問題驅動模式下高等數學目標、路徑與課程建構研究

高瑞華

摘要：高等數學是培養數學思維的重要課程之一，也是洞曉數學抽象性，厘清數學思想發展變遷的重要載體。在大學階段，如何構建數學教育的目標，如何從激發學生問題意識上，探尋數學認知的有效路徑，提升學生對數學的學習效果。本文將從數學辯證思維入手，就高等數學課程教學模式建構展開探討，突出數學思想的領悟，強調數學認知與數學思維的養成，增強學生對數學內在邏輯性的理解和掌握。

關鍵詞：高等數學;問題意識;教學目標;路徑建構

中圖分類號：G642.0 文獻識別碼：A 文章編號：1001-828X（2016）027-000-02

在高等數學教育中，首先是將數學作為一種思維體操，提升學生的思維力、抽象力，促進學生養成良好的數學認知。如果將數學作為純粹的知識體系，那么，當學生看到“拓撲學”、“實變函數”、“泛函分析”等抽象知識時，其實數學已經變成了一把思維的篩子，讓更多的學生被所謂的數學知識“過濾”掉了。在這種情形下，數學興趣談何說起？學生對數學的積極性如何激發？現代教育理論與教育實踐的發展，對于高等數學教學，應該逐步走出傳統抽象性、邏輯性思維的窠臼，將數學進行逐級分化，兼顧不同層次學生的數學認知需求，更多的提升廣大學生的數學思維和認知力，強調對數學課程的應用。如在學習偏微分方程時，如果僅僅依據其數學理論來講解，勢必會帶來學習障礙，而如果能夠與具體的學科實例問題相結合，從實例教學中來展示偏微分方程的求解與應用，則更能夠增強廣大學生學習興趣，提升高等數學教學實效性。為此，以問題意識為導向，立足高等數學課程教學實際，從探索數學認知、構建數學教學目標上提出優化路徑，增進學生對高等數學的理解與應用。

一、問題是啟發認知方式、搭建認知結構的重要目標

大學不是純粹傳授知識的，更在于對學生認知方式、認知結構的塑造。美國學者奧蘇伯爾提出“智”是構成學生認知結構的單元，而智育是塑造學生認知方式的重要途徑。在對認知結構的分析上，知識是認知內化的基礎，也是構成認知結構的條件。對于大學階段的數學教學，以純數學為分支的課程主要有代數類、分析類、幾何類等內容，相同類型的課程，其培養思維的方式也類似。如在數學分析類課程中的復變函數，多建立在“數學分析”基礎上進行實數域推廣。同時，實變函數作為病態函數的精致化表現，也是提煉數學分析思想的重要內容。再如泛函分析，將幾何、代數及古典分析融為一體，探討無窮維空間上的函數變化理論?？梢?，弄清楚不同數學課程的知識結構特征，對于優化數學教學，構建良好的數學認知具有重要意義。通常情況下，問題是知識啟發的工具。對于數學問題多指向未知領域的認識。當然，教學目標作為知識與經驗的集合，決定了采用何種教學方式，來引導學生從已知到未知，漸進獲得數學能力。我們可以將學生頭腦比作一個箱子，對于問題就好比有待填充的空間。教學的過程，就是將前人的知識與經驗，通過問題解決的過程來轉變為學生的認知，塑造學生的認知結構。也就是說，數學知識在進行教學中，要盡量擬合活的經驗和知識，引導學生從一般思維活動中來內化為自我知識，掌握相應的數學分析方法。如果在構建數學教學目標上，提出的要求過高，超越學生的現有思維認知水平。如希望每個學生都能成為數學家，將數學教學轉換為數學研究，則難以拉近學生對數學的認知距離，更不利于學生習得數學。當然，數學教學應該有一個合理的目標，正如高爾基所言，目標具有激勵、導向作用，目標能夠激發學生的學習斗志，推動學生進行研究性學習，從而革新認知方式。

