淺析大學物理微積分思想與矢量思想教學

鄭大厚

摘要：數學是一門具有較強實用性的工具型學科，有不少思想方法都能夠運用到大學物理的教學中，尤其是微積分思想和矢量思想，在大學物理教學中都有著較多且關鍵的使用。所以就微積分思想與矢量思想在大學物理教學中進行應用的教學研究，具備著比較重要的價值。本文基于此，圍繞大學物理微積分思想與矢量思想教學進行討論，希望能找出一個的可靠的應用范式，用以提升大學物理的教學水平。

關鍵詞：大學物理教學；微積分思想；矢量思想

Abstract：Mathematics is an auxiliary subject with strong practicality. There are many methods that can be used in university physics teaching， including calculus and vector concept， which have many key usages in university physics teaching. Therefore， the research of the application of calculus and vector in college physics teaching has a great value. Based on this notion， the paper discusses the theory of calculus and vector in college physics， hoping to find a reliable and applicable paradigm to improve the teaching process of College physics.

Key words：college physics teaching. calculus thought. vector thought

引言

學好大學物理課程，不僅能更更好的掌握現代自然科學和工程技術，也能增強學生科學素養、科學思維和科學探索能力。學生在物理學知識的學習中，能提升自己的科學素養、工程意識以及創新能力，因此大學物理對于理工科學生在未來邁入社會走向工作崗位有著比較重要的作用。從物理學的教學需要來說，經過一定時間的學習，學生可以比較全面的掌握高等物理學的基礎知識、理解一般概念、并能對物理基本規律和方法也有一定的認知，可以通過使用科學研究的思維模式來對現實問題加以解決，并能架構起正確的分析和解開物理問題的思路體系，為以后進入社會負責工程技術亦或是科學研究工作夯實基礎。從已知的物理學應用中能夠總結出，學習和應用大學物理知識在很多時候都涉及到數學思維和數學方法，在這里又以微積分思想與矢量思想的使用比較多。

大學物理是通過數學解決問題的定量學科，而微積分和矢量相關知識的熟練掌握是掌握物理知識的基本需要。所以本文以大學物理學教學中的微積分思想和矢量思想為出發點，綜合部分在現實生活中存在的應用例證，來就微積分思想與矢量思想的教學使用進行深入探討，意圖發現和歸納出使得大學物理教學效果更佳的教學模式。

一、構建起微積分思想

（一）微積分思想的構筑

微積分在大學物理中有著廣泛的使用。無論是質點運動學還是質點動力學，亦或是剛體運動、靜電場、穩恒當場，在解決實際問題時都有著微積分的影子。微積分的思想和分析手段也已成為大學物理中解決物理問題的有效措施。

在對初中、高中階段基礎物理知識的學習后，學生已經學習掌握了部分基本的物理知識和分析能力，也構建起了一套適合自己的物理學習手段。不過，大學物理的教學和學習與初等教育中物理的教學和學習有著比較大的差異，無論是教學目標、學習思想方法還是原理都有著較多的變化。最明顯的就是從常量物理問題變化為更為繁復的變量物理問題。此外在大學物理問題解答時，使用的更多是學生在大學才會系統學習的微積分知識，而學生并不能很快的轉變自己的學習思維模式，且微積分知識掌握和應用還處在初級階段，所以學習到的知識是比較難以使用在大學物理的學習中去的。這也是有不少大學生認為大學物理難度太大，即便在課堂上可以聽懂，也無法解決實際問題的原因。所以在大學物理的教學當中，教師應該充分的介紹使用微積分思想的要領和途徑，協助學生構建起自己的微積分思想體系，以提升學生在大學物理學習中的能力和效率。

（二）理解的微積分思想和方法

物理這一科目有一個比較明顯的特征，那就是它的研究都是從比較基礎和簡單的現象開始進行的。而所謂微積分思想，就是一種比較有效果的分析方法，而它本身也有著較好的辯證性。在使用這一思想來解決實際上的物理問題時，微積分通常會將復雜的問題拆分成幾個與之相關的問題，這種化整為零的思路雖然讓問題變得更加多，但這些問題卻都較為簡單，然后解題者就可以在這些問題中分清主次，來進行逐一解決，最后將這些問題的答案原樣綜合起來，原本的物理問題也就迎刃而解了。這一思想最大的優點是，它有著可以把有限轉化成無限，把近似轉化成精準的效果，把繁復的問題分割成簡易的問題，使其能夠被很快解決。比如將復雜的變量轉變為簡答的常量來進行處理，進而提升物理問題的解題速度，加強物理教學和的學習成效。

比如在研究變力做功時，使用微積分思想的效果就比較好。例如：

例1：質點在變力F的作用下曲線運動，由a點至b點，質點所做的功為多少。

這個問題就可以以微積分思想來進行解決?？梢赃@樣介紹其解題思路：把質點的運動軌跡，劃分成無限多個微元段，并將其變力看為確定不變，再這樣的分割，他的曲線運動路線也可以看做是直線運動，在這樣的微元段中，力所做的功就是 。這樣一來，繁復的變力曲線做功問題，在以微積分思路的方式解析后，即可轉變為比較簡易的直線恒力做功的問題，只需最后將這些直線恒力所做的功進行相加，對于元功的求和就是積分： ，就能獲得這一變力曲線做的全部功。endprint

