序貫拍賣中報價排序信息披露的研究

胡二琴，趙　勇，陳　瑩

(1.華中科技大學系統工程研究所，湖北武漢430074；2.湖北工業大學理學院，湖北武漢430068；3.深圳大學經濟學院，廣東深圳518060)

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序貫拍賣中報價排序信息披露的研究

胡二琴1，2，趙勇1，陳瑩3

(1.華中科技大學系統工程研究所，湖北武漢430074；2.湖北工業大學理學院，湖北武漢430068；3.深圳大學經濟學院，廣東深圳518060)

研究了兩場拍賣間報價排序的披露對投標人報價以及拍賣人收益的影響.首先，基于博弈理論分析了報價排序披露策略下投標人的均衡報價策略.其次，從投標人報價與拍賣人收益的角度將排序披露策略與獲勝價、獲勝者身份披露策略進行了比較.最后，比較了每種披露策略下兩場拍賣間的拍賣人收益.結論表明：披露獲勝者身份對拍賣人最有利；而披露報價排序時，投標人會通過降低第1場拍賣中的報價去換取第2場拍賣中的信息優勢，從而導致拍賣人收益最低.

序貫拍賣；披露策略；報價排序；收益比較

1　引　言

由于定價靈活、交易自由和參與成本低等特點，網上拍賣近年來已成為商品銷售與采購的一種重要渠道[1].中國拍賣行業協會發布的《2013年中國拍賣行業經營狀況分析及2014年展望》指出，2013年是中國拍賣行業名副其實的“網上拍賣發展年”，網上拍賣成交金額超過200億元.網上拍賣不受拍賣時間與空間的限制，交易雙方在虛擬市場中相遇，雙方間的信息不對稱進一步加劇.與傳統拍賣相比，網上拍賣中投標人面臨更大的信息不確定性，而拍賣人則擁有更多關于拍賣品或市場競爭特性等對投標人有用的信息，拍賣人該不該披露、該如何披露這些信息一直是拍賣理論界與實踐界關注的熱點[25].

大量相同或相似的物品序貫售出，同一批投標人在多個市場階段重復競爭是許多產品市場(如商品批發市場、藥品采購市場)中的一類常見現象.在網絡環境下，由于沒有面對面接觸，以ID代替真實身份進行交易，投標人通常并不清楚對手的人數、身份、價值或成本等信息.但是投標人擁有跨階段學習的能力，僅從前期拍賣結束后披露出的獲勝信息中也能推斷出對手的一些信息，并用來規劃后期的報價策略.拍賣人獲勝信息的披露方式決定了投標人能獲取從前期拍賣中獲取多少信息.比如，若拍賣結束后披露所有報價，則投標人不僅可以觀察到對手的人數，還可從報價中反推出所有對手的價值或成本信息.但是若拍賣人只是私下通知每個投標人是否獲勝，則投標人對對手信息仍一無所知.而理性的投標人在前期拍賣中就會預期到信息披露效應，并調整報價策略以求獲取對手的信息或者阻止對手獲取自身信息.這使得投標人的報價策略不同于單場拍賣時的報價策略.拍賣人的收益顯然也會受到影響.因此，在重復競爭環境下如何披露獲勝信息也是拍賣機制設計的重要環節.針對網上序貫采購拍賣中供應商通常不清楚對手人數這一特點，Arora等[6]比較了披露獲勝價與披露所有報價兩種策略下的采購成本.而針對供應商不清楚對手成本類型這一特征，Thomas[7]，Kannan[8]和Timothy等[9]分別在供應商風險中立與風險厭惡的假定下，比較了披露獲勝價與披露所有報價兩種策略下的采購成本.在投標人不確定對手價值類型且勝者退出的假定下，Jeitschko[10]發現披露獲勝價時投標人會在第1場拍賣中降低報價去獲取對手信息(即抽取效應)，而Kannan[11]和Ding等[12]指出當披露所有報價時投標人在第1場拍賣中會冒充其他類型投標人以阻止對手獲取自己的信息(即欺騙效應).這些研究主要分析了披露獲勝價與披露所有報價這兩種披露策略.而現實中可行的披露策略遠不止這兩種，而且披露報價往往會泄露投標人的價值或成本等重要信息，而在醫藥、高科技產品生產中這類信息的機密性是至關重要的.如美國藥品采購拍賣結束后，只會披露獲勝者身份.不披露具體報價、只披露報價排序也是近年來實際拍賣中被廣泛采用的一種披露策略.但是目前關于排序披露策略的理論研究比較有限.Elmaghraby等[13]發現在單場公開采購拍賣中，與披露所有報價相比，披露報價排序使得供應商無法立即獲取對手的完全信息，導致供應商失去耐心從而競價更加激烈、采購成本更低.那么，在重復競爭環境下報價披露排序是否也能成為拍賣人的最優披露策略是一個尚待研究的問題.