二、問題導向下高等數學課程教學路徑選擇與建構

針對數學教學中的問題導向，在把握數學認知點過程中，需要從理論講解、學科特性以及不同教學方法的運用中來獲得認知效果。

1.對于淺層數學問題轉換為逐級抽象認知理解方式

數學學科知識具有系統性、抽象性，對于淺層數學知識點，在講授方法上要注重數學技能修養的培養，特別是對學科本質性知識的講解，要能夠結合學科本性特征來延伸。數學知識中的結構模型通常是搭建教學體系的重要手段，其重點在于教師能夠根據學生對象的認知需求和實際，靈活處理教學內容，并對教學知識進行合理化組織，強調師生間的相互交流與互動。在淺層知識內容學習上，由于涉及的知識點不深，以常規教學模式為主，也需要導入研究性教學，面向學生以吃透學科知識為根本。當然，對于數學知識本身的抽象性特征，在選擇教學內容、教學方法上，還要考慮到學生認知的廣泛性、易受性要求。由于抽象性學科在思維認知上具有高度凝煉特征，特別是對于數學來說，其高度抽象性很容易抑制學生的學習興趣。不過，數學本身的抽象性也具有層級特性，遵循逐級發展特點。在數學知識講解上，可以以一些具體的抽象概念為基礎，來滲透其他抽象概念，以順應廣大學生的心理運算實際。如在學習實變函數時，先導入上極限、下極限概念，從這些淺層概念理解上，形成認知意識，接著再引申出實變函數概念，由此來把握抽象概念的認知點，增進學生對實變函數的理解。當然，在抽象概念講解上，對于數列的上、下極限，要從概念、定義、表示方式等方面進行呈現，讓學生從逐級抽象過程中來形成對復雜抽象概念的漸進理解。

2.在數學認知過程中融入文化內涵

從數學發展史來看，其數學認知過程并非漸進提升，而是迂回曲折的。對于數學概念中的奇聞軼事，往往能夠激發學生的求知熱情，提升對數學概念及數學學習的興趣。在數學發展史上，三次數學危機的發生，將數學史變得跌宕起伏而又趣味橫生。一種認知觀念的形成總是與其研究視角的變化有關。如非歐氏幾何提出的反駁歐氏幾何的論斷就是明證。歐幾里得提出，過直線外一點只能作一條平行線。而羅巴切夫斯基卻提出反駁意見：過直線外一點能作多條平行線。兩種幾何理論的對立，首先碰撞的是研究事物的視角迥異。在面對質疑與不解聲中，羅巴切夫斯基并未獲得其數學史上的贊譽，而是接連不斷的學術打擊，甚至連數學家高斯都未給予支持。從幾何學的發展歷程來看，認識視角的變化所帶來的學術革新是巨大的尤其是數學研究領域，其實例比比皆是。如數學中的局部微分幾何與整體微分幾何學的對立，其認識視角由局部到整體的轉變，也將數學概念拓深至更廣闊的認識領域。還有極限概念的提出，極限作為數學研究中的重要概念，可以說，沒有極限就沒有微積分，更沒有現代數學的發展。然而，基于極限概念的上、下極限數列的提出，將代數學與幾何學實現了連接，將距離逼近的角度定義為一列變動的數來刻畫未知的常數。由此可見，對于上、下極限的認識視角，將集合論作為研究距離逼近視角的研究范疇，不僅涵蓋了實數直線幾何結構，還推進了極限概念的廣泛應用。

3.運用數學思想來表征數學理論的實質

數學學科并非純粹的數學知識累積，也滲透了鮮明的數學思想。數學思想不同于一般數學理論，而是基于科學思維的抽象表達方式。當然，對于同一數學思想，可以用不同的數學語言來表達，也可以滲透不同的數學理論，便于學生從中來理解和應用。多元表征理論作為對信息論的多視角解釋方法，有助于學生從舊知識上升至對新知識的理解，有助于實現學生認知結構的遷移和轉換。從數學中子列收斂性來看，數列的上極限是涵蓋所有收斂子列中最大值，而對于聚點來說，上極限卻是數列的最大聚點;從確界的視角來看，上極限是基于上確界的遞減數列的下確界。由此來看，同一數學知識及理論，在不同的視角及數學語言表征上可以不同，盡管數學的符號化、形式化是數學表征的采用方法，但對數學思想來說，其活潑的科學思維更具美學特征。所以說，通過對數學本質的認知，將數學思想運用到數學思維培養上，讓學生近距離感受數學，理解數學，增進學習數學的樂趣。

4.立足問題來驅動數學教學的開展

數學家哈爾莫斯提出“問題是數學的心臟”。從數學教學實踐來看，問題是驅動學生認知養成的重要動力，特別是在構建問題認知情境中，利用問題來建構師生之間的交互狀態，引導學生從中探究知識，了解和把握數學概念和數學方法。因此，在數學知識傳遞過程中，要將問題置于其中，借助于問題情境來展現數學邏輯脈絡，讓學生從不同視角來探究問題，啟發學生掌握知識。

三、結語

研究數學的本性，探討數學認知結構與規律，從激發學生數學思維與趣味上，拓寬數學課程建構模式?？傊?，對于人的認知結構來說不是封閉的，而是開放的，不斷發展的系統。在數學教學上，要善于從合理教學目標的設定上，從問題的啟發與導向上，構建良好的數學認知方式，推動學生去了解、去探究、去掌握數學知識，完善自我認知結構，才能夠真正實現“授人以漁”的目標。

參考文獻：

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