全支付拍賣的支付規則與期望收益研究

黃　俊，冉茂盛，鄭　宇

(1.重慶大學經濟與工商管理學院，重慶400030；2.南開大學組合數學中心，天津300071)

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全支付拍賣的支付規則與期望收益研究

黃俊1，冉茂盛1，鄭宇2

(1.重慶大學經濟與工商管理學院，重慶400030；2.南開大學組合數學中心，天津300071)

為探討全支付拍賣環境下支付規則對拍賣結果的影響，分別基于獨立私人價值和關聯價值前提，構建了一類廣義的全支付拍賣模型，此時贏者支出為最高報價和次高報價的線性凸組合，未獲得物品的投標人支付其報價.運用博弈理論，在得出貝葉斯納什均衡策略及其存在性條件的基礎上，分析了支付規則對投標策略及其區間的影響，進一步研究表明：在獨立私人價值假設下，收益等價性定理成立，全支付拍賣的期望收益與支付規則無關；在關聯價值假設下，收益等價性定理不再成立，拍賣期望收益依賴于支付規則，參數越大期望收益越高.

獨立私人價值；關聯價值；全支付拍賣；支付規則；期望收益

1　引　言

拍賣的理論研究始于Vickrey[1]，之后Myerson[2]和Riley等[3]基于獨立私人價值(IPV)假設得出了著名的收益等價性定理.然而現實中，競標人對物品的價值并不總是相互獨立的.因此，Milgrom等[4]首先引入關聯價值(AV)假設，對4種標準拍賣方式的期望收益進行比較，此時收益等價性定理不再成立，進一步得出了“連接原理”(linkage principle)：如果有更多的關聯信息被連接到贏者的付價，那么賣者的期望收益會更高.此后，大量文獻基于關聯價值假設對各種拍賣形式的投標策略、期望收益、拍賣效率等進行討論和拓展[57].

關于期望收益的比較，早期拍賣理論主要關注具有“有條件承諾”特性的拍賣形式，即只有滿足某種條件(贏得拍賣)時投標人才會支付價格，又稱為贏者支付拍賣，例如英式、荷式、一級價格和二級價格等拍賣形式.而在經濟社會生活中廣泛存在著類似于“無條件承諾”特性的拍賣，此時投標人無條件向賣者支付價格，即全支付拍賣，又稱競賽.全支付拍賣最早出現在理論生物學的研究文獻中[8]，其典型形式為全支付一級價格和二級價格拍賣(又稱消耗戰).在此拍賣形式下，喬恒等[9]基于獨立私人價值(IPV)假設，對全支付一級價格拍賣和全支付二級價格拍賣的均衡投標策略和期望收益進行比較，得出了收益等價性定理.

為了研究拍賣支付規則對期望收益的影響，有必要引入λ-拍賣.其本質上是一種采用支付規則參數依賴的廣義密封拍賣，參數λ為拍賣的支付規則.最早由Güth等[10]提出，在獨立私人價值的贏者支付(winner-pay)λ-拍賣中，他們證明了支付規則影響投標人的均衡策略，但不影響拍賣的期望收益，即收益等價性定理依然成立.同樣基于獨立私人價值和贏者支付前提，Plum[11]研究了兩個投標人分布函數非對稱的贏者支付λ-拍賣中非對稱均衡投標策略的存在性和唯一性.而在全支付λ-拍賣中，贏者支出仍為最高報價和次高報價的線性凸組合，但未獲得物品的投標人也要支付其報價給賣者.在這方面的理論研究較少，只有Amann等[12]基于獨立私人價值假設，在非對稱的全支付λ-拍賣模型中研究了非對稱的均衡投標策略的存在性和唯一性.此外，這一方法也被拓展到雙方叫價拍賣(double auction)中，此時參數λ被理解為買賣雙方議價的能力[1315].

現有文獻大多都是基于獨立私人價值前提下研究贏者支付的λ-拍賣[10，11]，包括投標人的均衡投標策略和拍賣期望收益及其與拍賣規則的關系，而關于全支付拍賣模型的研究較少.雖然Amann等[12]采用的模型與本文獨立私人價值模型部分類似，但其只分析了非對稱投標人的均衡策略，未見在全支付拍賣模型中關于支付規則對均衡投標策略及拍賣期望收益影響的系統研究.在現實中，全支付拍賣這種“無條件承諾”的拍賣類型被廣泛用于分析包含沖突和競爭的經濟社會問題，例如尋租行為[16]，專利和科技競賽[17]以及軍備競賽[18]等問題，因而對其均衡策略和期望收益進行研究有著現實的經濟意義.全支付λ-拍賣作為一類廣義的全支付拍賣，將全支付一級價格和全支付二級價格拍賣這兩種拍賣形式置于統一的分析框架下.一方面，從機制設計的角度，有助于分析私人信息與最終支出的連接對拍賣收益的影響，并為實踐活動提供更好的理論指導.另一方面，該類拍賣又可理解為不完美信息下的全支付拍賣，因此被廣泛用于不確定環境中投標人均衡策略的分析[19].