本文分析了在序貫密封拍賣間披露報價排序時投標人的報價特征，并在文獻[10]的基礎上將報價排序披露策略與獲勝價披露、獲勝者身份披露這兩種策略以及序貫第二價格密封拍賣進行了比較，旨在為拍賣人選擇最優的拍賣方式、披露策略提供參考.進一步，比較了兩場拍賣間的拍賣收益，能為拍賣人選擇最優的拍賣時機提供一定的參考.

2　問題描述與相關概念

假定兩個相同的物品擬通過兩場第一價格密封拍賣來售出，每場拍賣中售出1個物品.3個具有獨立私人價值的投標人參與競拍，且下述信息為共同知識：

1)投標人對每個物品的價值v或為高價值vH或為低價值vL1一方面，離散的價值類型假定更貼合實際[14]；另一方面，當投標人價值類型為連續型時，由于對稱性，投標人在第1場拍賣中采用的對稱均衡報價為其價值的增函數，因此第1場拍賣結束后，報價排序的披露將使得投標人的價值排序成為共同知識，從而根據Landsberger[15]的研究可直接求解排序披露策略下的報價均衡..不失一般性，設vH=1，vL=0.每個投標人在拍賣前就知道自己的價值類型，且其價值類型在兩場拍賣中保持不變2實際拍賣數據表明，短期內同質物品的序貫拍賣中，投標人價值的衰減速度較慢[16].；

2)投標人事前對稱.每個投標人為高價值類型的概率為θ(0＜θ＜1)，為低價值類型的概率為1-θ；

3)拍賣人與投標人風險中立、均追求期望收益最大化.每場拍賣中，價值為v的投標人以報價b勝出時的收益為v-b，未勝出時的收益為0；

4)兩場拍賣的公開保留價均為vL=03拍賣人知道投標人的最低價值后將其設為保留價，這個假定是合理的..第1場拍賣結束后，不披露具體報價只披露報價排序，報價最高者排在第1位且勝出，報價次高者排在第2位，以此類推.在報價相同時，通過拋硬幣的方式來隨機決定排序；

5)投標人具有單物品需求，第1場拍賣中排在第1位的投標人勝出、支付自己的報價并退出拍賣.

本文中投標人知道對手的人數，但不知道對手的價值類型.許多網上拍賣(如淘寶拍賣)均符合這一特征.本文中假定采用的是序貫第一價格密封拍賣，因為在序貫第二價格密封拍賣中探討信息披露效應是無意義的.在序貫第二價格拍賣中，不論第1場拍賣結束后披露出何種信息，投標人在第2場拍賣中都會報出自己的真實價值，而在第1場拍賣中投標人的均衡報價為其價值減去其在第2場拍賣中的期望收益.因此可得，在序貫第二價格密封拍賣下，拍賣人在第1，2場拍賣中的期望收益分別為Φ1=3θ3-2θ4與Φ2=θ2.

下面介紹本文中涉及到的三個主要概念.

定義1設隨機變量X與Y的分布函數分別為F(·)與G(·).若對?x∈R，有F(x)≤G(x)，則稱X是一階隨機占優于Y.

當X是一階隨機占優于Y時，必有E[X]≥E[Y].

定義2若在信號博弈的均衡中，不同類型的信號發送者選擇不同的信號，因而信號接收者可通過接收到的信號準確判斷出發送者的類型，這類均衡稱為分離均衡；若在均衡中，不同類型的信號發送者都選擇相同的信號，這類均衡稱為混同均衡.

