線性代數作為抽象數學引論

Nachtergaele+Bruno等

線性代數是大學的一門基礎課程，并且在數學的各個分支和其他自然科學、工程技術及社會科學中都起著工具性作用。對于某些具有一定的概念理解和數學計算能力而抽象推理訓練不足的大學生，學習線性代數是彌補這種缺陷的適宜的機會。本書的目的是為這類大學生在計算與推理之間架設橋梁，通過線性代數的學習進一步掌握邏輯論證技巧，以有利于學習其他抽象數學。本書以學生比較熟悉的線性方程組、復數計算和多項式因子分解等知識為起點，逐步深入地引進有限維向量空間線性映射的抽象概念，涵蓋對角化，特征空間，行列式和譜理論等重要結果，是一本簡明的線性代數的引論性教材。

全書由11章和4個附錄組成：1.什么是線性代數？通過中學課程中的線性方程組和二次方程的求解直觀地顯示線性代數的某些特征；2.復數引論，是對中學代數有關知識的復習，也是課程展開的預備；3.代數學基本定理和多項式因式分解。也是復習性材料，其中涉及連續函數的極值性質；4.向量空間。在前面的背景材料的基礎上并應用圖解引進向量空間的概念和基本性質，指出引進向量空間本質上是為了敘述和解決線性代數問題；5.跨度和基地，建立空間維數概念和基本結果；6.線性映射。以第1章線性方程組為背景引進線性映射概念和有關性質，以及線性映射的矩陣，指出刻畫線性方程組的解是線性代數的目的之一；7.特征值和特征向量。這是線性代數的最重要的概念之一，著重討論了2維情形；8.置換和方陣的行列式。給出行列式概念、基本性質以及通過余因子展開的計算公式；9.內積空間。引進向量空間的抽象定義，給出內積空間的重要性質，包括Gram Schmidt正交化；10.基變換。給出有限維內積空間的基變換公式；11.正規線性映射的譜理論。研究有限維內積空間的上線性算子的譜分解以及對于對角化問題的應用，還討論了正算子、極分解和奇異值分解。每章后配備習題，分為計算題和證明題兩類。4個附錄主要是關于矩陣的補充材料，以及關于集合論和抽象代數結構的概要。

本書可作為我國理工科大學數學教學參考書，特別適宜初學者閱讀。

朱堯辰，研究員

（中國科學院應用數學研究所）