淺析初中幾何中的逆向思維

汪玉艷

摘 要：初中幾何的教學要求學生必須具有一定的逆向思維能力，但學生在進行數學問題處理時容易受定向（常規）思維模式影響，解題思路禁錮，解題能力受限，因而覺得幾何遠比代數難學。作為教師我們應注重培養學生的逆向思維能力，以促使初中學生的數學邏輯思維能力得以全面發展。所謂的逆向思維也叫求異思維，它是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式。在幾何題中，是從結論反推至已知的一種方法。

關鍵詞：逆向思維；推理；學習；滲透

一、逆向思維在初中幾何中的應用

1.利用逆向思維分析所求結果，探知條件和結果的因果關系，尋求解題途徑

例：如上圖在直角三角形ABC中，斜邊BC上的高為AD，求證：+=。這道題已知條件不多，需要證明的結論較復雜，一般學生都覺得難以證明。如果我們告訴學生利用逆向思維分析，從結論反推通分不難得出：=，再由勾股定理可知：AC 2+AB 2=BC 2，將AC 2+AB 2用BC 2代替從而推理出：BC 2. AC2=AB 2. AC2，再提示學生在幾何圖形中觀察，BC、AD與AB、AC這兩組線段的積與直角三角形ABC的面積關系，這樣就回到了已知條件。

2.利用逆向思維為有效添加輔助線提供幫助

例：如圖一已知AB∥CD，求證：∠A+∠AMC+∠C=360°

逆向思維過程：從結論∠A+∠AMC+∠C=360°入手，要得到360°結合前面所學知識，要么就要構建兩個平角、要么就要構建一個四邊形或者構建一個三角形和一對補角、兩對補角。根據這些聯系，結合圖形思考，學生不難作出下列幾種輔助線。

（1）過M作AB的平行線EF（如圖二），將∠AMC分成兩個角∠AME、∠EMC，再根據平行線的性質不難得到兩對同旁內角互補（或者得到兩個平角∠EMF、∠FME，再根據平行線的性質，得到∠A=∠AME，∠C=∠CME），命題得證。

（2）過A作直線與CD相交（如圖三），構建一個四邊形AMCE，由AB∥CD不難得出∠BAE=∠AEC，利用四邊形內角和得出結果（過C點作直線與AB相交構建一個四邊形方法也一樣）。

（3）延長AM與DC的延長線相交，再延長BA（如圖四），利用三對互為鄰補角∠MAF和∠MAB、∠AMC和∠EMC、∠MCE和∠MCD與一個三角形MEC的內角和得出結論（延長CM與BA延長線相交也一樣）。

（4）連接AC（如圖五），得到一個三角形AMC與一對互補的同旁內角∠ACD和∠CAB，也不難求得結果（任意連接AB、CD上的一點不包括AC，構建一個五邊形，利用五邊形的內角和減去一對互補的同旁內角，結果也一樣）。

逆向思維這種特殊的思維方式，在初中幾何解題中可以從一種思維途徑自由地轉向另一種完全不同的思維途徑，思維跳躍性大，更能激發學生的學習興趣，進行多角度、多方位嘗試，打破常規的、固定的思維模式，這種思維的靈活性表現為幾何中的一題多解及求異思維。

二、在幾何教學中逆向思維的培養

1.培養學生逆向思維意識，了解逆向思維的作用

司馬光砸缸救人：7歲的司馬光跟同伴在一大水缸邊玩耍，一同伴不幸掉入盛滿水的大水缸中，其他人嚇得四處飛奔，只剩下司馬光一人，可他年幼身矮，不能從水缸里救出同伴，怎么辦？司馬光當時就想，我雖不能將人脫離水缸但我卻可以讓水與人分開。所以他毫不猶豫地拿起石頭將水缸砸破，救出同伴。從這則小故事中不難看出，當時的小司馬光在緊急關頭，思維活躍，不能使用常規的救人方法將人救出水缸，但卻想到了可以讓水主動脫離同伴，從而使得同伴得救，這就是逆向思維在生活當中的活用。在做幾何證明題時，有時我們碰到一些題根據已知結合圖形，不知道使用什么方法推理出結果，這時我們可以嘗試從需要得出的結論入手，假若結果成立我們從這里可以得到什么，再一路逆向推理，就可以回到題中的已知，從而將問題解決。所以，在幾何學習中學會逆向思維，也會在關鍵時刻收到異想不到的效果。

2.重視定理、性質的可逆性教學

在平面幾何中，許多的性質與判定都有逆定理.因此教學時應重視定理和逆定理，強調其可逆性與相互性，對培養學生推理證明的能力很有幫助. 實踐表明，學生對定義、定理、性質的逆向運用不習慣，缺乏應有的潛意識，思維定勢在順向應用上，所以在教學中應強調逆向運用。.如線段垂直平分線的定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。它的逆定理（判定定理）：到線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。例：若A點到線段BC兩端點的距離相等，且AD⊥BC于D，E是AD上的點，求證：BE=CE，大部分學生都會用三角形全等來證明BE=CE，而不會先利用線段垂直平分線的判定定理也是線段垂直平分線的逆定理得出AD是線段BC垂直平分線上的線段，再直接得出BE=CE。解題時學生不會運用互為逆定理解題。 特別在平行線的性質與判定，線段的垂直平分線的性質與判定，平行四邊形的性質與判定等相關定理與逆定理教學時，要引導學生注意它的條件與結論的關系，加深對定理的理解和應用，重視逆定理的教學對開闊學生思維視野，活躍邏輯思維大有裨益。

3.加強逆向變式訓練，強化學生的逆向思維

例如：“求證：順次連結四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形?！币话銓W生解決這個問題是不困難的，為了使學生對此類問題有更系統、更完整的認識，還可以順延提出以下問題。變式1：順次連結梯形各邊中點所得的四邊形是什么四邊形？ 變式2：順次連結矩形各邊中點所得的四邊形是什么四邊形？ 變式3：順次連結菱形各邊中點所得的四邊形是什么四邊形？ 變式4：順次連結正方形各邊中點所得的四邊形是什么四邊形？ 變式5：順次連結什么四邊形中點可以得到平行四邊形？ 變式6：順次連結什么四邊形中點可以得到矩形？得到菱形？得到正方形？

變式訓練就是讓學生同時練習那些在知識、方法上有關聯，而在形式上又不同的題目組成的題組，使學生對一些基本知識、方法及重要的數學思想加深領會，達到觸類旁通。

4.重視幾何題解題分析，注重逆向思維的滲透

一般的幾何題解題思路：從已知條件入手，結合圖形利用所學相關知識進行推理，得出結論。但如果我們引導學生先確定所要求證的結論，再結合圖形觀察，可得到一些比較直觀的東西，結合所學一般的題目可能一至兩步就能知曉解題方法；甚至碰到一些已知條件較少，不能直接使用常規法推理出結果的，或者需要添加一些輔助線構筑相應的幾何圖形，才能推理出結論的幾何題，利用逆向思維進行思考，也會收到意想不到的效果。

綜上所述，逆向思維在初中幾何教學中具有十分重要的作用。學生運用逆向思維可以加深對基礎知識的理解和掌握，可以簡化解題過程，降低解題難度，巧獲解題結果；進而可以培養學生創新能力，提高綜合分析問題的能力，增強邏輯思維的靈活性。因此在平時的數學教學過程中，我們必須有意識、有計劃地滲透和強化逆向思維的訓練，培養學生的逆向思維能力，提升學生的思維水平。