關于莫利秩3的無限群結構的探討

楊年西(淮北師范大學信息學院，安徽淮北 235000)

關于莫利秩3的無限群結構的探討

楊年西
(淮北師范大學信息學院，安徽淮北 235000)

為了研究莫利秩3的連通群的結構，將其分成兩類，分別是好群和壞群。本文在已知有限莫利秩的無限群具有降鏈條件下，利用降鏈條件，證明了壞群G是莫利秩3的連通群且Z(G)=1，則?x≠1，x∈G，CG(x)是連通的莫利秩1的群。?x,y≠1,x,y∈G，群CG(x)和群CG(y)在群G中相互共軛或相等。

可解群；有限莫利秩群；連通群；無限群

莫利秩是1965年由莫利(Morley)定義的，此后，數學家Gregory Cherlin和Boris Zil’ber研究有限莫利秩的代數結構并提出無限單群代數猜想(Cherlin-Zil’ber猜想)，是指有限莫利秩的無限單群是在代數閉域上的線性代數群[1-2]；有限莫利秩的群的研究思想和方法部分來源于有限群，因為無限階的元素往往是豐富的，通常不能通過元素階無限來分析群的結構；Cherlin把莫利秩3的連通群分成兩類，分別是好群和壞群，把莫利秩3的連通群含有確定的莫利秩2的群稱為好群，否則稱為壞群；Cherlin給出一個猜想，即莫利秩3的連通群的壞群是不存在的.本文探討莫利秩3的連通群的壞群性質和結構.

1 預備知識

有限莫利秩的群G是指TH(G)是ω-穩定的RM(G)<ω(TH(G)表示群G所確定完全的理論，RM(G)表示群G的莫利秩)；有限莫利秩的無限子群具有降鏈條件，也就是說，沒有無限確定子群滿足降鏈G>G1>G2>…[1].類似地，代數幾何中的代數群，連通部分(用G0表示)是指群G中最小確定有限指數的子群[1]；莫利給出幾個事實，指出有限莫利秩的無限群有無限確定交換子群[1-2]；有限莫利秩的無限群RM(G)=1，則群G0是無限交換群；Nesin A證明了有限莫利秩的連通的可解導群是連通的冪零群[3].本文中，C(X)表示群G的中心化子，RM(X)表示集合X的莫利秩.本文采用的符號和術語都是標準的，主要參見文獻[1-2].

定義1[2]一個不可解的連通的有限莫利秩群G，如果群G的連通的真子群都是冪零的，則稱群G是一個壞群.

引理1[4]如果群G是連通有限莫利秩的無限冪零群，那么Z(G)是無限的.

引理2 一個有限莫利秩的群G，如果B?G，B是交換群，Z(G)為G中心，則B·Z(G)是交換群.

證明 設?x,y∈B·Z(G)，不妨設x=a·b，a,c∈B，b,d∈Z(G)，x·y=ab·cd=a·c·d·b=c·a·d·b=cd·ab=y·x，且xy∈B·Z(G)，根據群的定義，B·Z(G)是交換群.

引理3[5]假設無限群G是莫利秩2的連通群，則群G是可解的.

引理4 設N?G，N和G/N均可解，則G可解.

證明 已知G/N可解，依據文獻[6]的定理4.12，存在一個整數n，(G/N)(n)=1=G(n)N/N，推出G(n)?N，由于N可解，存在整數m，(N)(m)=1=G(n+m)=1，即G可解.

2 主要結論

定理1 假設非可解群G是連通的莫利秩3的群，如果群G存在確定莫利秩2子群T，則子群T一定是非冪零子群.

證明 假設群T是冪零群，則群T的子群也是冪零的，設A=T0，群A是確定的連通的莫利秩2的冪零群.存在群A的正規化子N=N(A)，因為前提條件非可解群G是連通的莫利秩3的群，而子群N≠G，所以子群N是莫利秩2的群.

設x∈G-N，那么A∩AX≠A，分兩種情況討論：(1)假設A∩AX為有限群，則MR(A∩AX)=0，結果MR(AAX)=4；而AAX?G，則MR(AAX)≤MR(G)=3，產生矛盾.(2)假設A∩AX為無限群，且A∩AX≠A，可得MR(A∩AX)=1.計算AAX的莫利秩，MR(AAX)=3.設B=(A∩AX)0，群B是連通的莫利秩1的群，則群B是交換群.因為群A是確定連通的莫利秩2冪零群，根據引理1，中心Z(A)是無限群.

