關于并集合的冪集運算性質的注記

常大全

【摘要】對于兩個集合的并集的冪集，有性質P（A）∪P（B）？哿P（A∪B）成立。本文給出該性質中取得“=”的充分必要條件，以及當不取“=”時并集合的冪集的一個表達公式。

【關鍵詞】并集 冪集

【中圖分類號】G71 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）35-0149-02

命題1 P（A）∪P（B）=P（A∪B）的充分必要條件是A、B具有子集關系（即A？哿B或B？哿A）

證明：充分性：當A、B具有子集關系時，不妨設A？哿B，則P（A）？哿P（B）。所以

P（A）∪P（B）=P（B）。又由A？哿B得A∪B=B，則P（A∪B）=P（B）。所以

P（A）∪P（B）=P（A∪B）成立。必要性：假設A、B不具有子集關系，易見此時A、B均非空，且A中至少有一個元素不在B中，以及B中也至少有一個元素不在A中。設a∈A，a？埸B，b∈B，b？埸A。則A={a，…}，B={b，…}，易見a≠b。

記A∪B={a，b…}。因為{a，b}？哿A∪B={a，b…}，所以{a，b}∈P（A∪B）。因為

P（A）∪P（B）=P（A∪B），故也有{a，b}∈P（A）∪P（B）。所以

{a，b}∈P（A），或{a，b}∈P（B），即{a，b}？哿A，或{a，b}？哿B。所以b∈A={a，…}或

a∈B={b，…}，這與b？埸A，a？埸B矛盾。所以假設不成立。因此A、B具有子集關系。

命題2：設C=A∪B，A、B不具有子集關系，

M={z|存在A-B的非空子集z1和B-A的非空子集z2，使z=z1∪z2}，

N={z|存在A-B的非空子集z1和B-A的非空子集z2，以及A∩B的非空子集z3，使z=z1∪z2∪z3}則：P（A）∪P（B）∪M∪N=P（C）

證明 易見P（A），P（B），M，N都是P（C）的子集，所以

[P（A）∪P（B）∪M∪N]？哿P（C）?，F在證P（C）？哿[P（A）∪P（B）∪M∪N]也成立。因A、B不具有子集關系，故易見此時A、B、A-B，B-A均非空。??？坌z∈P（C），則z？哿C。當z=？覫時，z∈P（A），z∈P（B）。所以z∈[P（A）∪P（B）∪M∪N]。當z≠？覫時，??？坌x∈z，這里z？哿C=A∪B=（A-B）∪（B-A）∪（A∩B）。所以x∈A-B或x∈B-A或x∈A∩B。下面對x所屬的范圍分類討論。

I：當A∩B≠？覫時，此時易見N≠？覫。

①A∪B的非空子集z中的元素x僅取自于A-B

②A∪B的非空子集z中的元素x僅取自于B-A

③A∪B的非空子集z中的元素x僅取自于A∩B

④A∪B的非空子集z中的元素x僅取自于A-B和B-A這兩部分，即是說僅取自于（A-B）∪（B-A），且z中既有A-B的元素，也有B-A的元素

⑤A∪B的非空子集z中的元素x僅取自于A-B和A∩B這兩部分，即是說僅取自于（A-B）∪（A∩B），且z中既有A-B的元素，也有A∩B的元素

⑥A∪B的非空子集z中的元素x僅取自于B-A和A∩B這兩部分，即是說僅取自于（B-A）∪（A∩B），且z中既有B-A的元素，也有A∩B的元素

⑦A∪B的非空子集z中的元素x僅取自于A-B和B-A以及A∩B這三部分，即是說僅取自于（A-B）∪（B-A）∪（A∩B），且z中既有B-A的元素，也有A-B的元素，還有A∩B的元素

II：當A∩B=？覫時，此時易見N=？覫。

①A∪B的非空子集z中的元素x僅取自于A-B

②A∪B的非空子集z中的元素x僅取自于B-A

③A∪B的非空子集z中的元素x僅取自于A-B和B-A這兩部分，即是說僅取自于（A-B）∪（B-A），且z中既有A-B的元素，也有B-A的元素

對于I的①有z？哿A-B？哿A，所以z∈P（A），

對于I的②有z？哿B-A？哿B，所以z∈P（B），

對于I的③有z？哿A∩B？哿A，所以z∈P（A），

對于I的④有：

z∈M={z|存在A-B的非空子集z1和B-A的非空子集z2，使z=z1∪z2}，

對于I的⑤有z？哿（A-B）∪（A∩B）=A，所以z∈P（A），

對于I的⑥有z？哿（B-A）∪（A∩B）=M，所以z∈P（B），

對于I的⑦有：

z∈N={z|存在A-B的非空子集z1和B-A的非空子集z2，以及A∩B的非空子集z3，使z=z1∪z2∪z3}，

對于II的①有z？哿A-B？哿A，所以z∈P（A），

對于II的②有z？哿B-A？哿B，所以z∈P（B），

對于II的③有

z∈M={z|存在A-B的非空子集z1和B-A的非空子集z2，使z=z1∪z2}，

綜上，無論上述哪種情形，都有z∈P（A）或z∈P（B）或z∈M或z∈N成立。所以 z∈[P（A）∪P（B）∪M∪N]。這樣P（C）？哿P（A）∪P（B）∪M∪N也成立。

所以P（A）∪P（B）∪M∪N=P（C）。

結論：

本文揭示了A，B，A∪B三者的冪集之間的內在聯系。通過對這一問題的研究，加深了對集合冪集運算的了解。今后以此為基礎，可進一步地研究集合的廣義并、廣義交與集合的冪集運算的關系，從而得到一些更為豐富的相關結果。

參考文獻：

[1]戴牧民.公理集合論導引[M].科學出版社，2011

[2]董延闿.基礎集合論[M]北京師范大學出版社，1988

[3]集合論初步（p.w.齊納 r.l.約翰遜）[M].科學出版社，1986endprint