時間序列在安徽省GDP預測中的應用

摘 要：本文搜集了安徽省1978年-2015年的地區生產總值作為數據基礎，根據時間序列的相關理論，對數據進行平穩化檢驗，在通過合理的平穩化處理之后，對數據進行AIC定則檢驗，找到最合適的模型，并用此模型對參數進行相關估計。這里最終建立的是自回歸移動平均模型，經過檢驗，識別出的最理想模型為ARIMA（1，1，2）。先利用此模型對安徽省2014年和2015年的GDP作出預測，將預測值與實際值進行相對誤差分析，得到的相對誤差在可控范圍之內，從而認為該模型的可行性高。最終利用ARIMA（1，1，2）模型對我省“一三五”規劃期間5年地區生產總值做出預測，結果顯示超過了2020年的目標GDP。

關鍵詞：ARIMA模型；GDP預測；單位根檢驗

一、選題的背景及意義

“十二五”已經落下帷幕，總結報告顯示這五年我省的地區生產總值從12263.4億元增長到22005.6億元，上一個一五相比，總量增加了近1萬億元，這是非常值得欣慰的?，F在的安徽已經站上了一個新的發展平臺，展望新的一五，我省將繼續實施創新、協調、綠色發展，加快創建創文化強省、生態強省、經濟強省的步伐，以確保安徽實現全面小康社會。我們將為著這個目標去奮斗，去開創美好安徽的新未來。

本文將以近年來安徽省地區生產總值為基礎，建立時間序列模型，對安徽省經濟增長的內在特征進行分析。最終使用這個恰當的模型來對安徽省“十三五”期間的地區生產總值做出預測，與“一三五”規劃中安徽省2020年的GDP目標值做比較，大致可反映我省是否能達到目標產值的情況。

二、本文主要工作

首先我們從《安徽省統計年鑒》中選取了改革開放以來安徽省1978年-2015年共38年的地區生產總值，對這些基礎資料進行對數轉化，再求一階差分或二階差分，直到相關的序列圖和ADF單位根檢驗通過了平穩性檢驗。再對平穩化數據進行可能的ARIMA（p，d，q）模型的識別，通過AIC定則篩選出最佳的ARIMA（p，d，q）模型。接著對該模型實施殘差序列檢驗，進一步精確判斷模型的準確性。最后用該模型對安徽省進行短期的預測，得到的相對誤差在可控范圍內即可認為模型的良好，便可以對安徽省“一三五”規劃這5年進行地區生產總值預測了。

三、ARIMA模型建模步驟

1.數據的平穩性檢驗和處理

初始的時間序列數據得到之后，對其平穩性檢驗必不可少。一般來說，散點圖或折線圖就可實現，但要做到精確判斷還是要依靠ADF單位根檢驗的相關數值。對非平穩時間序列的處理可以通過取對數、作一階差分或二階差分來完成。這里的差分次數就是ARIMA（p，d，q）模型中的階數d。理論上說，可以通過差分處理來提取非平穩序列中的確定性信息，但并不是一昧的差分階數越多越好，差分階數越多，損失的實際數據的信息就越多，所以為避免過度差分，一般將差分次數限制在兩次以內。

當數據序列經過平穩化處理之后，我們便可得到相應的d值，這樣我們的ARIMA（p，d，q）模型就轉化成了ARMA（p，q）模型。

2.模型的定階

ARMA（p，q）模型的階數和系數特點我們可以用通過它的相關系數和偏自相關系數初步判定，如下表。

在平穩時間序列中，可以通過自相關和偏自相關系數的分析得到模型的初步階數，但這并不準確。要想準確的定階還是通過AIC定則最為靠譜，最終找到一個最理想的模型階數。

3.參數估計

在數據模型的階數確定之后，需要來估計ARMA模型的相關設計參數。這里我采用的是OLS最小二乘法。值得我們關注的是：由于MA模型的參數估計比一般模型復雜，當遇到平均移動項含有高階的ARMA模型或移動平均模型的階數較高時我們應盡量避免。

4.模型檢驗

當上面的任務完成以后，需要對模型的估計結果進行診斷和檢驗，來推斷我們所選的模型是否恰當。要想看出擬合的模型合理與否，主要表現在兩個方面：首先是模型參數估計值的顯著性；其次是模型的殘差序列是否符合白噪聲序列的條件。

四、基于時間序列的安徽預測分析

安徽省地區生產總值（GDP）受到各方面的經濟基礎、人文發展、人口增長等諸多因素的影響，這其中存在著各種錯綜復雜的相關關系。這里我們化繁為簡，只將安徽省改革開放以來的三十幾年的地區生產總值作為原始時間序列，找出其中的規律，建立理想的數學模型，來預測出我們所需要的未來GDP預測值。這對預測安徽省“一三五”的經濟概況具有重要的現實意義。

1.安徽省GDP時間序列分析

在ARMA模型中，時間序列產生于一個平穩的隨機過程，若反映在圖像上，便是所有的樣本點都圍繞在某一確定的水平線上下浮動。所以，對非平穩時間序列做好取對數和差分等平穩化處理非常重要。

