軸孔協調接觸建模與試驗研究

李云濤, 全齊全, 唐德威, 侯緒研

(哈爾濱工業大學 機器人技術與系統國家重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001)

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軸孔協調接觸建模與試驗研究

李云濤, 全齊全, 唐德威, 侯緒研

(哈爾濱工業大學 機器人技術與系統國家重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001)

傳統的軸孔接觸解析模型通常研究軸與帶孔無限大平面的接觸問題，未考慮孔壁厚度對軸孔接觸特性的影響。本文考慮孔壁厚度對軸孔接觸特性的影響，基于Winkler彈性基礎模型和幾何約束條件，沿接觸點的法線方向建立了軸孔協調接觸解析模型。分析軸孔協調接觸模型發現，接觸力和接觸剛度受間隙和孔壁厚度影響較大?；趫D像法開展的軸孔接觸試驗結果表明，軸孔的接觸剛度隨接觸深度的增大呈現非線性增大的特征，而且與以往的軸孔靜態接觸模型相比，本文所建立的模型與試驗數據的吻合程度較高，因而本文提出的接觸模型能夠準確描述軸孔的協調接觸特性。

協調接觸模型；回轉鉸鏈；幾何約束；Winkler；彈性層；圖像法

由于回轉鉸鏈內存在間隙，軸孔接觸面間的接觸碰撞過程對機構動態特性產生一定影響[1-3]。軸孔靜態接觸模型可為回轉鉸鏈接觸碰撞特性和機構動態特性的研究提供理論基礎。本文針對小間隙的軸孔協調接觸問題開展模型建立與試驗研究工作。

解析法是最早被用于建立接觸模型的方法。Hertz基于彈性半空間理論建立了物體間的接觸模型[4-5]。Goldsmith建立了軟材料和高初始接觸速度的接觸體間的接觸模型[6]。Hertz和Goldsmith建立的模型僅適合解決含有大間隙且承受小載荷的軸孔非協調接觸問題[7-9]。Steuermann將物體接觸表面的幾何形狀描述為N次多項式的形式，但建立的協調接觸模型的計算精度取決于N的取值[10]。Liu沿用Hertz模型的接觸應力分布形式，基于幾何約束條件細化了接觸點距離函數[11]。Persson和Ciavarella忽略孔壁厚度對軸孔接觸特性的影響，建立了帶孔無限大平面的軸孔接觸力模型[12-14]。

數值法已廣泛用于研究物體結構對接觸特性的影響[15-19]，但在求解接觸問題時數值法的計算精度依賴于接觸參數的設置以及網格的劃分精度。

半解析法具有解析法計算準確和數值法處理邊界靈活的優點。由于采用解析法難以完全確定軸孔的接觸深度和彈性變形關系式，通常需要結合數值法解決此問題[20-23]。Fang采用有限元法獲取了球鉸接觸應力分布指數與接觸半徑比的函數式，推導出球鉸接觸力模型[20]。Liu將孔半徑作為彈性層厚度，基于有限元法和Winkler理論建立了間隙球鉸和回轉鉸鏈接觸力模型[21-23]。采用半解析法建模時，解決了物體接觸的邊界約束問題并節省了計算時間，但中間變量的函數只是近似的解析形式，因而半解析法的計算精度比純解析法低。

本文建立了基于幾何約束條件和Winkler彈性基礎理論的軸孔協調接觸模型，并采用圖像法開展了軸孔接觸模型驗證試驗。試驗結果表明所建立的模型能夠準確描述軸孔的接觸特性。

1 軸孔接觸模型建立

1.1 間隙函數

在建立軸孔接觸模型之前，提出以下幾點假設：1)忽略軸孔間摩擦對接觸模型的影響；2)在接觸區域內，接觸變形前軸孔輪廓線上對應弧長相等的點相互接觸；3)在軸的中心處加載并且孔的外輪廓線固定，軸孔變形后的輪廓線連續；4)接觸區域的接觸半角不大于90°。

