談最值問題與實際生活

蔡雅

摘 要：數學是一門應用性非常強的學科，數學知識在生活中的應用非常廣泛，數學知識可以解決生活中的很多實際問題。比如我們常常遇到的最值問題、最優方案問題等，這些都是最值問題的實際應用。本文將實際生活與最值問題聯系起來，在探討最值問題的同時，進一步明確數學在生活中的巨大作用。

關鍵詞：初中數學；最值問題；生活數學

最值的使用在生活中有很多，比如求兩個點之間的最短距離或者兩線段和的最小，還有我們平常生活中的利潤最大、成本最小等最優方案的問題。這些問題都可以轉化成數學問題，然后用數學的方法去解決。下面我們先來看看有關于線段的最值問題：

一、有關線段和的最值問題

有關距離的最值問題有一個簡單的問題原型。比如說要在公路上建一個公交車站，在公路旁有兩個村子A與B，問車站建在公路上的哪個位置才能使A、B兩村去車站的路程最短？這種“確定最短路線”的問題就是最經典的求最值問題。在這里，這個問題有兩種情形，第一是兩個村子在公路的不同側，這就轉化成了點與點之間的最短距離，也就是兩點間的連線。第二是兩個村子在公路的同一側（如圖1），那么這就是一個利用軸對稱解決極值的經典問題，而解決這個問題的基本方法就是對稱共線法。利用軸對稱變換，將線路中各線段映射到同一直線上（線路長度不變），確定動點位置（如圖2），計算線路最短長度。此時，這個問題的模型又變成第一種情況，兩個村子在公路的不同側了。

由上面這個簡單的例子我們可以歸納出求線段和最小的一般方法：通過軸對稱，將動點所在直線同側的兩個定點中的其中一個，映射到直線的另一側，當動點在這個定點的對稱點及另一定點的線段上時，由“兩點之間線段最短”可知線段和的最小值，最小值為定點線段的長（如圖3）。下面我們來看一道這種類型的變式題：

恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路X垂直，如圖4建立直角坐標系。著名的恩施大峽谷（A）和世界級自然保護區星斗山（B）位于兩高速公路同側，AB=50km，A到直線X的距離為10km，B到直線X和Y的距離分別為40km和30km。請你在X旁和Y旁各修建一服務區P、Q，使P、A、B、Q組成的四邊形的周長最小，并求出這個最小值。

分析：這道題目所涉及的四邊形的周長的最小值，包括四條線段的和，看起來會比較麻煩，不知道該怎么下手，其實求四邊形的周長的最小值，可以把周長分成四部分，先分析其中的兩段或三段，把問題拆解成類似原型題目這樣的簡單問題，再做進一步的分析。比如，可以先看BQ和QP這兩段的和的最小值，單獨看這兩段的話，就變得很簡單了，只要根據求兩條線段的和的一般方法，就可以解出。同樣的方法再分析QP和PA，然后把幾條線段綜合起來看，這道題就不難解決了。

解析：作點A關于X軸的對稱點A′，點B關于Y軸的對稱點B′，連接A′B′，AP+PQ+BQ=A′P+PQ+QB′≥A′B′。當P、Q在線段A′B′上時，AP+BQ+PQ=A′B′最小。

過A′、B′分別作X軸、Y軸的平行線交于C。在Rr△A′CB′中，A′C=100，B′C=50，交X軸于P，交Y軸于Q。

A′B′==50，而AB=50

∴四邊形APQB的周長最小值為：AB+A′B′=50（+1）

總結：有關線段和的最值問題是實際生活中常遇到的問題，解決這類問題的方法就是從最簡單的問題原型出發，抓住解決問題的關鍵，把不在同一直線上的線段轉化到同一條直線上。求多條線段的和的最小值就是要先把問題化成幾個小問題，把每個小問題解決，就能從整體上理清思路，解決整個問題。

二、有關函數的最值問題

有關函數的最值問題是中考?？嫉囊环N題型，也是生活中常用來解決實際問題的一種數學方法。下面我們來看這樣一個例子：某蒜薹生產基地收獲蒜薹200噸，下表是按批發、零售、冷庫儲藏后銷售三種方式每噸的平均售價及成本價：

若經過一段時間，蒜薹按計劃全部售出獲得的總利潤為y（元），蒜薹零售x（噸），且零售量是批發量的。（1）求y與x之間的函數關系式。（2）由于受條件限制，經冷庫儲藏售出的蒜薹最多80噸，求該生產基地按計劃全部售完蒜薹獲得的最大利潤。

解析：（1）設零售量為x，則批發量為3x，儲藏后銷售量為200-4x，

則y=（3000-700）3x+（4500-1000）x+（5500-1200）（200-4x）

y=-6800x+860000

（2）根據題意得：200-4x≤80，則x≥30

∵y=-6800x+860000在x范圍內單調遞減

∴x=30時，y取得最大值

y=860000-6800×30=656000

也就是求得當零售量為30噸的時候，售完全部蒜薹可獲得最大利潤656000元。

總結：除了一次函數以外，二次函數也是求最值的重要方法。這種方法用于生活中的很多問題。學習數學就是為了把數學知識運用到生活中，幫助我們解決生活中的問題。因此，我們在學習數學的時候一定要多聯系實際，數學和生活并不是兩個獨立存在的，而是一個緊密聯系的結合體。數學的學習能使生活中的問題得到解決，而生活中的問題又是數學知識的原型，是發展數學的重要動力。

最值問題是生活中常遇到的問題，通過數學建模來解決實際問題是數學知識用于實際的重要體現，這也正說明了數學知識的生活實用性，學習數學能為我們將來創造美好的生活發揮應有的作用。

參考文獻：

1.傅彪.關于折線段最小值問題的探究.中學數學初中版，2012，8.

2.趙秀琴.初中數學最值問題的解法.考試周刊，2012，44.

3.劉明海.盤點初中數學的最值問題.成才之路，2012，18.

（作者單位：浙江省諸暨市璜山鎮中學）