在保險市場中，若保費越高賠付率也越高，那么高風險人群將購買高保費高賠付的保單，而低風險人群將購買低保費低賠付的保單，這里實現的就是分離均衡.本文中，低價值投標人的均衡報價為0，若高價值投標人的均衡報價高于0，這類均衡即是分離均衡；若高價值投標人的均衡報價為0，這類均衡則是混同均衡.

混合策略是參與人對其他參與人所采取的行動具有不確定性時的一個理性對策.如在石頭-剪刀-布游戲中，為了不讓對手猜透自己的策略，參與人以各為1/3的概率隨機選擇出石頭、剪刀或布.

3　均衡分析

低價值投標人的報價必為0，故只需分析高價值投標人的報價.兩物品的序貫拍賣是個典型的兩階段博弈，我們利用逆向歸納法先求解第2場拍賣中的報價均衡.由于勝者退出，第2場拍賣是兩個投標人參與的單場拍賣.引理1給出了這類拍賣中的報價均衡.

由引理1知，第2場拍賣中兩個投標人的報價均衡取決于投標人的信念，而其信念又依賴于他們在第1場拍賣中的報價及信息披露策略.

定理1報價排序披露策略下，第1場拍賣中不存在混同均衡.

證明見附錄.

下面考慮分離均衡.可證得，第1場拍賣中不存在對稱的純策略報價均衡.假設b為第1場拍賣中高價值投標人的對稱均衡報價，0＜b＜1.當其他高價值投標人在第1場拍賣中按照此對稱均衡報價時，某個高價值投標人遞交一個略高于b的報價便可將獲勝的概率從(1-θ)2+θ2/3+θ(1-θ)增大到1，因此偏離是有利的，這與b為均衡報價相矛盾.為了不讓對手預測到自己的報價，高價值投標人采用混合策略，按照某分布在區間內隨機報價[17].報價下限必為無窮小的正數.一方面/=0.因為報價為0時高價值投標人獲勝概率僅為(1-θ)2/3，而遞交一個略大于0的報價就能使得獲勝的概率增大為(1-θ)2.另一方面必無限接近0.因為當高價值投標人遞交一個更低的報價p(0＜p＜)時，他獲勝的概率與報價為時的獲勝概率相同，但收益更高，故高價值投標人可向下調整報價下限，直到無限接近0.設排序披露策略下，高價值投標人在第1場拍賣中的報價分布為(b)，b∈(0].

3.1第2場拍賣的均衡分析

在第2場拍賣中，低價值投標人報價為0，高價值投標人根據自身在第1場拍賣中的報價、排序以及貝葉斯公式修正關于對手價值類型的信念并調整報價.記第1場拍賣中排在第2、3位的投標人分別為S與T，他們在第1場拍賣中的報價分別為bS，bT，則bS≥bT.若T為高價值類型，則T認為對手S為高價值類型的概率為β=1.若S為高價值類型，則S認為對手T為高價值類型的概率為

其中vT為T的價值.顯然，α＜θ.

值得注意的是，因為只披露出報價排序信息而沒有披露具體的報價，所以S與T的信念α，β不再是共同知識而是他們各自的私人信念，這是報價排序披露策略的最大特點.

定理2報價排序披露策略下，第2場拍賣的一個報價均衡如下：若為低價值類型，投標人報價為0；若為高價值類型，投標人T的報價與期望收益分別為

高價值投標人S在區間(0，α]內隨機報價，其報價分布與期望收益分別為

證明見附錄.

3.2第1場拍賣的均衡分析

投標人在第1場拍賣中的報價不僅決定了自身在第1場拍賣中的勝負與收益，也決定著自身在第2場拍賣中的信息及期望收益.考慮到信息披露的影響，理性的投標人在第1場拍賣中就會調整報價以最大化兩場拍賣中的總期望收益.

定理3報價排序披露策略下，第1場拍賣中存在分離均衡：若為低價值類型，投標人報價為0；若為高價值類型，投標人在區間(0]內隨機報價，其均衡報價分布滿足下式4式(1)的解有兩支，選取上方那一支以確保(·)為分布函數.，即

證明見附錄.