在接觸區域內，接觸變形前軸孔輪廓線上對應弧長相等的兩點A、B(圖1所示)接觸。A、B兩點的接觸過程可視為兩個階段：1)在載荷作用下，點A沿-Y方向發生剛性位移移動到點A′；2)由于軸孔接觸發生彈性變形，A′和B兩點分別經過法向un1和un2、切向位移uθ1和uθ2后接觸。

圖1 軸孔二維接觸模型Fig.1 Two-dimensional contact model of shaft and hole

在軸孔剛開始接觸時，初始間隙C0(θ)(圖1中P1P2距離)為

C0(θ)=R2-r1(θ)

(1)

式中：θ為OP1與x軸夾角，r1(θ)為OP1長度，R2為孔半徑。

在△OO1P1中，運用余弦定理建立ΔR與r1(θ)關系式：

式中：R1為軸半徑，ΔR為軸孔初始間隙，ΔR=R2-R1。r1(θ)進一步表述為

由于ΔR?R1，r1(θ)函數中ΔR的二階及二階以上的高次項可忽略。式(1)中C0(θ)可描述為

C0(θ)=ΔR(1+sin θ)

在外載荷P作用下，軸沿-y方向移動位移δ。在△OO1′P1′中，運用余弦定理可求出軸孔接觸后的間隙函數C1(θ)。由于δ?R1，所以δ的二階及二階以上的高次項可以忽略，則軸孔接觸后的間隙函數為

C1(θ)=ΔR(1+sin θ)+δsin θ

(2)

1.2 法向彈性變形函數

接觸區域內的法向彈性變形un(φ)為

un(φ)=un1(φ)+un2(φ)， φ∈[-ε,ε]

式中：φ為軸孔接觸輪廓線上任意點對應的中心角，un1(φ)和un2(φ)分別為軸和孔的法向彈性變形，ε為接觸半角。

考慮軸孔的法向彈性變形，軸孔的間隙函數為

C(θ)=C1(θ)+un(φ)

接觸區域內間隙C(θ)為零，可根據上式求得法向彈性變形函數：

un(φ)=-C1(θ)

將上式代入式(2)，并用φ替換θ，則

un(φ)=δcos φ-ΔR(1-cos φ)

(3)

1.3 接觸力與接觸剛度模型

Winkler彈性基礎模型可用于求解在載荷作用下彈性物體發生的彈性變形量[4]，其表達形式如下

式中：p為接觸力，E為材料彈性模量，h為彈性層厚度，uz為沿接觸深度方向彈性變形。

軸孔均具有一定的柔性，可等效為一系列彈簧的形式。接觸角度為φ處的法向接觸應力p(φ)與法向彈性變形關系為

(4)

式中：t1和t2(φ)分別為軸和孔的彈性層厚度，E1和E2分別為軸和孔的彈性模量。

當軸孔的材料相同時，E1=E2=E。由于軸孔間隙遠小于彈性層厚度，因而在處理彈性層問題時忽略間隙值。圖2所示的彈性層厚度滿足如下幾何關系:

式中：t2min為孔的最小壁厚。

圖2 軸孔的彈性層示意圖Fig.2 Elastic layer sketch of shaft and hole

聯合式(3)和式(4)，獲取接觸角度為φ處的法向接觸應力：

[(δ+ΔR)cos3φ-ΔRcos2φ]

(5)

在接觸區域內，y向接觸應力沿著接觸寬度方向(x方向)分布為

式中：x為接觸點的橫坐標值。

將上式代入式(5)，可得軸孔y向接觸應力:

(6)

在接觸區域上任取一彈性微元(圖2所示)，則彈性微元承受的外載荷為

dp=p(φ)rcos φdφ

式中：p(φ)為接觸角度為φ時軸孔的接觸應力，r為接觸點與固定坐標系原點距離。由于間隙值ΔR和滲透深度δ且均遠小于軸半徑R1，因而r≈R1。

對法向接觸應力積分獲取單位接觸長度外載荷

將式(5)代入上式，獲取單位接觸長度外載荷:

