高中數學例題解答中導數的應用

劉牧琦

摘要 在高中數學知識學習當中，導數是我們學習當中的重要內容與知識點，并在我們整體數學學習當中具有著重要的作用發揮。函數單調性、切線以及極值問題等都同導數的應用具有關聯。在本文中，將就高中數學例題解答中導數的應用進行一定的研究。

關鍵詞：高中數學；例題解答；導數應用；

1 引言

在高中數學體系當中，導數具有著非常重要的作用與地位，同時也是我們未來高考當中主要的得分點。在高校微積分學習當中，也同導數的實際應用間始終具有著十分密切的聯系。但是根據班級當中其余同學學習情況的觀察，發現大家在導數學習當中還存在著一定的困難，并因此對導數教學效果產生了較大的影響。對此，即需要能夠做好導數應用方向以及對應例題的積極學習，以此不斷提升自身導數學習水平。

2 高中數學解題中導數應用

2.1 基本問題求解

在數學例題當中，通過導數方式的應用，不僅能夠簡化解題過程，且能夠實現我們思維的有效拓寬，通過多種解答方式的應用不斷提升我們的數學思維。以一道基礎的導數例題為例：已知有y=（1+cos2x）2，求該函數的導數y。對于該題目，可以說是一道非常典型的求導例題，在實際解題中，如果我們沒有對復合函數的求導方式進行熟練的掌握，則可能因此導致錯誤出現。在該題目中，2x當中的數字2不能夠將其同x的系數等同，而需要以復合函數形式對其進行求導。在經過觀察對該題目的關鍵點了解后，即可以正式對該問題進行解答，首先，要

2.2 求解極值

在高中函數知識學習當中，對于極值的求解是一項重點問題，同時也是我們實際學習當中必須能夠熟練掌握的。在以往沒有將到導數應用在函數極值求解時，對于函數極值的求解可以說一直是數學學習當中存在的難點。在函數最值的求解當中，具有著較多的方法，且在整個過程當中將涉及到較多的數學知識點，可以說是一項具有較強綜合性的問題。導數的出現，不僅將對函數極值的求解步驟進行有效的簡化，且能夠對函數求解思路進行有效的豐富。在我們現階段面對的考題當中，在涉及到函數極值問題時，通常是對某個函數期間極小值以及極大值的求解，對于該種情況，即需要通過數形結合思想的應用將函數極值點同區間端點位置進行比較，以此實現極小值、極大值取值點的確定。如有一道關于極值方面的例題：已知有函數f（x）=x2+x，求解函數在R上的極值。在導數思想下，則可以按照以下方式進行求解：根據題目內容，可以獲得f（x）=2x+1，當導數大于0時，可以獲得x>-0.5。而當導數小于0時，則可以獲得x<-0.5。對此，當x正好等于-0.5時，該函數則將具有極小值-0.5，且不存在極大值。

2.3 分析函數單調性

在以往面對函數的單調性問題時，通常以圖像法進行分析，即通過對函數圖像直接觀察，使用減函數以及增函數定義的方式判斷函數單調性。但對于該方式來說，其對于復雜函數則存在著不適用情況。在該種情況下，通過導數知識的應用對函數單調性進行求解則成為了一種有效方式。在以該方式處理時，一項基本要點即先對函數的導數進行求解，在將其作為獨立函數看待的基礎上使其同0進行對比，以此對該導數在不同區間的大小關系進行得出。如當x在[a，b]區間時，如導數大于0，那么在該區間原函數則具有著單調遞增情況。而當x在[a，b]區間時，如導數小于0，那么在該區間原函數則單調遞減。

2.4 求解切線問題

對于導數的幾何意義來說，即是其在某點位置所具有的切線斜率，在該問題當中，導數的作用即實現幾何圖形同導數間的結合，如三角曲線、指數曲線以及圓錐曲線等都將以導數方式進行求解。在以往的學習當中，在面對復雜切線問題時，往往還是以老思路與方法進行求解，同時導數的存在，也將對切線問題的提供了更廣的解決思路。受到思維定式的影響，我們在數學問題求解時經常會存在一定的局限性，而通過導數思想的應用，則能夠對數學問題的解決方式形成了較好的創新，如可以使用導數知識進行立體幾何、向量以及解析幾何的求解等。在高中數學學習當中，坐標系切線方程可以說是較為常見的題目類型，在該類題目中，在已知條件當中將給出曲線外坐標點，之后根據該點實現曲線切線方程的求解。在具體對該類題目進行解答時，導數可以說是較為常用且十分簡單的解題方式。有一道關于導數的例題：有一條曲線C，其曲線方程為y=f（x），求過點A（x0，y0）曲線切線方程。在該題目當中，主要是對我們導數概念的應用與理解方式進行考察。對此，我們在面對該題目時需要先做好題目的分析，即判斷曲線C上是否存在點A，并根據函數對其進行求導，在求導完成后根據結果求解。首先，我們可以設該點即處在曲線C上，此時需要求的切線方程即為y-y0=f（x0）（x-x0），以此即可以獲得該題目的答案。同時，還需要對另一種情況進行考慮，即當點A沒有處在曲線C的情況，此時，即需要求出其對應的切點（x1，y1），通過求導的方式獲得該切點值，即該切線所經過的點，以此完整的實現問題的解答。

3 結束語

在上文中，我們對高中數學例題解答中導數的應用進行了一定的研究。作為我們高中數學學習當中的重點內容，在實際學習當中也需要做好下述問題的了解：要對導數在數學教學當中的作用靈活發揮，將幾何、函數以及不等式方面內容同導數學習間緊密結合，對導數實際應用當中的異同點準確找出。同時，要在學習當中積極尋求、掌握不同知識間存在的內在聯系，對教學效果、教學效率不斷強化，以此不斷提升自身的數學水平。

參考文獻

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