綜上所述，排序信息的披露將導致第2場拍賣中投標人信息不對稱，排在第3位的高價值投標人可以獲取對手的完全信息，而排在第2位的投標人S對對手的價值類型仍具有不確定性，且S在第1場拍賣中報價越低，他在第2場拍賣中信息越明確.這會激勵著投標人在第1場拍賣中降低報價，從而影響拍賣人的收益.為了進一步分析報價排序信息的披露對拍賣人收益的影響程度并探討拍賣人最優披露策略的選取，有必要將排序披露策略與其他披露策略進行比較.

4　信息披露策略的比較

披露獲勝者身份與披露獲勝價是實際拍賣中常采用的兩種披露策略.獲勝者身份披露策略下，拍賣人只公布獲勝者身份、或私下告知每個投標人是否勝出.而在獲勝價披露策略下，拍賣人只披露獲勝價.本節將報價排序披露策略與獲勝價披露策略、獲勝者身份披露策略進行了比較，并將這3種披露策略分別簡記為r，w和c，并記披露策略s(s∈｛r，w，c｝)下拍賣人在第t(t=1，2)場拍賣中的期望收益為其中高價值投標人在第1場拍賣中的策略性報價行為及其對拍賣人收益的影響是比較的重點.

獲勝價披露策略下，第1場拍賣中獲勝價的披露不僅使獲勝者的價值類型成為共同知識，也使第2場拍賣中投標人的價值信念成為共同知識.設披露獲勝價時，高價值投標人在第1場拍賣中的報價分布為(b)，其中bw為第1場拍賣中的獲勝價，則第2場拍賣中投標人認為對手為高價值類型的概率為顯然，θL＜θ.而在獲勝者身份披露策略下，第2場拍賣中的投標人認為對手為高價值類型的概率仍為θ.根據引理1，易得下述引理.

引理2[10]獲勝價披露策略下，第1，2場拍賣中高價值投標人的報價分布分別為

由引理2可得，獲勝價披露策略下拍賣人在第1，2場中的期望收益分別為

引理3[10]獲勝者身份披露策略下，第1，2場拍賣中高價值投標人的報價分別為

由引理3得，獲勝者身份披露策略下拍賣人在第1，2場中的期望收益分別為

由此可得，獲勝者身份披露策略下的拍賣人收益與序貫第二價格密封拍賣中的拍賣人收益相同.

定理4第2場拍賣中，獲勝者身份披露策略下拍賣人期望收益最高，而高價值投標人期望收益最低.

證明見附錄.

定理4成立的一個直觀原因在于第2場拍賣中投標人關于對手價值類型信念的差異.披露獲勝者身份后，投標人認為對手為高價值類型的概率仍為θ；而披露獲勝價后，投標人認為對手為高價值類型的概率下降為θL，披露報價排序后，排在第2位的投標人S認為對手T為高價值類型的概率下降為α.故與披露獲勝者身份相比，披露獲勝價或披露報價排序后，投標人認為第2場拍賣中的對手更弱，因此報價更低.披露報價排序時，雖然排在第3位的投標人T認為對手S為高價值類型的概率上升到1，但是預期到S樂觀的信念后T也會降低報價.因而，披露獲勝者身份時，投標人報價最高從而拍賣人收益也最高.

下面比較第1場拍賣中高價值投標人的報價.分別取θ=0.3，0.5，0.7，0.9，通過數值模擬繪圖(圖1)發現定理5證明了對?θ∈(0，1)，都有成立.

定理5對?θ∈(0，1)，高價值投標人在第1場拍賣中的報價分布均滿足

證明見附錄.