為此本文分別基于獨立私人價值前提和關聯價值前提，研究了全支付λ-拍賣中的投標人均衡策略及其區間，并分析了支付規則對賣者期望收益的影響.

2　全支付拍賣模型

假定賣者有1個不可分割的物品通過拍賣出售，有n個潛在購買者.用Xi表示投標人i對物品價值擁有的私人信息.用Vi表示投標人i對物品的最終消費價值.

根據Amann等[12]，用如下規則來定義λ-全支付拍賣：n個投標人同時報價，物品由出價最高的投標人獲得.投標人i的出價為bi，其支付(payoff)為

在λ-拍賣中，用β(x，λ)表示具有私人信息x的投標人的對稱均衡投標策略.假設具有私人信息x的投標人的出價為b，則當b=β(x，λ)時投標人的期望收益最大，即

3　全支付獨立私人價值模型

在IPV模型中，投標人對物品的最終消費價值為其私人信息，即Vi=Xi.假設投標人的私人信息在區間[0，a]上獨立同分布，其分布函數F(·)及相應密度函數在(0，a)上連續可微且為正.

根據式(1)，私人信息為x=v的投標人的出價為b，從而有

其中λ0是常數，，相應的為其密度函數.

當b=β(x，λ)時，上式最大，于是有

下面給出拍賣的均衡投標策略.

定理1在獨立私人價值模型中，給定邊界條件β(0，λ)=0，全支付λ-拍賣的均衡投標策略為

證明先證必要性.由式(2)并結合邊界條件β(0，λ)=0，可得均衡投標策略β(x，λ)，即式(3)所示.再證充分性.因為私人信息為x的投標人的出價為β(z，λ)時的期望收益為

其中βy表示β(y，λ)對y的一階偏導數.

由于對所有x＞y，有(x-y)g(y)＞0，對所有x＜y，有(x-y)g(y)＜0，故E[Wi(β(z，λ)，x)]在z= x時取最大值，即滿足激勵相容(IC)條件.同時

投標者選擇參與拍賣，即滿足個體理性(IR)條件.

推論1在獨立私人價值模型中，支付規則λ越大，投標人的報價越“積極”.即對所有x∈(0，a)，如果λ1＜λ2，則β(x，λ1)＜β(x，λ2)成立.

定理2在獨立私人價值模型中，若支付規則λ∈[0，1)，則均衡策略有上界且

證明若支付規則λ=0，可得

若λ∈(0，1)，則有

由定理2可以看出，在λ∈[0，1)時，投標人的均衡投標策略均有界；而當λ=1時，即全支付二級價格拍賣的均衡投標策略無上界.在對投標人的均衡策略及其區間進行分析的基礎上，再比較賣者在λ-拍賣中的期望收益.

定理3在獨立私人價值模型中，全支付λ-拍賣中的賣者期望收益與支付規則無關，即對所有支付規則λ∈[0，1]，拍賣的賣者期望收益相等.

證明用e(x)表示擁有私人信息x的投標人的期望支出，于是

將式(2)和式(3)代入上式，得

也就是說，投標人的期望支出與支付規則無關，從而拍賣產生的期望收益相等. 證畢

從上述定理可以看出，雖然均衡投標策略隨著支付規則λ的增大而增大，但一類廣義全支付拍賣產生的期望收益依然相等，收益等價性定理在λ∈[0，1]上成立.從信息關聯角度解釋，盡管λ-拍賣在贏者支出與次高報價之間建立了連接(linkage)，但由于IPV模型中私人信息獨立的假設意味著最終支付與次高價的連接不會影響投標人對物品的估價，所以投標人期望支出不變，從而拍賣產生的期望收益不變.因此，結論意味著賣者設置的支付規則不會改變拍賣的結果及其期望收益，進而在IPV環境的拍賣實踐中賣者不必過于關心拍賣所采取的形式.如果將此類拍賣理解為不完美信息下的拍賣，那么結論意味著投標人所處拍賣環境的不確定性不會對拍賣的期望收益產生影響.同時，喬恒等[9]證明了全支付一級價格拍賣(λ=0)和全支付二級價格拍賣(λ=1)的收益等價性，定理3是其結論在λ∈[0，1]整個區間上的推廣和一般化.實際上，同樣可以證得全支付λ-拍賣產生的期望收益也等于贏者支付λ-拍賣的期望收益.

