基于MATLAB軟件的周期符號糾纏函數構造的新混沌系統動力學分析

羅宏偉++張建剛++杜文舉++安新磊++盧加榮

摘要：使用周期符號函數對兩個穩定的子系統進行糾纏，構造了一個新三維混沌控制系統，理論分析了新三維控制系統的耗散性、有界性、平衡點的穩定性和Hopf分岔的條件，通過計算得到了系統在平衡點的第一Lyapunov指數，進一步分析了分岔的方向和穩定性。通過MATLAB軟件，對系統進行數值模擬，驗證了理論分析的正確性。

關鍵詞：糾纏函數；混沌；Hopf分岔；平衡點；Lyapunov 指數

中圖分類號：O415.5 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2017）03-0054-04

混沌現象的特征即蝴蝶效應，具有對初值敏感而表現出的不可預測的、類似隨機性的運動。自Lorenz [1]在三維自治系統中發現混沌吸引子以來，在過去數十年中，隨著科學技術的發展和進步，混沌理論得到了空前發展，尤其在數學、物理及其工程實際應用中得到極大發展，關于混沌的構造和分析方法已經成為最新的研究熱點問題[2，4，5，6]。文獻 [7]通過構造了一個新的混沌，文獻[8，9，10]利用分段技術，發現了一些新的混沌吸引子的存在，文獻[11]首次提出糾纏函數的基本概念，并給出構造混沌的基本原理，即使用糾纏函數通過對兩個或更多的線性穩定子系統進行糾纏，可產生混沌系統。構造人工混沌在解決噪聲污染，提高天氣預測的準確度，保持非線性機械系統穩定性等方面有重要意義。

本文使用周期符號函數作為糾纏函數，對兩個線性子系統進行糾纏，構造出了一個新的三維混沌系統，通過對系統的耗散性、有界性、平衡點穩定性、Hopf分岔和Lyapunov指數等動力學特性進行了分析，最后通過數值模擬驗證理論的結果。

1 系統描述

考慮兩個線性子系統，其中一個是二維系統

另一個是一維系統

其中是狀態變量，當和，系統（1）和（2）是穩定的，用周期符號函數糾纏以上兩個子系統，可得如下三維控制系統：

3 數值仿真

根據引理1和定理2，當，，和時，平衡點是漸進穩定的。

系統（3）的Lyapunov 指數可以通過文獻[15]提供的方法計算得到，其中Lyapunov 指數，and如圖1所示，時間序列、頻譜和Poincaré 截面圖分別如圖1所示。當和，出現混沌糾纏現象，其三維相圖，和二維相圖分別如圖2所示。 當參數和值不變，作為變量時，系統（3）的動力行為如圖3所示。

4 結語

本文將一個周期符號函數作為糾纏函數，利用混沌糾纏的基本原理，對兩個穩定子系統進行糾纏，人工構造出一個新三維控制系統，根據混沌系統的分析方法，對新三維控制系統的動力學特性進行了理論分析，結果發現新構造的系統具有混沌的特征，并使用MATLAB軟件進行了數值模擬，驗證了理論分析的結果。該方法為我們解決工程中混沌問題提出來新的思路。

參考文獻

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