兩個重要極限及其在求極限中的應用

游斌

摘要：本文主要討論了高等數學中兩個重要極限 ， 的推廣式，以及它們在求極限中的應用，使學生快速掌握解決此類求極限問題的思路方法。

關鍵詞：重要極限；應用；方法

高等數學中有兩個重要極限公式 ， ，這兩個重要極限的變形推廣，在求解極限問題時有一些重要應用。

一、第一個重要極限 的推廣及應用

1.第一個重要極限的推廣式

若 ，則 .

2.應用第一個重要極限求極限需要注意的問題

①推廣式中的“ ”可換成“ ”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”；

② 是連續函數；

③此重要極限主要解決含有三角函數的“ ”型未定式極限。

3.求解方法

首先將所求極限變形為“推廣式”，然后還原即可得出結果。

4.舉例說明

例1.求 .

解：

例2. .

解：

例3.求 .

解：

二、第二個重要極限 的推廣及應用

1.第二個重要極限的推廣式

若 ，則

2.應用第二個重要極限求極限需要注意的問題

①推廣式中的“ ”可換成“ ”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”；

②此重要極限主要解決“ ”型冪指函數的極限。

3.求解方法

一變二配三還原。具體如下：

①將冪底數變形為“ ”形式；②配冪指數：將冪指數配成“ ”；

③還原冪指數：通過加、減、乘、除常數的方法還原冪指數。

注：利用此方法時②③步要一起做，即配完冪指數后要立即還原冪指數。

4.舉例說明

例4.求 .

解：

例5.求 .

解：

例6.求 .

解：

例7.求 .

解：

例8.求 .

解：

參考文獻：

[1]李心燦.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2003

[2]畢艷麗.高等數學[M].天津：天津大學出版社，2008