試談參考書例習題中的“嚴謹性”問題

【摘要】嚴謹性是數學的獨持之美，但具體問題只要稍有疏忽，便會導致教學上的失誤.這種“嚴謹性缺失”的現象在數學參考書上也可發現.譬如在一本有關2016年高考試卷的參考書中，我們就可以從其中一道浙江省理科高考向量題的答案中發現這種“嚴謹性缺失”的現象.所以如果對參考答案有疑問或者有異議的時候，一定要究其根本，弄清楚問題的來龍去脈，從而增加和完善自身對所涉知識點嚴謹性的認識.

【關鍵詞】嚴謹性；參考書；例習題；投影

嚴謹性是數學的獨特之美，表現在數學解題上，就要求在邏輯推理的嚴密性、解答過程的條理性與完備性等方面，要注意保持嚴謹性.如果建議對學生加強在這方面的教學，每個數學老師都會贊同.但講講容易，做起來卻很難，碰到具體問題只要稍有疏忽，便會導致教學上的失誤.這種“嚴謹性缺失”的現象不僅在課堂教學中有，而且在數學參考書上也可找到.譬如，筆者最近發現，這種現象從一個高三同學提出的問題中就可見一斑.以下就是筆者相應的教學處理.

1課堂教學實錄

1.1萬物始于微而后成——創設情境，引入問題[CX]

最近，有位同學看了一本有關2016年高考試卷的參考書，其中一道浙江省理科高考向量試題引起了他的關注，經仔細探究之后發現其給出的參考答案的解法值得“商榷”，現敘述如下：

鑒于現在的高三教學情況，每一位高三同學都有兩本以上的數學參考書，其材料組織水平及內容質量均參差不齊.并且筆者在平常的教學中發現：有相當多的同學迷信于這些參考書，對于其中的解題技巧、記憶“捷徑”、答案展示都深信不疑.針對這種情況以及上述這位同學的問題，筆者認為是有目的性地上一節探究課的大好機會，于是就有了下面的教學情節.

師：我知道每位同學都有兩本以上的復習參考書，并且每位同學都在充分地利用它們.下面是我們班某位同學的一本參考書上的問題及解答，而且這位同學有幾個疑問，我們能不能幫他解惑呢？請大家先獨立思考，然后再分組討論.

筆者把上面的題目、解答以及該同學的三個問題均展示出來.1.2討類知原尋緣由——回歸本源，尋求突破[CX]

不久之后，陸續有同學要求發言進行交流.

生1：第一個問題中，“可令[WTHX]e[WTBX]=（1，0）”，我們小組覺得不是很恰當，因為既然是任意單位向量[WTHX]e[WTBX]，那么就不能給定一個單位向量后，再來解決問題，因為它可以在變化.

生2：我們小組與上面小組的觀點有所不同，我們認為事實上，

這三個向量除了模長沒有變化，其方向都可以在變化，所以我們可以指定一個向量為定向量，而其它兩個向量的方向是變化的.但是我們也不能十分確定上述說法是正確的.

筆者此時觀察到絕大多數同學都覺得相對于生1所在小組的觀點，生2所在小組的發言好像難以理解.這時筆者進行了點拔.

師：在物理學中，我們學習過“參照物”的概念.即在研究機械運動時，人們事先選定的、假設不動的，作為基準的物體叫做參照物.參照物的選擇是任意的，既可以選相對地面靜止的物體，也可以選運動的物體作為參照物.可本著便于研究的原則，選取合適的參照物.而參照物只是假定不動而不是真的不動，這便是參照物的假定性.大家能夠借鑒這一觀點嗎？

經過這一類比提醒，很多同學作恍然大悟狀.

生3：哦，好象有一種“醍醐灌頂”的感覺.也就是說：雖然[WTHX]a[WTBX]、[WTHX]b[WTBX]與[WTHX]e[WTBX]這三個向量的方向都可以在變化，但是我們可以選取一個“參照物”——[WTHX]e[WTBX]，讓它處于一種相對靜止的狀態，即令[WTHX]e[WTBX]=（1，0）！然后在此基礎上考慮問題，就可能變得簡便易行了.

下面很多同學點頭對此表示贊成.筆者乘勢而下要求同學們思考第二個和第三個問題.于是就有了下面的發言.

生4： 我們認為“參照物”取好之后，第二個問題應該就不成為問題了.因為[WTHX]e[WTBX]“靜止”的話，[WTHX]a[WTBX]、[WTHX]b[WTBX]這兩個向量就處于“相對運動”狀態，故“對一切實數α，β恒成立”這一條件就可以得到！

生5：我們小組認為第三個問題中，對α，β是否能取到沒有進行檢驗，這樣做顯然是不嚴謹的.我們在運用基本不等式求最值時，反復強調要“一正二定三相等”，對不等式能否取到等號必須進行檢驗.這里也必須是這樣的.

