求函數值域的幾種常用方法

張浩嘉

【中圖分類號】G633.6

求函數值域是一個比較復雜的問題，不同的函數解析式要用不同的方法，下面舉例說明幾種常見的求函數值域的方法。

一、配方法

例1求函數y=2x2-6x+3的值域

解：y=2（x-3）2-

函數 的值域為【 ，

二、判別式法

對于某些有理數分式函數，y=f（x）（分子或分母最高次數為2），可把函數的解析式化為關于x的一元二次方程，再根據判別式 得到一個關于y的不等式。解此不等式就可求得函數的值域。

例2求 的值域

解：原方程可化為（y-1）x2+2（y+1）+3（y-1）=0

當 y 時，

解得

當y=1時，x=0屬于定義域

函數的值域為

三、非負數法

當函數的解析式中出現絕對值，偶次方冪，算數根和指數冪時，常根據他們的非負數這一性質確定函數的值域。

例3. 求函數 的值域

解：原方程可化為

視為關于x的方程化為

所以函數的值域為

四、分部分式法

當函數的解析式y=f（x）是分式且分子的次數大于或等于分母的次數時，可分部分式求函數的值域。

例4.求函數 的值域

解：

因為

所以

故該函數的值域為[

五、換元法

對于某些特殊的函數y=f（x），可利用設輔助未知數的方法求得其值域。

例5. 求函數 的值域

解：令

所以 （當且僅當t=1時取等號）

故原函數的值域為

六、函數的單調性法

對于某些單調函數可根據函數的單調性求函數的值域。

例6.求函數 的值域

解：設

因為

當 時，t有最小值

又因為 是增函數

所以當

故原函數的值域為

七、反函數法

因為原函數的值域正好是它的定義域，所以要求原函數的域可以轉換為先求其反函數再求其定義域，即得原函數的。

例7. 求函數 的值域

解：求得 的反函數為 ，

其定義域為

故所求函數的值域為

八、數形結合法

例8.求函數 的值域

解：原函數化為

將此函數化為分段函數的形式

通過圖像可知

故所求函數的值域為

以后通過學習不等式和三角函數求函數的值域還可以用不和利用有界性法。endprint