等差數列及等比數列的性質運用

宋國強

【摘要】針對等差數列的性質與運用，等比數列的性質與運用兩個方面進行分析，在簡單分析概念與性質的基礎上，提出一些相關教學建議，以期能夠不斷提升等比數列與等差數列教學的質量，保證各項數學知識教學的效果。

【關鍵詞】等差數列 等比數列 性質運用

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）21-0110-02

等差數列與等比數列是當前中學數學教學中的主要課程內容之一，對學生數學邏輯思維的培養與學生數學綜合學習能力的提升能夠產生重要的影響。在課堂教學活動中，教師可以通過多樣化的課堂教學方式為學生進行等差數列與等比數列的知識引導，提升學生各項數學知識的掌握能力，保證課堂教學的質量。文章將基于等差數列及等比數列的性質進行分析，提出一些相關教學建議，希望能夠對各項知識與技能的指導帶來一定的借鑒意義。

一、等差數列的性質與運用分析

如果從一個數列的第二項開始，每一項與其前面的差，等于一個常數，那么這個數列則可以稱之為等差數列，這個常數則可以稱之為等差數列的公差，可以采用d予以表示[1]。等差數列是當前高中數學教學中的重要內容之一，學生的等差數列通項公式掌握情況能夠直接影響學生的知識學習質量，加強對等差數列的相關性質與運用策略研究十分必要。

等差數據教學活動中，教師需要明確課堂教學的思維，在詳細講解數列的定義基礎上，通過數列與自然集的關系、通項公式的推理方式等等流程，為學生循序漸進的指導等差數列相關知識與內容（詳見圖1）。

以“等差數列{an}中，a1+3a8+a15=120，則2a9-a10的值為（）”題為例，由于a1+3a8+a15=120，故而a8為24。所以2a9-a10=a10+a8-a10為24。

等差數列的通項公式為a（n）=a（1）+（n-1）×d，n為項數?；谕椆娇梢钥闯?，a（n）是n的一次函數（d≠0）或常數函數（d=0），如果（n，an）處于同一條直線上，那么S（n）是n的二次函數（d≠0）或一次函數（d=0，a1≠0），且常數項為0。結合等差數列的通項公式以及等差數列的內涵可以得出，前n項公式還可以推出a（1）+a（n）=a（2）+a（n-1）=a（3）+a（n-2）=…=a（k）+a（n-k+1）等公式。在課堂教學活動中，教師可以采用小組討論的方式，在為學生介紹完成等差數列的通項公式以及內涵的基礎上，組織學生結合定義進行小組合作研究，通過等差數列的公式等深入研究能夠根據通項公式或者是定義推導出其他的可能性。

在學生小組合作討論的過程中，教師需要走到學生身邊給與學生適當的思維引導，在小組合作的教學方式下發揮學生的主觀能動性與創造性，發現更多的可能性[2]。適當減少教師在課堂教學中的話語量，能夠增加學生的課堂話語量，真正展現學生在高中數學課堂教學中的主體地位。

二、等比數列的性質與運用分析

等比數列是從第二項開始，每一項和它前一項的比與同一個常數相等，那么這個數列則可以稱之為等比數列[3]。這個常數，也可以作為等比數列的公比，則可以采用q來表達，即為當q=1的時候，an是常數列。

等比數列通項公式中，如果變形為an=a1/q*q^n（n∈N*），在q大于0的時候，則可以將an作為自變量n的函數，那么（n，an）則可以看做曲線y=a1/q*q^x中一項孤獨存在的點。

在教學實踐研究中，等比數列的通項公式是：an=a1×q^（n-1）【（a1≠0，q≠0）】。結合求和公式：Sn=na1（q=1）能夠得出等比數列中各項之間的關系。性質：數列{an}公差為a1等差數列的充分條件為an=，（n≥2）。

證明的過程中，可以首先證明必要性，這個時候的前n項公式和為Sn=a1，根據公差可以得出（n+1）Sn-1=（n-1）Sn，可以看出n大于等于2的時候，可以將帶入上式綜合分析得出Sn=a1，這是之前已經得出的前n項公式和，必要性能夠得到論證。通過實踐研究的方式能夠明確等比數列公式的性質，根據數學歸納的原則，可以得出{an}是公式為a1的等差數列。

教師在指導學生學習完成等比數列的性質之后，可以通過適當問題的方式，為學生布置實踐探究任務。教師可以結合等比數列的性質進行綜合分析，提出一些相關案例：

比如等比數列{an}的首項a1=-1，前n項和為Sn，若S10/S5=31/32，則公比q為（）。在這道問題中，因為S10/S5=31/32，a1=-1.可以得出公比q≠1，故而S10-S5/S5=-32/1，根據等比數列前n項和公式的性質能夠得出，S5，S10-S5，S15-S10成比數列，且公比為q5，故而得出q5=-32/1，q=-2/1。答案為-2/1。

以2012年北京高考數學題為例，已知{an}為等比數列，下面結論中正確的是（）

這一道習題考察的是學生的等比數列性質掌握情況，屬于探究型習題，在課堂教學活動中，教師可以組織學生進行綜合分析，為學生布置學習的任務。學生可以通過自主探究或者與其他學生進行討論的方式解答問題。

在a1+a3=+a2q，同時在a2，q同在正時，a1+a3≥2a2成立，結合等比數列的性質，能夠根據正負q的符號而明確答案。設等比數列公比為q，那么則可以結合公式求得結果，答案最后選擇B。學生需要在明確掌握等比數列性質的基礎上，深入分析各個選項的可行性，得出最后的答案。在任務輸出的過程中，如果學生存在一定的疑慮，教師則可以結合學生的問題，給與適當的思維引導，比如教師可以通過“當且僅當a2，q同為正時，a1+a3≥2a2是否成立？”等話語，啟發學生的思維，使學生能夠明確邏輯思維的方式，通過等比數列的公比與等比數列的性質解答問題。

在高中數學課堂教學活動中，教師需要明確學生在課堂學習中的主體地位，結合學生的實際學習能力進行教學設計，關注學生綜合知識的掌握情況。

三、結束語

等差數列與等比數列均為當前高中數學教學中的重要內容，在各類高考數學例題中普遍存在。通過等差數列的性質與運用分析與等比數列的性質與運用分析，能夠結合高中學生的實際學習能力與性格特點進行教學設計，提升高中數學課堂教學的質量，為高中學生營造一個良好的學習與發展平臺，提升學生的各項知識掌握能力，為學生數學知識的深入學習與全面發展奠定良好的基礎。

參考文獻：

[1]張秀萍.從函數角度來進一步認識數列和利用函數解決數列問題[J].廣西師范學院學報（哲學社會科學版），2011，S1（23）：134-136