軸孔在接觸邊界處的彈性變形un(φ)為零，因而由式(3)獲得軸孔接觸邊界條件:

(7)

將式(7)代入上式，獲得單位長度的外載荷P與接觸深度δ關系式(即軸孔接觸力模型)：

(8)

軸孔的非線性接觸剛度為

(9)

2 接觸模型參數分析

針對所建立的軸孔接觸模型，分析不同接觸深度下軸孔的接觸狀態、y向的接觸應力分布情況以及軸孔間隙與彈性層厚度分別對接觸力和接觸剛度的影響。

2.1 接觸狀態參數

隨著接觸深度的增大，軸孔的接觸寬度和接觸半角會相應發生變化，因而接觸寬度和接觸半角在一定程度上能夠反映出軸孔的接觸狀態。

接觸寬度與接觸半角存在以下關系：

(10)

式中：a為接觸寬度。

為了研究軸孔實時的接觸狀態，根據式(7)和式(10)繪制出接觸寬度和接觸半角隨著接觸深度的變化曲線(如圖3所示)?？椎陌霃?、孔的最小壁厚和軸孔間隙分別取12.5 mm、10 mm和0.05 mm。

圖3 接觸寬度和接觸半角曲線Fig.3 Curve of contact semi-angle and contact width

隨著接觸深度增大，接觸半角和接觸寬度呈現非線性增大趨勢，且接觸半角和接觸寬度的增長速度逐漸減緩。接觸半角隨著接觸深度增大，逐漸趨于穩定值(90°)，此結果與假設條件4一致。

2.2 y向的接觸應力分布

軸孔的y向接觸應力分布曲線可按式(6)繪制(圖4所示)。在分析接觸模型的參數時，軸孔材料為鋁合金7075?？椎陌霃?、孔的最小壁厚和軸孔間隙分別取12.5 mm、10 mm和0.05 mm。

圖4 y向接觸應力分布Fig.4 Contact pressure along y direction

新模型中的y向接觸應力分布形式與Hertz不同，未呈現出橢圓形分布。隨著接觸深度的不斷增加，軸孔的接觸寬度和峰值接觸應力不斷增大。軸孔的接觸應力呈對稱分布且峰值接觸壓力出現在接觸區域中心。

2.3 間隙的影響

為了更直觀的研究間隙對接觸模型影響程度，按式(8)和式(9)分別繪制不同間隙下接觸力和接觸剛度隨接觸深度變化曲線(圖5和圖6所示)?？装霃胶涂椎淖钚”诤穹謩e取12.5 mm和10 mm。

圖5 不同間隙的接觸力和接觸深度關系圖Fig.5 Relation between contact force and contact depth with different clearances

圖6 不同間隙的接觸剛度和接觸深度關系圖Fig.6 Relation between contact stiffness and contact depth with different clearances

在相同接觸深度下，接觸力隨著間隙的增大呈現非線性減小趨勢。軸孔間隙越小，接觸剛度趨于穩定的速度越快，因為間隙越小軸孔的接觸寬度趨于軸半徑的速度越快。在接觸剛度增大還未穩定之前，相同接觸深度下不同間隙的軸孔接觸剛度值相差較大，但是在穩定后接觸剛度值相差較小。

2.4 彈性層的影響

取不同的彈性層厚度值時，根據式(8)和式(9)分別繪制接觸力和接觸剛度隨接觸深度變化曲線(如圖7和圖8所示)?？装霃胶洼S孔間隙分別取12.5 mm和0.05 mm。

當軸孔接觸深度一定時，接觸力隨彈性層厚度的增加而急劇減小。當彈性層的厚度較小時，接觸剛度隨著彈性層厚度的增加而迅速上升，呈現出較強的非線性特征。隨著最小彈性層逐漸增大，接觸剛度的非線性增長趨勢逐漸減弱。這是因為當軸孔的材料一定時，Winkler彈性基礎模型中接觸剛度與彈性層的厚度成反比。當彈性層厚度達到一定數值，軸孔接觸剛度的穩定值之間的差異逐漸減小。