結合定義1知，披露獲勝者身份時高價值投標人在第1場拍賣中的平均報價最高，而披露報價排序時平均報價最低.其原因在于獲勝價或排序信息的披露為投標人提供了降低報價的激勵：其一，由于第1場拍賣中的獲勝者將退出第2場拍賣，因此在制定第1場拍賣中的報價策略時，投標人必然會考慮到贏得第1場拍賣的機會成本(即退出第2場拍賣后，無法在第2場拍賣中獲得的期望收益).由定理4知，披露獲勝價或排序信息時，這種機會成本要高于披露獲勝者身份時的機會成本，因此獲勝價或排序披露策略下，高價值投標人將降低第1場拍賣中的報價；其二，披露獲勝價時，高價值投標人在第2場拍賣中的期望收益是第1場拍賣的獲勝價的減函數，這也激勵著投標人在第1場拍賣中降低報價；而在排序披露策略下，這種激勵被進一步擴大，因為由定理2知，高價值投標人在第2場拍賣中的期望收益是第1場拍賣中自身報價而非獲勝價的減函數；其三，披露獲勝價時，第1場拍賣中的獲勝價越低，第2場拍賣中投標人信息越明確；而在排序披露策略下，投標人在第2場拍賣中的信息取直接決于自身在第1場拍賣中的報價，第1場拍賣中排在第3位的高價值投標人具有信息優勢、能確切知道對手的價值類型.而第1場拍賣中的報價越低，排在第2位的投標人在第2場拍賣中的信息越明確，這鼓勵著投標人通過降低第1場拍賣中的報價去獲取第2場拍賣中的信息優勢.而獲勝者身份披露策略下，投標人無法通過第1場拍賣中的報價影響第2場拍賣中的信息與期望收益因而阻斷了投標人的策略性信息獲取行為.因此，在第1場拍賣中，披露獲勝者身份時高價值投標人報價最高，披露報價排序時投標人降低報價的激勵最大，從而報價最低.由此可得，獲勝者身份披露策略對拍賣人最有利.

圖1　3種披露策略下高價值投標人在第1場拍賣中的報價分布Fig.1 The bidding distributions of high-value bidders in the 1st auction under three information revelation policies

定理6第1場拍賣中，披露獲勝者身份時拍賣人的期望收益最高，而披露報價排序時拍賣人的期望收益最低.

結合定理4、定理6可知，在這種重復競爭環境下，披露獲勝者身份對兩場拍賣中的拍賣人均是最優的.

在實際的序貫拍賣中，每場拍賣的拍賣人可能不是同一人.第1場拍賣中拍賣人披露策略的選擇不僅影響著自身的收益也影響著后續拍賣人的收益，那么不同拍賣人的收益間是否存在差異呢？為此，本文對獲勝價披露策略與獲勝者身份披露策略下兩場拍賣中的拍賣人收益進行了比較.記?s為披露策略s(s∈｛c，w｝)下兩場拍賣中拍賣人的收益差，則

因此可得，獲勝價披露策略下，拍賣人收益具有鞅性質，兩場拍賣中的拍賣人收益無差異.而獲勝者身份披露策略下，當θ＜0.5時，第1場拍賣的拍賣人收益低于第2場拍賣中的拍賣人收益且θ=0.3時兩者收益差最大；而θ＞0.5，第1場拍賣中的拍賣人收益高于第2場拍賣中的拍賣人收益且θ=0.82時兩者收益差最大.

5　結束語

本文研究了序貫拍賣中兩場拍賣間報價排序信息的披露對投標人報價以及拍賣人收益的影響，進而探討了獲勝信息的最優披露策略，得到了以下結論.首先，獲勝者身份披露策略與第二價格密封拍賣機制均能阻斷投標人在兩場拍賣間的策略性信息行為，對兩場拍賣中的拍賣人都是最有利的.其次，在序貫拍賣中后續拍賣人的收益受到前期拍賣披露策略的影響.當前期拍賣采取了非最優的披露策略時，后續拍賣人可通過選擇第二價格拍賣來消除前期披露出的信息的影響，增加自身的收益.最后，當拍賣人之間存在競爭時，拍賣人何時進入拍賣市場最有利依賴于拍賣形式、獲勝信息的披露策略以及市場競爭強度.這些結論能為拍賣人的拍賣方式、信息披露策略以及交易時機的選取提供一定的實用性建議.

本文假定只有3個投標人，基于本文的分析可知，當投標人超過3人時相關結論也成立.理論研究中，投標人被假定為完全理性、能夠從披露出的信息中修正獲取對手的信息，而在實際中完全理性的要求過高，導致理論結論與實際情況通常存在一定的偏差.今后的工作是通過開展行為實驗去探索不同披露策略下實際投標人的報價特征，檢驗本文的結論.

