初中數學函數最值問題求解探析

彭期川

摘要：函數最值問題是初中數學教學的一個重點和難點。本文例舉了初中數學函數最值問題中常用到的方法，如配方法、消元法等，以期幫助學生更全面的掌握函數知識，在實際的解題過程中可以從多個角度進行問題的解答。

關鍵詞：初中數學；函數最值；解題方法

函數最值問題是中考重點考查的知識點，作為基礎題型，初中數學中求函數最值問題往往是通過消元法和配方法進行解題的，其解法靈活性、綜合性強，對學生的理解能力要求高，學生為解決這類問題，需要全面掌握函數最值問題的解題思路與方法，綜合運用各種數學技能。

一、初中函數最值求解中配方法的運用

在初中數學中，配方法的運用很常見，在進行函數最值的求解中，往往也會用到配方法。在函數最值求解中配方法的運用指的是將題目已知的代數式或者不等式配成多個完全平方式，再根據完全平方式不可為負的性質對題目進行簡化計算。

例如，已知參數 和 都是實數，需要求的5y2+4xy+2x2+2y-4x-5這個函數的最小值為多少？

解題思路：這種題型是典型的函數最值問題，并且這個函數告訴了兩個未知的參數，參數之間并沒有具體的數值，這個時候完全可以通過運用配方法進行最值的求解。

原式=5y2+4xy+2x2+2y-4x-5

=x2-4x+4+x2+4xy+4y2+y2+2y+1-10

=（x-2）2+（x+2y）2+（y+1）2-10.

通過這樣的配方簡化，顯而易見當x=2，y=-1時，代數式的數值為最小值，最小值為10。

二、初中函數最值求解中消元法的運用

初中函數中消元法的運用主要是指通過已知不同變量轉換為某一種變量來統一表示不等式或代數式，再借助題目已知的條件進行解答，通過一定的運算達到最值的求解。

例如，已知參數x、y、z都是非負的實數，并且這三個參數滿足x+y-z=2，3x+2y+z=5這個代數式，假如S=2x+y-z，那么求S的最大值和最小值的和？

解題思路：這道題是典型的函數最值求和的問題，并且涉及到最大值和最小值兩個數量的求解，在這種時候可以運用消元法進行最大值和最小值的求解，轉化相應的變量，將待求問題轉換成只包含一個參數的式子，結合已知條件進行代數式的求解。

立方程式組為：3x+2y+z=5和x+y-z=2，參數x和y都用參數y表示，可得：

x=（7-3y）/4，z=（y-1）/4。

從已知條件可得：x=（7-3y）/4≥0，y≥0，z（y-1）/4≥0。

解得1≤y≤7/3。又因為S=2x+y-z=-3y/4+15/4，將y=1和y=7/3分別代入S，可以得出S的最大值為3，最小值為2，所以Smax+Smin=3+2=5。

三、初中函數最值求解中區間定動軸的運用

（一）定軸定區間

在函數求解中，運用函數圖像可以更直接的判斷其最大值和最小值。定軸定區間指的是函數的區間和對稱軸都是固定不變的，只需要通過觀察函數圖象變化進行最大值和最小值的判斷。

例如，求出函數y=x2-2x-3在區間[-2，2]上的最大值。

解題思路：觀察函數圖像，在閉區間上，這個函數的最值會出現在閉區間的頂點，或者出現在閉區間的端點，這個函數開口是向上的，在端點和頂點上都有可能取得最值。觀察所畫的草圖可以得出最大和最小值的位置，根據已知方程式可以得出其對稱軸x=1，所以最小值應該在x=1處取得，即ymin=-4，；最大值應該在x=-2處取得，即ymin=5。

（二）定軸動區間

定軸動區間指的是函數的對稱軸是可以確定的，但函數的閉區間是不能確定的，區間內的函數存在著變量。

例如，求出y=-x2+2x-2在區間[t，t+1]上的最大值和最小值的取值。

解題思路：此題最大的問題在于函數的區間是變量，所以不能通過直接觀察函數的端點和頂點進行最大值和最小值的運算。在這個題解題的過程中，需要分類討論，要根據區間端點與對稱軸之間存在的距離關系進行最大值和最小值的取值。

通過已知函數可以看出對稱軸x=1，當函數的對稱軸在區間的左邊時，t+1<1，ymax=y（t+1）=-t2-1；當函數的對稱軸在區間范圍內時，t≤1≤t+1→0≤t≤1，ymax=y（1）=-1；當函數的對稱軸在區間的右邊時，t≤1，ymax=y（t）=-t2+2t-2。

結束語：

初中函數最值問題考查的范圍內容復雜，要求學生邏輯思維能力強，并且能靈活的進行函數最值解題，對不同的題型要有不同的解題方法。本文結合了初中常見求函數最值的方法進行例題研究，希望能幫助學生在實際學習中能順利的進行函數最值求解，掌握多種解決函數最值問題的求解方法。

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