圖7 不同彈性層厚度的接觸力和接觸深度關系圖Fig.7 Relation between contact force and contact depth with different thicknesses of elastic layer

圖8 接觸剛度隨接觸深度和彈性層厚度變化圖Fig.8 Relation between contact stiffness and contact depth with different thicknesses of elastic layer

3 軸孔接觸試驗

目前軸孔接觸試驗研究主要是采用光彈性技術等技術測試試驗件的接觸應力分布情況[25-27]。Liu采用靜載壓力機獲取回轉鉸鏈的接觸剛度曲線，但未考慮軸在載荷作用下發生了撓曲變形[11]。為了驗證所建立的軸孔協調接觸模型的準確性，本文采用圖像法開展了軸孔壓縮試驗。

3.1 試驗原理

使用INSTRON高低溫靜載試驗機在試件的圓環上表面加載(如圖9所示)。壓力機的位移測量精度(0.01 mm)不能滿足試驗中測量接觸深度的精度要求，采用圖像法可以提高位移測量精度。

圖9 試驗原理圖及測試設備Fig.9 Schematic diagram and test setup of experiment

在試驗中將厚度為5 mm的1級標準量塊作為測量標準塊，其實際尺寸與圖像中的像素點個數的比值作為測量比例尺。圖像中A、B兩點的像素變化量可直接獲取，然后再乘以比例尺可得到軸和孔的位移變化量ΔSAB。同理可獲取C、D兩點對應的位移變化量ΔSCD，最后取ΔSAB和ΔSCD的平均值作為軸孔的接觸深度。

3.2 試驗條件

靜載壓力機的加載精度為5‰Fmax。試驗機的加載速率控制形式分為兩種類型：位移速率加載和載荷速率加載。設置位移閾值或載荷閾值可停止加載。試驗中采用載荷速率的方式加載，設置載荷閾值停止加載。加載量程、加載速率和加載間隔分別為0～15 000 N、60 N/s和1 000 N。當施加15 000 N的載荷時，由式(6)可知軸孔在y向的接觸應力小于鋁合金材料的許用接觸應力，因而軸孔的材料在試驗過程中未發生塑性變形。

每次加載結束后觸發快門線按鈕，使用1 800萬像素相機獲取A、B、C、D四處標記點及量塊的圖像。試驗件的尺寸如下：R1=12.46 mm，R2=12.5 mm，L1=18 mm，L2=15 mm，t2min=10 mm，t0=5 mm。

3.3 試驗結果及分析

將原始圖像邊緣處理，得到如圖10所示的結果。量塊上下邊緣在圖像中占據的像素點數為1 882，因而單個像素代表的尺寸為0.002 66 mm。

開展5組軸孔壓縮試驗，獲取總載荷與軸孔雙邊接觸深度數據，求出5組試驗數據的平均值，繪制如圖11所示的曲線。

圖10 軸孔接觸試驗結果Fig.10 Test results when shaft and hole contact

圖11 軸孔雙邊接觸試驗曲線Fig.11 Experimental curves of bilateral contact between shaft and hole

試驗結果反映出軸孔的接觸剛度隨著接觸深度的增大逐漸增大，且呈現出非線性的特征。將Hertz[5]、Persson[12]、Liu CS[23]、Liu RQ[11]以及新建立的接觸力模型繪制成單邊軸孔的接觸剛度曲線(如圖12所示)。

Hert接觸模型的表達式為

(11)

式中：E*為軸和孔的復合彈性模量。

Persson接觸模型的表達式為

(12)

Liu RQ 接觸模型表達式為

(13)

Liu CS接觸模型表達式為

(14)

圖12 接觸剛度曲線Fig.12 Curves of contact stiffness

Hertz接觸模型中接觸剛度隨著接觸深度的增大呈非線性增大趨勢。在Hertz模型中假設軸孔上相互接觸的點是沿著接觸深度方向的點[5]，存在以下幾何關系：

δ-(uz1+uz2)=z1-z2

(15)