下面證明群B?Z(A)，假設A=Z(A)，則B?Z(A).假設A≠Z(A)，因群A是確定的連通的莫利秩2的冪零群，推導出RM(Z(A))=1.對B∩Z(A)的莫利秩再分兩種情況討論：(1)假設RM(B∩Z(A))=1，因B是連通的莫利秩1的群，則B?Z(A)；(2)假設RM(B∩Z(A))=0，推導出RM(B·Z(A))=2，因為群A是確定連通的莫利秩2冪零群，即B·Z(A)=A，根據引理2，則有B·Z(A)是交換群，即A=Z(A)，則B?Z(A).

因為子群AX也是確定連通的莫利秩2冪零群零群，同理也可以證明群B?Z(AX).因為A?C(B),Ax?C(B)，則AAX?C(B).而MR(AAX)=3，因為群G是連通的莫利秩3的群，則C(B)=G，推導出群B是非可解群G的正規子群.因群B是交換群，則群B是可解群，計算莫利秩得MR(G/B)=2，根據引理3，商群G/B是可解的，再由引理4可知，群G是可解的.則得出群G與前提條件不可解的矛盾.即假設群T是冪零群不成立，則子群T一定是非冪零子群.

根據定理1的證明可知，一個莫利秩3的不可解群G，如果有確定的莫利秩2的真子群，莫利秩2的真子群一定是非冪零的，可以推導出莫利秩3的壞群G一定沒有確定的莫利秩2的真子群.

定理2 連通的莫利秩3的群G是壞群，且Z(G)=1，則?x∈G，x≠1，RM(C(x))=1.

證明 連通的莫利秩3的群G是壞群，那么群G沒有確定莫利秩2的子群.已知C(X)是確定子群，所以RM(C(x))≠2.如果RM(C(x))=3，則C(x)=G，推導出?x∈Z(G)，x≠1，與前提條件Z(G)=1矛盾，即RM(C(x))≠3.如果RM(C(x))=0，那么C(x)是有限的，{xG}是確定的子集，且RM({xG})=3.計算連通的莫利秩3的群G的莫利度等于C(X)群的階，|C(X)|≥2，與連通的莫利秩3的群G的莫利度是1矛盾，由上面的討論可知，RM(C(x))=1.

引理5 假設連通的莫利秩3的群G是壞群，且Z(G)=1，如果?x∈G，x≠1，?x,y∈G，x,y≠1，C0(x)∩C0(y)≠1，則C0(x)=C0(y).

證明 設a∈C0(x)∩C0(y)，a≠1，根據定理2，可以推導出C0(x)和C0(y)都是莫利秩1的交換群，C0(x)，C0(y)?C0(a).假設C0(x)∩C0(y)是有限的，那么RM(C0(a))≥2.現在分析C0(a)的莫利秩，連通的莫利秩3的群G是壞群，根據定理1，不存在確定莫利秩2的群，那么RM(C0(a))≠2.如果RM(C0(a))=3，因為群G是莫利秩3的連通群，則C0(a)=G，可以推導出a∈Z(G)，a≠1,與前提條件矛盾，可知C0(x)∩C0(y)是有限的這一結論不成立，由此得到C0(x)∩C0(y)是無限的，所以C0(x)∩C0(y)為莫利秩1的交換群，其連通分支具有唯一性，則C0(x)∩C0(y)=C0(y)=C0(x).

定理3 假設連通的莫利秩3的群G是壞群，且Z(G)=1，那么?x∈G，x≠1，C(x)是連通的.

證明 設?a∈G，x≠1，記T=C(a)，A=C0(a)，設b∈A∩Ag且b≠1，A和Ag都是連通的莫利秩1的群，可得A?C(b)，Ag?C(b).因為莫利秩3的單群G是壞群，可以推導出只有RM(C(b))=1；A和Ag都是連通的莫利秩1的群.由RM(C(b))=1，C(b)的莫利秩1的連通群具有唯一性，即可得A=Ag.

