上的推導[9]，而對在仿真中如何真正實現缺少深入的研究。

本文主要針對基于FFT估計正弦信號幅值展開研究，重點討論在仿真中準確估計信號幅值的影響因素，針對信號長度小于FFT計算點數時出現的估計誤差，提出先對信號進行周期延拓再進行FFT計算的方法，重新定義頻率分辨率的概念，并對信噪比的影響進行定量分析，確定該方法的使用范圍以及估計精度。

1基于FFT估計信號幅值的理論推導

正余弦信號用周期函數表示，即：

(1)

式(1)中：T是函數的周期，且k=0,1,2,…。

正余弦函數滿足Dirichlet條件，可以分解為如下形式的傅立葉級數

(2)

式(2)中：ω=2π/T=2πf為信號的角頻率； f=1/T為信號的頻率；a0為信號的直流分量，an，bn和cn為各次諧波的系數，計算公式如下：

(3)

(4)

在Matlab中，對序列x(n)進行FFT計算后，其系數X(k)與式(4)的計算結果相同，只是n的取值范圍為1≤n≤N。由文獻[10]可得：利用Matlab中的FFT函數計算出各次諧波系數只需乘以2/N，再求模即可得到基于連續信號傅立葉級數等效的各次諧波幅值計算公式，得到各次諧波的真正幅值

(5)

2幅值估計的影響因素

假定仿真信號為：x(t)=10sin(2πf0t)+4sin(6πf0t)+8sin(12πf0t)， f0=200Hz為信號的基頻，采樣頻率 fs=2 000Hz，進行N=1 000點的FFT計算，仿真結果如圖1所示。

可以看到，在時域中很難分清各次諧波的頻率和幅值，但是經過頻譜分析，得到200Hz、600Hz和800Hz3根譜線，與仿真信號相對比，得到的200Hz和600Hz的頻率估計值分別為10和4，沒有誤差，但是沒有得到1 200Hz的譜線，這主要是由于1 200Hz> fs/2不滿足奈奎斯特采樣定理，得到的800Hz的譜線是由頻譜混疊造成的。

如果頻率估計值存在很大誤差，其幅度估計值就沒有實際意義。因此，首先要保證信號滿足奈奎斯特采樣定理，使采樣頻率 fs≥2f( f為信號的頻率)，這是正確估計信號頻率和幅值的前提。

圖1　仿真信號的時域波形及頻譜分析

2.1頻率分辨率的影響

在保證信號滿足奈奎斯特采樣定理后，還必須滿足整周期采樣才能準確估計信號的頻率，否則將會產生頻率泄露，造成“柵欄效應”。整周期采樣的含義就是信號的頻率應該是頻率分辨率的整數倍，通常信號的頻率分辨率定義為采樣頻率與FFT計算點數N的比值，即Δf= fs/N，所以信號的頻率應該滿足 f=MΔf=Mfs/N，其中M為整數。

上述仿真信號不變，對該信號進行N=1 000點的FFT計算，在N不變的情況下，通過改變采樣頻率 fs來改變頻率分辨率，仿真結果如表1所示。

表1　不同頻率分辨率下對信號幅值的估計

由于該信號的頻率 f=200Hz，由表1可以看到，當對信號進行整周期采樣，即頻率分辨率為1、2、2.5時，頻率估計值和幅值估計值都沒有誤差；當非周期采樣，即頻率分辨率為0.6、1.5、1.9時，頻率估計值和幅值估計值都存在誤差。因此，整周期采樣也是基于FFT準確估計信號幅值的一個必要條件。

但上面的仿真程序中設定信號的長度L等于FFT的計算點數N。有時為了準確估計信號的頻率，就必須提高頻率分辨率，在采樣頻率固定不變的情況下，就必須增加FFT計算的點數，而在實際應用中，信號的長度往往不能隨意改變，就有可能出現L

圖2　信號長度改變時對信號幅值的估計

定義R為幅值估計值與真值的比例，則通過圖2可以得到R與L和N的關系：當L

因為在Matlab中FFT函數是如下定義的：當L≥N時，首先對信號進行“截短”；當L

表2　L

當L=500，N=750時，頻率為16Hz、30Hz和48Hz的3個信號都滿足奈奎斯特采樣定理，其中頻率為30Hz的信號是頻率分辨率1(Δf1=fs/L=6Hz)的整周期采樣，頻率為16Hz的信號是頻率分辨率2(Δf2=fs/N=4Hz)的整周期采樣，頻率為48Hz的信號同時是頻率分辨率1和頻率分辨率2的整周期采樣。仿真結果顯示，頻率為16Hz和30Hz的信號幅值估計存在誤差，而頻率為48Hz的信號幅值估計沒有誤差。當L=600，N=1 000時，可得到同樣的結論。

可以發現，當L=N時，頻率分辨率是唯一的，Δf= fs/N=fs/L，整周期采樣的含義也比較明確；但是當L≠N時，頻率分辨率不再唯一，而是存在兩個頻率分辨率(fs/N和 fs/L)，需要重新對整周期采樣的含義進行說明，即需要對頻率分辨率進行重新定義。首先定義物理分辨率Δf1=fs/L和計算分辨率Δf2=fs/N。由仿真結果可知，如果信號的頻率僅僅是Δf1的整數倍或是Δf2的整數倍，幅值估計值仍然會有誤差；如果信號的頻率既是Δf1的整數倍又是Δf2的整數倍則估計值沒有誤差。所以把信號的頻率分辨率重新定義為：Δf={Δf1,Δf2}的最小公倍數，只有信號的頻率是該頻率分辨率的整數倍時才能得到準確的幅值估計，否則會產生誤差。該定義既適用于L≠N的情況，也適用于L=N的情況。