（1）平穩性檢驗

在安徽省原始GDP的時間序列圖1中可以看出我省的地區生產總值具有明顯呈指數型的上升趨勢，所以這個序列明顯是非平穩的。進一步進行ADF單位根檢驗更驗證了這個觀點，從表1可以看出，p值幾乎等于1，t統計量也不樂觀。所以檢驗未通過，表明原始序列是非平穩的。

由于模型的需要，首先要做的就是平穩化處理，這里通常有兩種方法，一種是取對數，一種是差分（一階或二階），這兩種對原序列的平穩化都有顯著效果，下面具體介紹。

（2）平穩化處理

首先對安徽省GDP數據進行對數化處理，記為lnY。在對lnY作圖時發現它的上升趨勢仍十分明顯，且ADF單位根檢驗中的t統計值分別大于1%，5%，10%水平下的檢驗值，即序列是非平穩的。所以要進一步進行一階差分，來提取出這其中曲線趨勢的影響。對lnY序列一階差分后的序列記為DY，它的平穩性檢驗結果如下：

由圖2的時序圖可以看出所有的樣本點已經基本上在一條水平線上下浮動，但并不直觀。于是接下來進行ADF單位根檢驗，由表2檢驗結果可以看出，在5%和10%的顯著性水平下一階差分的t統計值均小于相應的Testcriticalvalues，即結論是接受不存在單位根這一說法。并且后面的Prob列讀出的p值也比0.05小得多，所以對lnY差分后的序列DY是平穩的。

2.安徽省GDP時間序列模型的建立

本文研究的安徽省GDP是一個一元的時間序列，我們通過對過去的歷史數據間的隨機誤差項構建模型來預測未來所需要的數據。一般來說，隨機誤差項是在不同時刻都統計獨立的，且服從于正態分布。要想找到最合適的ARMA模型，階數的確定和參數的估計是最重要的因素。

（1）模型的定階

從樣本的自相關與偏自相關函數的圖形中可以大致判斷序列所要構建的ARMA（p，q）模型的階數，但想準確確定，還需要一系列的試驗。

在圖3中，DY序列的自相關系數在滯后一期后出現衰減，并且在后面的滯后階數中逐漸趨向于零值，這表現出拖尾性；相似的，偏自相關系數在圖中也表現為滯后一期后出現衰減并趨于零，但他的偏自相關系數都明顯大于0，于是可以大膽的理解為偏自相關系數也具有拖尾性。那么在對模型的階數進行初步判斷時，我們可以取1，也可以取2。準確的定階我們是通過AIC定則來判斷的。

由表3分析可知，在所有可能的ARMA（p，q）模型中，除去未通過檢驗的模型，剩下的AR（1），ARMA（1，2），MA（1）模型在R-squared、Adjusted R-squared、p值以及DW值的綜合判斷下擬合效果比較理想。

（2）模型參數估計與建立

分別對上述三種模型進行參數估計，得到的ARMA（1，2）的AdjustedR-squared值比AR（1）和MA（1）的AdjustedR-squared值要大，而且AIC和SC的值前者比后兩者要小，故選擇ARMA（1，2）最為合適。此處因篇幅有限，只列示出最佳的模型參數估計，如圖4：

（3）模型檢驗

上述工作完成以后，模型的檢驗也是必不可少的一部分，我們需要檢查和診斷統計結果，綜合考慮該模型是否符合要求。由ARIMA（1，1，2）模型的殘差序列檢驗圖5可以看出，Q統計值均小于對應自由度的的卡方分布的檢驗值，并且在最后一列我們可以看到所有的p值都顯著大于0.05，因此可斷定該殘差序列是白噪聲序列，也可以認為ARIMA（1，1，2）模型通過了檢驗。

3.安徽省GDP短期預測及分析

在進行預測之前，先用1978年-2013年的安徽省GDP數據對2014年和2015年的GDP作出預測，并與實際值計算得到相對誤差，如表4：

由上表可知，2014年-2015年的安徽省GDP預測值與實際值的相對誤差都比較小，結合我省的實際情況，該誤差算是在可接受的范圍內。也進一步說明了ARIMA（1，1，2）模型的可行性和準確性。

最終我們用ARIMA（1，1，2）模型對安徽省未來5年即“一三五”期間的GDP做出預測，預測值如表5所示，輕松突破了我省定下的2020年地區生產總值36000億元：

五、結術語

本文通過對1978年-2015年安徽省GDP的數據分析及建立的模型，對2016年-2020年安徽省GDP作短期預測，這為安徽省制定經濟發展目標提供了決策參考價值。在“一三五”規劃大綱中，安徽省的經濟發展目標表明，到2020年安徽省地區生產總值目標是36000億元，并希望能向40000億元沖刺。從本文的未來5年的預測值看出，2020年預測可達到37112.87億元的GDP，超過了一三五規劃中安徽的GDP目標。

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作者簡介：宋靜（1995- ），女，安徽六安人，安徽財經大學，應用統計學專業