4　全支付關聯價值模型

該模型描述了對物品的價值和私人信息分布這兩種相關性：1)投標人對物品的最終消費價值不僅取決于自己的私人信息，也取決于其他投標人對物品的私人信息；2)所有競標者對物品的估價有正相關性，體現在分布函數上，當一個投標人私人信息較高時，其他投標人私人信息也高的概率更大.用X= (X1，X2，...，Xn)表示n個投標人在區間[0，a]上的私人信息(或信號)向量.用S=(S1，S2，...，Sm)表示其他影響物品價值，但不能被投標人所觀察到的隨機變量，而S中的某些變量可能被賣者所觀察到，則物品對投標人的最終價值為

其中u是非負、連續的且關于各變量嚴格遞增，同時滿足E[Vi]＜∞.

隨機變量S1，S2，...，Sm，X1，X2，...，Xn的聯合密度函數f(S，X1，X2，...，Xn)滿足所謂的“關聯性質”，即對所有z和z′有

其中z∨z′=(max｛z，z′｝)為向量z和z′各分量最大部分組成的向量；z∧z′=(min｛z，z′｝)為向量z 和z′各分量最小部分組成的向量.

根據式(1)，給定Xi=x時，報價為b的投標人期望支付(payoff)為

選擇合適的b以最大化投標者的期望支付，此時b=β(x，λ)，β(x，λ)對x的一階偏導數

于是，給出均衡策略β(x，λ).為了驗證充分性，為此有必要增加約束條件.

證明先證必要性.由式(5)并結合邊界條件β(0，λ)=0，可得均衡投標策略β(x，λ)，即式(6)所示.再證充分性.私人信息為x的投標人的出價為β(z，λ)時的期望收益為

將式(5)和式(6)代入上式，得

因而E[Wi(β(z，λ)，x)]在z=x時取最大值，即滿足激勵相容(IC)條件，此時

投標者選擇參與拍賣，即滿足個體理性(IR)條件.

推論2在關聯價值模型中，支付規則λ越大，投標人的報價同樣越“積極”，即對所有x∈(0，a)，如果λ1＜λ2，則β(x，λ1)＜β(x，λ2)成立.

以上推論可由式(6)和定理4直接得出，與推論1類似，投標人的均衡策略也取決于拍賣的支付規則.特別的，全支付一級價格拍賣和二級價格拍賣的均衡策略分別為

此時全支付二級價格拍賣的投標策略同樣比全支付一級價格拍賣更積極，即β(x，0)＜β(x，1).若給定支付規則，此時投標人策略區間上限的性質如下.

進一步，若λ=0，可得

由定理5可知，當投標人的私人信息趨向于上限(x→a)時，即使物品的最終價值v(a，a)是有限的，全支付二級價格拍賣(λ=1)的均衡投標策略依然無上界.在對投標人的均衡策略及其區間進行分析的基礎上，再比較賣者在λ-拍賣中的期望收益.

證明用e(x，λ)表示λ-拍賣中擁有私人信息x的投標人的期望支出，于是

將式(5)和式(6)代入上式，得到

則對所有的λ1，λ2∈[0，1]且λ1＜λ2有

而由于FYi(y|x)關于x單調遞減，可知對所有y＜x有FYi(y|y)＞FYi(y|x).再由上式可得

所以，對所有λ1＜λ2，有e(x，λ1)＜e(x，λ2)，從而支付規則λ越大，拍賣的期望收益越高.證畢.