2.2信噪比的影響

以上所有的討論都是在沒有任何噪聲干擾的前提下得到的結果，下面研究噪聲干擾對信號幅值估計的影響。假定采樣頻率 fs=3 000Hz，信號頻率 f=300Hz，L=N=500，滿足奈奎斯特采樣定理和整周期采樣，在沒有噪聲干擾時得到的估計值為真值，通過給信號添加不同信噪比(SNR)的高斯白噪聲，考慮到噪聲的隨機性，在相同信噪比下進行2 000次蒙特卡洛仿真，然后取平均值，仿真結果如表3所示。

可以看到，隨著信噪比的增加，幅值估計誤差越來越小。當SNR>30dB時，誤差小于0.1%，可以忽略不計，近似為真值；當SNR<-20dB時，誤差大于34.55%，已經遠遠偏離真實值，基于FFT估計信號幅值的方法不適用；當SNR>-9dB時，可以得到誤差小于10%的幅值估計值；當SNR=0dB，即信號幅值與噪聲幅值相當時，得到的幅值估計值誤差為3.61%。

當對環境噪聲不清楚時，可以通過給定一個已知信號，設定相應的頻率采樣率、信號長度和FFT計算的點數，使其滿足奈奎斯特采樣定理和整周期采樣，對疊加噪聲后的加噪信號進行FFT計算，基于FFT對信號幅值進行估計，通過得到的幅值估計誤差與表3相比較，可以初步判定此時加噪信號的信噪比和環境噪聲的幅值。

表3　不同信噪比下信號幅值估計誤差的比較

3結論

基于FFT估計信號的幅值是一種簡便的方法，利用Matlab中FFT函數計算出的信號幅值系數只需乘以2/N(N為FFT的計算點數)，再求模便可得到信號的真正幅值。但是采樣頻率 fs、信號頻率 f、信號長度L和FFT計算點數N都會影響信號幅值的準確估計，本文通過對各種影響因素的分析研究，得到以下幾個結論：

1) 沒有噪聲的情況下，只要滿足奈奎斯特采樣定理(即 fs≥2f)和整周期采樣(即信號的頻率應該是頻率分辨率的整數倍)，便可以準確估計信號的幅值。針對L

2) 存在噪聲干擾的情況下，不能得到準確的幅值估計。隨著信噪比(SNR)的增加，信號幅值估計誤差減??；當SNR>30dB時，估計值可近似為真值；當SNR<-20dB，即噪聲幅值與信號幅值之比大于10倍時，誤差大于34.55%，該方法已經不適用；當SNR>-9dB，即噪聲幅值與信號幅值之比小于2.8倍時，該方法能得到誤差小于10%的估計值。

參考文獻：

[1]RIFEDC，BOORSTYNRR．Singletoneparameterestimationfromdiscrete-timeobservations[J]．IEEETransactionsonInformationTheory，1974，20(5)：591-598.

[2]KAYSM．Afastandaccuratesinglefrequencyestimator[J]．IEEETransactionsonAcoustics，Speech，andSignalProcessing，1989，37(12)：1987-1990.

[3]FITZMP．Furtherresultsinthefastestimationofasinglefrequency[J]．IEEETransactionsonCommunications，1994，42(2)：862-864.

[4]黃玉春，黃載祿，黃本雄，等．基于FFT滑動平均極大似然法的正弦信號頻率估計[J]．電子與信息學報，2008，30(4)：831-835.

[5]李任科，何培宇，黃駿，等．高精度正弦信號頻率估計算法研究[J]．四川大學學報：自然科學版，2011，48(3)：596-602.

[6]齊國清，賈欣樂．插值FFT估計正弦信號頻率的精度分析[J]．電子學報，2004，32(4)：625-629.

[7]朱小勇，丁康．離散頻譜校正方法的綜合比較[J]．信號處理，2001，17(1)：91-97.

[8]李天昀，葛臨東.兩種快速頻域細化分析方法的研究[J].振動與沖擊，2006，26(9)：1192-1194，1216.

[9]李允公，劉杰，王瑞，等．頻譜校正中頻率-幅值估計的一種新方法[J]．東北大學學報:自然科學版，2007，28(11)：1612-1615.

[10]劉小群，周云波．基于Matlab的DFT及FFT頻譜分析[J]．山西電子技術，2010(4)：48-49．

(責任編輯楊繼森)

收稿日期：2016-02-17；修回日期：2016-03-17

作者簡介：張濤(1983—)，男，博士，講師，主要從事艦面航空保障、信號處理研究。

doi:10.11809/scbgxb2016.07.020

中圖分類號：TN911

文獻標識碼：A

文章編號：2096-2304(2016)07-0090-04

ResearchonAmplitudeEstimationofSinusoidSignalBasedonFFT

ZHANGTao，YANGBing-heng，FANXiang-dang

(QingdaoBranch,NavalAeronauticalEngineeringInstitute,Qingdao266041,China)

Abstract:In order to obtain the frequency and amplitude of sinusoid signal based on FFT simultaneously, and the relationship between true signal amplitude and amplitude coefficient in FFT calculation based on Matlab was derived and then the two factors (frequency resolution and SNR) which influenced signal amplitude estimation accurately in simulation were discussed. Aiming at the estimation error resulted from that signal length is not equal to the calculation points in FFT, a method based on period extension before FFT calculation was presented, and frequency resolution which is widely used was redefined. Lastly, the SNR influence to amplitude estimation was analyzed quantitatively. Application scope and estimation accuracy for different SNR of this presented method were confirmed.

Key words：FFT; amplitude estimation; frequency resolution；SNR

【信息科學與控制工程】