記D=∪{Ag,g∈G}，下面證明D=G.首先假設D≠G，因為RM(N(A))=1，[N(A)∶A]是有限的，通過計算，RM(D)=3，且D是正規子集.不妨假設存在y∈(G-D)且y≠1.由定理1，得到RM(C(y))=1.設B=C0(y)，D1=∪{Bg,g∈G}，顯然D1也是一個莫利秩3的正規子集，群G是莫利秩3的連通的群，那么必然存在s∈D∩D1，s≠1，即s∈Ag，s∈Bh，由于Ag和Bh是莫利秩1的連通群，得到Ag=Bh.推導出A和B是共軛的，即得到D=D1.如果T≠A，RM(A)=1，由A是T的正規子群，則RM(T-A)=1.又記集合D2=∪{(T-A)g,g∈G}，假設(T-A)k∩(T-A)是無限的，顯然Tk∩T是無限群，因T連通分支是唯一的，得到A∈Tk∩T，推導出Ak=A，可知(T-A)k∩(T-A)是有限的，計算出D2莫利秩和D的莫利秩相等，得到RM(D2)=3.

由RM(D)=3和RM(D2)=3，得到群G是莫利秩3的連通的群，D2∩D必然有無限多個元素，那么存在y∈(T-A)滿足yh∈D2∩D.設yh∈Ak，記d=kh-1，經過轉化和替換，得到y∈Ad，Ad是連通的莫利秩1的交換群，記g=d-1，經過轉化和替換，則yg∈A.商群|T/A|的階是有限的，所以存在正整數n，假設yn∈A，yn≠1，有y∈Ad，顯然yn∈Ad，推導出yn∈A∩Ad.由引理5，得到y∈A=Ad，與y∈(T-A)產生矛盾.假設yn=1，因為y∈NG(A)，A是交換群，由文獻[2]13頁11題的結論可知，CA(y)是無限的，因為A是連通的莫利秩1的群，則A=CA(y)?CG(y)，可以推導出y∈A=Ad與y∈(T-A)矛盾.因此D≠G假設不成立，得到D=G相等，即C(x)是連通的.

推論1 壞群G是莫利秩3的連通群，且Z(G)=1，則?x,y∈G，x,y≠1，群CG(x)和群CG(y)在群G中相互共軛或相等，而且G=∪{(CG(x))g,g∈G}.

證明 根據定理3，?x,y∈G，x,y≠1，群CG(x)和群CG(y)在群G中是莫利秩1的連通群，由于G=∪{(CG(x))g,g∈G}，由引理5可知，群CG(x)和群CG(y)在群中相互共軛或相等.

[1]Marker D.模型論引論[M].北京:科學出版社,2007.

[2]Borovik A,Nesin A.Groups of Finite Morley Rank[M].New York:The Clarendon Press Oxford University Press,1994.

[3]Burdges J.Simple Groups of Finite Morley Rank of Odd and Degenerate Type[D].New Jersey New Brunswick:Rutgers University,2004.

[4]楊年西.關于有限莫利秩的無限冪零群的性質探討[J].佳木斯大學學報,2016(6):987-988.

[5]楊年西.關于莫利秩2的連通群的性質探討[J].淮北師范大學學報,2016(4):12-14.

[6]徐明曜.有限群論(上)[M].北京:科學出版社,2001.

Study on the Structures of the Connected Groups of Morley Rank 3

YANG Nian-xi

(Information College, Huaibei Normal University, Huaibei Anhui 235000,China)

We considered two classes of connected groups of Morley rank 3 is conducive to the study of its structure，respectively they are a good group or bad group. We know that any infinite group of finite Morley rank satisfies the descending chain condition, according to the descending chain condition,we show thatGbe a centerless, bad group of connected groups of Morley rank 3, Then ?x≠1，x∈G，CG(x) be a connected groups of Morley rank 1,and ?x,y≠1,x,y∈G,CG(x)andCG(y) are conjugate to each other or equal.

solvable group; group of finite Morley rank; connected group; infinite group

2017-03-22

安徽高校自然科學研究重點資助項目“模型論在群論中的應用研究”(KJ2016A646)。

楊年西(1972- )，男，講師，碩士，從事模型論研究。

O142

A

2095-7602(2017)06-0012-03