強化分類思想，提高數學解題水平

朱海波

【摘 要】 分類思想是初中學生必須掌握的一種數學思想，初中生只有學會這種思想，才能高效地解答某些數學習題。教師要善于引導學生結合數學公式分類，引導學生結合隱含條件分類，引導學生結合復合條件分類。

【關鍵詞】 分類思想；數學；解題；水平

分類思想，是指在宏觀地看待一個數學問題以后，將解決數學問題的方法分類，依次解決數學問題的方法。分類思想是初中學生必須掌握的一種數學思想，初中生只有學會這種思想，才能高效地解答某些數學習題。

一、引導學生結合數學公式分類

在應用分類思想解決數學問題的時候，有些初中生會問，哪些數學習題需要應用分類思想來解決，哪些習題不需要應用分類思想來解決呢？數學教師要引導學生從數學概念、數學性質的角度理解眼前要解決的數學問題需要不需要分類。

以初中數學教師引導學生做習題1為例：如果|m-n|=n-m，并且|m|=4，|n|=3，那么求出（m+n）=（m+n）2的數值。這一道數學習題是解絕對值的習題，絕對值問題的性質本身就存在分類的概念。絕對值存在正值、負值、零的問題。學生在解決絕對值問題時，尤其不能忽略絕對值可能為零的問題，否則可能出現解題錯誤?，F解答習題1：由于|m|=4，并且|n|=3，因此m=±4，n=±3，結合條件|m-n|=n-m，于是可得n-m ≥0，n≥m。將條件代入不等式中，即n=3時，m 的取值為-4，（m+n）2的數值為1；而當n=-3時，m的取值為-4，（m+n）2的數值為49。于是可得（m+n）2的數值為1或49。在數學問題中，平面幾何問題也存在分類的概念，比如平面幾何問題可以分為四邊形問題、三角形問題、圓形問題等，每一類問題中又包含有數個問題。幾何問題可以用分類問題來討論，概念問題也存在分類討論的問題……。數學教師要引導學生了解分類思想是一種重要的解決數學問題的思想，學生要學會給數學概念、數學公式應用分類思想解決各種數學問題。

學生在解決數學問題中，可能會遇到一些需要應用到數學概念、數學公式的問題，此時學生可應用分類思想解決這些數學問題，在這一環節里，學生需要關注的是是否漏掉了某些數學分類。如果學生深入了理解數學概念和數學公式，便能應用分類思想解決該類數學問題。

二、引導學生結合隱含條件分類

學生在解決數學問題的時候，有些問題的分類條件是隱含的，需要學生自己去尋找出來的。教師要引導學生應用數形結合的思路來看待這些數學問題，正確的對數學問題分類。

以初中數學教師引導學生學習習題2為例：⊙O是等邊△ABC的外接圓，其中D是BC上異于B和C的一點。問題1：在CD的延長線上的延長線上取點E，令DE=BD，求證△BDE是等邊三角形；問題2：BD的度數比為1∶3，⊙O的半徑為1，取點F，使△DCF為等腰鈍角三角形，求DF的取值范圍。參看這一題的問題2，如果學生能夠發揮空間想象力，便能了解F有三種取值方法，這三種取值方法的描述如圖1、圖2、圖3，只要學生的空間想象力不足，就會漏掉解題的條件。習題2的取值條件與數學概念和數學公式有關，然而卻并非包含在數學概念和數學公式里，學生必須依靠自己的想象力挖掘隱藏的取值范圍，找到完整的解題思路。數學教師在引導學生應用分類思想解決數學問題的時候，要引導學生了解到有些數學問題的分類方法不是顯而易見的，如果學生發散能力不足，可能就會忽略掉隱藏的解題條件。為了避免解題時出現這種問題，教師要引導學生在遇到較難的數學問題時，學會用數形的方法輔助思想，圖形的直觀性比較強，學生可借助幾何圖形、座標圖形發揮想象力，挖掘習題中隱藏的數學條件。

學生如果僅僅應用現有的數學概念、數學公式，可能還不能解決部分數學問題的分類問題，教師要引導學生用另一種角度思考數學問題：嘗試應用豐富的想象力找到數學問題的分類，再應用分類思想解決數學問題。

三、引導學生結合復合條件分類

部分數學問題不能應用一種分類思想分類，它可能存在多種分類的思路，這時數學問題的分類就顯得比較繁鎖。為了幫助學生找到分類的要點，數學教師要引導學生用抽象的復合條件看待數學分類的問題。找到分類的切入點。

以數學教師引導學生做習題2為例：已知拋物線y=x2+x+m與x軸相交于A、B兩點，與y相交于C點，求△ABC 可能出現的分類。這一題的分類問題由三個因素決定，第一個因素為拋物線的因素，第二個因素為直線的因素，第三個因素為座標軸的因素。學生只有全面的考慮這三個問題，才能準確地抓住這個數學問題的分類要點。數學教師在引導學生解決這類數學問題時，要引導學生用集合的思路來思考數學問題的分類。即將第一個因素和第二個因素視為兩個集合，從中找到分類問題的交集。然后該交集形成一個新的集合，結合該集合與第三個因素集合進行判斷，再次得到集合。該集合就是數學分類問題的分類條件。應用該思路，可找到習題3的解題思路，描述如圖4與圖5。初中生在遇到數學問題時，有時涉及到數學問題的分類因素比較多。教師要引導學生應用集合與排除的思路找到數學問題分類的條件。

學生在遇到復合數學問題分類因素時，要應用抽象的思路來考慮數學分類的問題，此時學生首先要用抽象的思路找到影響數學問題分類的因素，然后結合多種因素繪制出幾何圖形及排出流程圖來找到數學問題分類的關鍵。當學生找到數學分類的關鍵時，可通過畫圖來驗證自己的分類思路是否具有可行性。

分類思想是解決數學問題的一個重要思想，初中學生如果學會應用數學分類思想，就能把一個復雜的數學問題變為幾類簡單的數學問題，化簡解題的過程。然而學生應當如何應用分類思想呢？本次研究說明了分類思想應用的方法，數學教師要引導學生掌握本次研究所述的數學分類技巧，這些數學分類技巧會成為學生解決數學問題的有力武器。

【參考文獻】

[1]和玉梅.數學分類思想及其應用[J].科技致富向導2014年21期

[2]劉芳芳.淺析中學數學分類思想方法[J].數理化學習2015年08期