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附錄

定理1的證明

定理2的證明

證明均衡是參與人的一種策略組合，使得每個參與人的策略是對其他參與人策略的最優反應.

因此

由式(7)可得，當w∈(0，α]時，S在第2場拍賣中的期望收益與w無關，只依賴于S在第1場拍賣中的報價bS，因此S可在(0，α]內隨機報價.

定理3的證明

證明1)以高價值投標人A為例.設A在第1場拍賣中的報價為b.A在第1場拍賣中能排在第1位當且僅當其對手要么是低價值投標人，要么是報價低于b的高價值投標人，因此A能排在第1位勝出的概率為，其收益為1-b.A能排在第2位當且僅當其中一位對手為報價高于b的高價值投標人，而另一位對手要么是低價值投標人、要么是報價低于b的高價值投標人，因此A排在第2位的概率為，此時A在第2場拍賣中的期望收益為A能排在第3位當且僅當兩位對手均為報價高于b的高價值投標人，因此他排在第3位的概率，此時A在第2場拍賣時的期望收益為

因此當A在第1場拍賣中報價為b時，A在兩場拍賣中的總期望收益為

因為A在第1場拍賣中采用混合策略，因此報價為(0，ā]內的任一值時的期望收益應相等.由此可得

2)上述分析中先假定第1場拍賣存在分離均衡，后求解高價值投標人的報價分布下證的確為分離均衡.

若p＜θ，則A在第2場拍賣中的期望收益為

因此當在第1場拍賣中偏離分離均衡、報價為0時，A在兩場拍賣中的總期望收益為

定理4的證明

證明由定理2、引理2以及引理3知，獲勝者身份與獲勝價披露策略下高價值投標人在第2場拍賣中的期望收益分別為而排序披露策略下第1場拍賣中排在第二、三位的買者在第2場拍賣中的期望收益分別為

在第2場拍賣中，若所有投標人都是低價值類型，則拍賣人收益為0；若存在一個高價值投標人，則三種披露策略下都是高價值投標人獲勝，此時拍賣人與投標人期望收益之和為1.由此可得，高價值投標人收益越高，則拍賣人的期望收益越低.因此，獲勝者身份披露策略下，拍賣人在第2場拍賣中的期望收益最高.證畢.

定理5的證明

若b＞θ2，則因此成立.

將式(1)變形可得

式(9)減去式(10)得

結合-式(11)可得，若b∈(0，θ2+θ(1-θ)ln(1-θ)]，則若因此，

Study of bids’ordinal ranks information disclosure in sequential auctions

Hu Erqin1，2，Zhao Yong1，Chen Ying3
(1.Institute of Systems Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China；2.School of Science，Hubei University of Technology，Wuhan 430068，China；3.School of Economics，Shenzhen University，Shenzhen 518060，China)

This paper explores the impacts of revealing bids’ordinal ranks between auctions on the bidders’bids and the auctioneers’revenues.Firstly，based on game theory，bidders’bidding strategies under rank revelation policies are analyzed.Then，rank revelation policies are compared with the winner’s identity revelation policies and the winning price revelation policies from the perspective of both bidders’bids and the auctioneers’revenues.Finally，the auctioneers’revenues in two auctions are compared under each revelation policies. The results show that it is most favorable for auctioneers to reveal only the winner’s identity.Under rank revelation policies，the bidders lower their first-stage bids to exchange for second-stage information advantage.As a result，the auctioneers gain the lowest revenues.

sequential auctions；disclosure strategy；bids’ordinal ranks；revenues comparison

F062.5

A

1000-5781(2016)03-0317-11

10.13383/j.cnki.jse.2016.03.004

胡二琴(1980-)，女，湖北黃岡人，博士生，講師，研究方向：拍賣機制設計與博弈論，Email：hutu1980336@163.com；

趙勇(1967-)，男，湖北天門人，博士，教授，博士生導師，研究方向：決策分析，Email：zhiwei98530@sohu.com；

陳瑩(1980-)，女，廣東湛江人，博士，講師，研究方向：資產定價，行為金融，Email：cying@szu.edu.cn.

2014-05-07；

2015-12-27.

國家自然科學基金資助項目(61273206；71201064)；湖北省教育廳科研基金資助項目(Q20131405).