在得到同學們的一致意見之后，筆者要求同學們對問題三中的“不嚴謹”之處進行糾正.

生6：我們小組得到了以下結論，但不知道是否正確，展示如下，與大家核對一下.

筆者觀察到下面很多同學的解法與生6所在小組解法大同小異，同時也非常興奮，于是趁熱打鐵，讓同學們對上面的討論結果進行一些必要的總結，教師在旁邊進行協助.

生7：我們小組覺得通過上面三個問題的解決說明，一方面，我們很多同學在一些問題的解決策略及方法上視野還比較狹窄，有待于進一步的擴展，而通過學習參考書上的知識是達到這一目的的途徑之一；另一方面，通過上面的學習，也說明了我們手中的參考書中的內容和知識可能還存在著一定的缺陷，所以我們在利用它時，也應該注意辨別，盡可能地做到“取其精華，剔除糟粕”，實在不清楚的地方，可以向今天提出問題的同學學習，即向老師或同學求助.

1.3觸類旁通凸特色——鞏固成果，強化重點[CX]

師：這兩點總結的很棒！當然，我們還可以“打破沙鍋問到底”，既然剛才絕大多數同學對這本參考書上的解法“不感冒”，認為它不常規，并且它的確也存在著疏漏之處，那么我們討論一下，有沒有比其更加漂亮，或者說更加易于接受的解法？

同學們經過較長時間的獨立思考和討論、相互補充以及教師點撥后得到了下面的兩種解法.

解法2如圖所示：

師：通過上面的學習過程我們得到了另外兩種解法，我們能夠清楚地看出它們的特點.相比較而言，單純從解法的難度上看，解法2顯得似乎更加繁瑣一點，而解法3看起來具有 “流暢感”，也更襯托出數學的簡易之美；但從“親民”程度上而言，剛才從同學們的討論中可以看出：解法2顯得似乎更加“接地氣”，符合大家的認知水平，解法1好像有點與眾不同，理解起來有一定難度，而解法3雖說簡易，但仿佛顯得“高大上”.如果大家有這種感覺，說明我們對此題所涉及到的知識的系統性把握不夠，實際上，解法3所運用的也僅僅是三角不等式等知識而已，并沒有涉及到很高深的知識點.為了鞏固今天的成果，下面的問題就是今天的“每日一題”，明天我們來核對答案.

每日一題：（2016年浙江高考文科試題）已知平面向量

2關于如何處理參考書例習題中的“嚴謹性”問題

除數學期刊等參考書外，一般數學參考書大都分為四個部分：知識點、范例、練習、方法歸納和小節等，而根據筆者個人的經驗，在范例、練習這兩個部分的題目及答案的呈現中，其科學性及嚴謹性更可能發生不足，除此之外，有些問題的答案從教師的眼光看起來似乎“很在理”，但也有可能會超出當前學生的認知水平，即不在他們的“最近發展區”之內，從而導致他們看起來也是屬于“嚴謹性缺失”的范疇，從上面的答案展示中可以看出這一點.總之，以上這些問題都應該引起我們的關注.

在平時的有關參考書使用的教學建議時，筆者往往強調以下觀點.對于參考書的范例與練習，學生不應只是看，更重要的是做.在未做題之前先不要看答案，否則會由于先入為主的“慣性”思維，從而易缺乏對解題嚴謹性的審視.應先拿出草稿紙先做題目.對于會做的題目一定要全身心的投入去做，從頭至尾把它完整地解答出來，認為沒有任何錯誤后，打開解答進行核對，錯誤時能夠及時糾錯，開闊思路，并且選一種比較好的方法加以吸收；另外，對于有難度的題目，應靜心坐下來，絞盡腦汁地去想、去做，只有經苦思冥想了再去看書上的解答過程，方如久旱逢雨，點滴吸收，這樣就又增加了新的知識和新的想法.這里需要強調的是，如果對參考答案有疑問或者有異議的時候，決不能裹足不前，輕易放過，一定要究其根本，弄清楚問題的來龍去脈，從而增加和完善自身對所涉知識點嚴謹性的認識.希望上面的示例能夠起到一定的示范作用.

作者簡介

黃加衛（1971—），男，浙江省湖州市人，中教高級，碩士學位，研究方向：高中數學教學.近年來在省級期刊雜志上發表論文一百七十余篇.