由定理6可以看出，與獨立私人價值情形不同，關聯價值前提下收益等價性定理不再成立，拍賣產生的期望收益依賴于支付規則.支付規則參數λ越大，拍賣的期望收益越高.從信息關聯角度解釋，λ-拍賣在投標人支出與次高報價之間建立了連接(linkage)，在關聯價值假設下，投標人對物品私人信息較高往往意味著其他投標人的私人信息也較高，從而次高報價就較高，這樣投標人對物品的私人信息通過支付規則影響其最終支付.所以，投標人對物品的私人信息傳導到次高報價的程度越充分(即λ越大)，投標人的期望支出進而拍賣的期望收益越高.與經典理論中的連接原理(linkage principle)[4]強調新增信息的作用不同，上述定理突出了既有信息前提下的信息向下關聯程度對賣方期望收益的影響，從而對連接原理進行了理論擴展，發現既有信息的向下關聯程度越高賣方期望收益越高.從不完美信息角度，定理也可理解為在投標人面對的不確定拍賣環境中，拍賣為全支付二級價格拍賣的概率越大，則拍賣的期望收益越高.

特別地，作為全支付λ-拍賣的極端形式，當λ=0和λ=1時定理同樣成立，也就是說全支付一級價格拍賣產生的期望收益大于全支付二級價格拍賣(消耗戰)所產生的期望收益，即e(x，0)＜e(x，1).

5　數值分析

圖2　在IPV模型中，支付規則對期望收益的影響Fig.2 The effect of pricing rule λ on seller’s expected revenue in IPV model

支付規則參數λ對賣方期望收益的影響如圖4所示，可以看出AV前提下拍賣的期望收益隨參數λ單調遞增，即為定理6的結論.

圖3　在AV模型中，當λ分別為0，0.5和1時的投標策略Fig.3 The bidding strategies for pricing rule λ equals 0，0.5 and 1 in AV model

圖4　在AV模型中，支付規則對期望收益的影響Fig.4 The effect of pricing rule λ on seller’s expected revenue in AV model

6　結束語

本文分別基于獨立私人價值和關聯價值的λ-拍賣模型研究了全支付拍賣的支付規則對投標人均衡策略和賣者期望收益的影響.在獨立私人價值假設下，根據期望收益最大化目標，推出投標人的貝葉斯納什均衡投標策略，并發現：雖然投標人的均衡報價隨支付規則λ而遞增，但支付規則對賣者的期望收益沒有影響，收益等價性定理成立.然后，在關聯價值假設下，給出對稱貝葉斯納什均衡策略存在的充分條件，并得出均衡策略的解析解.此時，收益等價性定理不再成立，賣者的期望收益依賴于支付規則.支付規則λ越大，拍賣的期望收益越高，當拍賣為全支付二級價格拍賣(消耗戰)時，期望收益達到最大.不同于連接原理所強調的新增信息對賣方收益的影響，本文的結論強調既有信息的向下(次高報價)關聯程度越高賣方期望收益越高.此外，還對投標人均衡策略的區間進行了分析.本文假設不存在預算約束，未來可以對包含預算約束的模型進行研究，分析預算約束對投標人策略及賣者收益的影響；另外，賣方所擁有信息的披露政策對賣方收益的影響也是一個值得研究的課題[21].

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Research on pricing rules and expected revenue under all-pay auctions

Huang Jun1，Ran Maosheng1，Zheng Yu2
(1.School of Economics and Business administration，Chongqing University，Chongqing 400030，China；2.Center for Combinatorics，Nankai University，Tianjin 300071，China)

In order to study the influence of pricing rules on auction outcomes，this paper examines a large class of all-pay auctions within the independent private values(IPV)paradigm and the affiliated values(AV) paradigm，respectively.The explicit solutions of symmetric Bayesian-Nash equilibrium bidding strategies in all-pay auctions are determined.From the seller’s perspective，if the bidders’types are independently distributed，the seller is indifferent between the auctions with the whole continuum of pricing rules，thus the revenue-equivalence theorem holds.Given a sufficient condition for the existence of an equilibrium，the seller’s preference is biased from the theorem if bidders’types are affiliated：the seller then prefers auctions with higher parameters of pricing rules.That is，the seller’s expected revenue depends on the pricing rules.

independent private values；affiliated values；all-pay auctions；pricing rules；expected revenue

F016

A

1000-5781(2016)03-0328-10

10.13383/j.cnki.jse.2016.03.005

黃俊(1987-)，男，江蘇鹽城人，博士生，研究方向：拍賣理論，最優機制設計，Email：huangjun@cqu.edu.cn；

冉茂盛(1963-)，男，重慶云陽人，博士，教授，研究方向：拍賣理論，金融經濟，投融資理論，Email：ranmaosheng@cqu.edu.cn；

鄭宇(1989-)，男，河南光山人，博士生，研究方向：組合數學，拍賣理論，Email：antid@126.com.

2014-07-20；

2015-12-20.

國家自然科學基金資助項目(71071171).