式中：δ為軸孔接觸深度，uz1和uz2分別為軸孔沿著接觸深度方向的彈性變形，z1和z2分別為軸孔接觸點距水平切平面距離：

Hertz接觸模型假設軸孔間的接觸區域很小，上式進一步簡化為

式中：z1s和z2s分別為簡化后的軸和孔接觸點距切平面距離。

簡化前后軸孔接觸點高度差為

式中：Δz(x)和Δzs(x)分別為簡化前和簡化后軸孔接觸點高度差。

簡化前后軸孔接觸點高度差的誤差為

Δz(x)-Δzs(x)=

(16)

因為接觸點沿x軸方向滿足x∈[0,R1]，所以Δz(x)-Δzs(x)≥0，即簡化后的軸孔接觸點的高度差不大于簡化前的高度。

由式(15)和式(16)可知，接觸深度經過簡化相應的減小，因而當接觸力取相同值時接觸剛度增大，而且隨著接觸寬度(或接觸角度)的增大簡化前后接觸剛度的差別會更加明顯。邊界接觸點的橫坐標等于接觸寬度值。當接觸力為1 000 N時，簡化前后軸孔接觸點高度差的誤差為0.021 5 mm，因而Hertz模型不適合描述軸孔協調接觸問題。

Persson、Liu RQ、Liu CS的接觸力模型曲線與試驗曲線的逐漸接近。與其他接觸模型相比，所建立的軸孔協調接觸模型曲線與試驗數據最貼近，因而能夠準確的描述軸孔協調接觸特性。

4 結論

本文提出了一種含間隙的軸孔協調接觸解析模型，可為回轉鉸鏈的接觸碰撞特性的研究提供參考。獲得以下結論：

1)軸孔接觸試驗結果表明，本文提出的模型相對于以往的模型能較準確地描述軸孔間的靜態接觸特性。

2)在相同接觸深度下，接觸力隨間隙的增大呈現非線性減小趨勢，而且間隙越小，接觸剛度趨于穩定的速度越快。

3)當彈性層厚度較小時，接觸剛度對彈性層厚度的變化呈現出較強的非線性特征，而且隨彈性層厚度逐漸增大，接觸剛度的非線性增長趨勢逐漸減弱。

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Modeling and experimental research on a coordinated contact between a shaft and hole

LI Yuntao, QUAN Qiquan, TANG Dewei, HOU Xuyan

(State Key Laboratory of Robotics and System, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

In this study, the traditional contact models mainly focus on the contact between a shaft and an infinite plane with a hole, usually ignoring the effect of the hole's wall thickness on the contact characteristics. A coordinated contact model is established on the basis of the geometric constraint condition and the Winkler elastic foundation model, given that the contact characteristics of the shaft and the hole are influenced by the hole's wall thickness. The model is built along a normal direction of contact points. A model analysis shows that the contact force and stiffness are greatly affected by clearance and wall thickness of the hole. The contact experiments based on the image method show that the contact stiffness of the shaft-hole nonlinearly increases following the contact depth increase. In addition, the contact model has good consistency with the test data compared with the other models. The model can more accurately describe the contact characteristics of the shaft and the hole than the previous models, thereby providing a theoretical basis for the analysis of the dynamic characteristics of mechanism with clearance.

coordinated contact model; rotation hinge; geometric constraint; Winkler; elastic layer; image method

2015-09-17.

日期：2016-09-28.

國家自然科學基金項目(61403106).

李云濤(1987-), 男, 博士研究生； 全齊全(1983-), 男，副教授，碩士生導師.

全齊全，E-mail：quanqiquan@hit.edu.cn.

10.11990/jheu.201509043

TH131

A

1006-7043(2016) 11-1546-07

李云濤, 全齊全, 唐德威, 等. 軸孔協調接觸建模與試驗研究[J]. 哈爾濱工程大學學報, 2016, 37(11): 1546-1552. LI Yuntao, QUAN Qiquan, TANG Dewei, et al. Modeling and experimental research on a coordinated contact between a shaft and hole[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2016, 37(11): 1546-1552.

網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20160928.1419.050.html