用熱力學理論深入剖析偏微分方程中初始條件和邊界條件的“如影隨行”

胡乃榕

【摘要】本文利用熱力學理論，深入剖析偏微分方程的本質。由于物體內部溫度的分布和變化方式的不同，為了確定其具體的物理狀態，不僅要考慮熱傳導規律，還要增加其他附加條件，即初始條件和邊界條件。微分方程描述了一個隨時間變化而不斷演化的動態過程，而初始和邊界條件則描述了在某個特定時間點該過程的幾種確定的存在狀態，捕捉到這些特殊時刻的狀態，既能保證解的存在，又能使解達到最優。

【關鍵詞】偏微分方程 初始條件 邊界條件 熱力學理論

如果一個微分方程中出現的未知函數只含有一個自變量，這個方程叫做常微分方程或簡稱微分方程；如果一個微分方程中出現多元函數的偏導數，或者說未知函數和幾個變量有關，那么這種微分方程就是偏微分方程。

偏微分方程研究一個方程（組）是否有滿足某些補充條件的解（解的存在性），有多少個解，解的各種性質以及求解方法等等，并且還要盡可能地用偏微分方程來解釋和預見自然現象以及如何把它用之于各門科學和工程技術。

物理學中的“熱傳導”現象，可以用偏微分方程的形式來描述。由于物體內部的溫度分布和變化方式的不同，為了確定具體的物理狀態，不僅僅考慮熱傳導規律，還要增加其他附加條件，即初始條件和邊界條件。

偏微分方程描述了一個隨著時間變化而不斷演化的動態過程，而初始和邊界條件描述物體在某個特定的時間點的確定的存在狀態。

一、利用熱力學理論，揭示偏微分方程的物理學本質

根據我們日常生活的經驗，可以知道當物體內部各處的溫度不同的時候，熱量就會從溫度高處向溫度低處傳遞，這種現象被稱為“熱傳導”現象。

假設將物體G內任意選取一個由曲面L所構成的區域D，依照熱量守恒定律，D內各點的溫度由任意時刻t1的u（x，y，z，t1）改變為t2時刻的u（x，y，z，t2）所吸收（或釋放）的熱量Q，等同于從t1到t2時間段內通過L進入（或流出）D內的熱量Q1和D內熱源供應的熱量Q2的和。

假設該物體的比熱是c（x，y，z），密度是ρ（x，y，z），那么溫度從u（x，y，z，t1）提高到u（x，y，z，t2）需求的熱量dQ=cρ[u（x，y，z，t1）-u（x，y，z，t2）]dV

區域D因為溫度變化需求的熱量是：Q=■cρ[u（x，y，z，t1）-u（x，y，z，t2）]dV （1）

依照微積分基本公式u（x，y，z，t1）-u（x，y，z，t2）=■■dt

（1）式可以寫成Q=■cρ■■dtdV=■[■cρ■dV]dt

此外，在不同的時刻t1和t2內，經過該物體內部曲面L進入D的熱量是：

Q1=-■[■k■ds]dt

由于物體內部或許存在著熱源，假設物體內部的熱密度是F（x，y，z，t），在時間[t1，t2]

體熱源能夠產生的熱量為：

Q1=■ [■F（x，y，z，t）dV]dt （2）

依照熱量守恒定律：Q=Q1+Q2 （3）

把（1）式和（2）式代入（3）中，得到：

cρ■=■（k■）+■（k■）+■（k■）+

F（x，y，z，t） （4）

（4）式是溫度函數所滿足的方程

假如令α2=k/cρ，則（4）式可以寫作：

■=α2（■+■+■）+f（x，y，z，t），

其中f=F/cρ（5）

在沒有熱源的條件下，方程可以進一步化簡為下面的偏微分方程形式：

■=α2（■+■+■） （6）

結論1：在物理學上，方程（6）代表著一種熱傳導方式：u（x，t）代表了在一根均勻質地的細長棒中各處的溫度，是隨著細棒的長度x和時間t的變化而變化著。

二、從物理學的角度剖析初始條件和邊界條件存在的必要性

因為上面的偏微分方程展示的是熱傳導的一般規律，如果在某一時間t0的溫度分布不一樣，則它們在以后時刻t>t0的溫度分布也是不一樣的。并且即便是同一物體，假如所處的狀態不一樣，它在t≥t0時邊界θG上的熱學狀態也不一樣，那么它內部的溫度分布和變化方式也會不一樣，所以，為了可以確定具體的物理狀態，是不能單獨依靠熱傳導，還要增加有其他附加的條件。

結論2：微分方程描述了一個隨著時間變化而不斷演化的動態過程，而初始和邊界條件描述的是在某個特定的時間點該過程的幾種確定性的存在狀態。

在物理學上，初始和邊界條件給出了在最初或者最后，或者某些重要的時刻，該物體的特殊存在狀態，捕捉到這些特殊時刻的狀態，既能保證解的存在，又能使解最優，意義重大。

三、偏微分方程邊界條件的數量

在物理學中，除了描述熱傳導現象，其他如彈性體的形變和平衡、電磁波的傳播、電子在原子核外的運動規律等，都可以用偏微分方程來描述。

常見的偏微分方程大致可以分成如下幾類：

Ⅰ類：弦震動方程；Ⅱ類：熱傳導方程；Ⅲ類：拉普拉斯方程；Ⅳ類：特里谷米方程。

其中，Ⅰ類屬于雙曲型， Ⅱ類屬于拋物型，Ⅲ類屬于橢圓型。

關于偏微分方程邊界條件所需的數量，對于Ⅰ類來說，一處需要給出兩個邊界條件，分別表示弦的初始位置和初始運動速度；Ⅲ類處處都要有邊界條件，但數目只有一個；Ⅱ類和Ⅳ類只是在部分邊界上各給一個邊界條件。Ⅰ類不能提出的Ⅲ類中的邊界條件，因為對于這類邊界條件的解往往是不存在的。