這樣的例證在大學物理教學中數不勝數，隨處可見。由此可知，微積分在大學物理中應用，不只是將其作為一種數學工具來使用，它實際上也在思維理念上對物理問題的解答有影響。所以在大學物理課程的教學中，教師也要注意通過舉出更多的具體案例來讓學生對于怎樣通過微積分來對物理問題進行解答，讓學生能把微積分的思維方式和具體的物理問題相結合，掌握好應用微積分思想來剖析和解決物理問題的方法。

微積分在大學物理的整體學習上是占有重要位置的，它的使用也不限于上述例題類型，很多比較關鍵的物理概念和定理都是直接通過微積分來進行定義的。引導學生更快的對微積分的原理以及其在解決實際物理問題是所有大學物理教師的責任。讓學生的能夠構建起較為全面的微積分思維，把微積分的理念、原理和的手段與物理的問題相結合，進而能使學生對大學物理知識的微積分部分的數學知識有比較全面的掌握，并能學有所用，從而達到提升授課效果和效率的目的。

二、矢量思想的構筑

（一）構建矢量思想的重要性和學生對矢量的掌握情況

1、構建矢量思想的重要性

舉個例子：一個50g重的小球，以20m/s的素質做圓周運動，求在1/4周期內向心力給它施加多少沖量。

在解決問題時學生大多會直接通過沖量的定義計算，但向心力是隨時間不斷變化的，對時間做積分并不容易。也有學生會認為勻速圓周運動的小球受到恒定的向心力，這很明顯是對矢量理解不夠徹底所致。那么沖量定義并不適用于本題，就會有不少學生會考慮使用動量定理求解，但實際上這樣計算對于學水平生而言準確率并不高。這時如果想到畫出矢量示意圖，解題就比較容易了。

從這樣一個簡答的例子中就可以比較明顯的看出，學生如果建立起矢量思想，解題時畫出矢量示意圖，那么解決問題就比較簡單了，也能更好的理解其中含有的物理知識。

2、當前學生對矢量的掌握

在物理這門科目中，學生認識的最多的物理量，究其根本均為矢量，所以“矢量運算法則”及“矢量方程”在物理問題的解決中有著比較廣泛的使用。不過，因為初高、中物理對這些的要求比較松散，筆者在修改學生上交的作業或試卷時，也發現有不少的學生并不注重矢量的標準表示，而仔細思考其原因，與其說學生沒有受到過正確書寫矢量的教育，倒不如說這些學生還沒有跳出以前物理學習的思考方式，并且對矢量相關名詞的意義并不了解，在意識中還沒有構建出矢量思維。如此，也讓為數不少的學生在走進大學系統的學習物理學時，還是無法準確的書寫矢量（也就是在字母上方加上箭頭，并不難掌握），而對于矢量方程的了解更是極其淺顯，難以使用它了解決一些問題。所以在大學物理教學中幫助學生構筑起矢量思維就顯得尤為必要。人教版的高中《物理》課本中提到，標量只存在大小，而無其方向；矢量則兼具大小和方向。這樣，有一些學生就錯誤的認為“有明確方向的量都屬于矢量，沒有方向的量則均可看做是標量”的定勢思維，這樣的定勢思維是本身就是的錯誤的，既不嚴謹，也無法作為定義使用，教師在物理教學的過程當中應該注意糾正。不可只是片面地認為“有明確方向的量都屬于矢量，沒有方向的量則均可看做是標量”，矢量的精確定義是能遵照平行四邊形合成法則的物理量才可稱為矢量，反之則為標量。不過，有不少學生對這一定義沒有深刻的理解，認定“如果物理量有方向，那么它就是矢量”，這明顯有失準確，電流、電動勢一類的物理量，雖然它們都有大小和方向，但卻并非算是矢量。在矢量定義但中，最為關鍵的就是矢量必定是合乎平行四邊形合成法則的。

（二）教學中矢量思想的構筑

在利用矢量思想來對物理問題加以解決時，一般要把矢量轉變成標量，再作后續的計算，還要把它置于合適的坐標體系中進行（也就是將矢量向某個方向或是某個坐標系投影處理），所以選取一個合適的坐標系是比較關鍵的。譬如在解答斜面運動問題時，矢量思想在處理實際物理問題中的有效性，就有著比較不錯的表現。先構建出坐標體系，一般會按照斜面及垂直斜面方向來建立，這樣就能把繁復的矢量轉化成簡易的標量。又如在研究曲線運動時，如果使用自然坐標系就能讓題目的解答變得簡單化。大學物理涉及到矢量的物理問題往往都和微元有一定的聯系，而在解決有關矢量微積分的物理問題時，首先要將矢量玩某個方向進行投影，通過將矢量點積或者叉積轉變成標量后再計算，最后把問題轉化成積分運算；亦或通過直角坐標系來進行正交分解，做點積或叉積后，以積分計算結束。能合理的使用并解出微積分與對矢量微積分的解題原理的領會是息息相關的。大學教師在授課時要遴選出典型例題，以更好的引導學生學會通過微積分思想來在腦中構筑起解題的模型和范式，掌握剖析和解答物理問題的方法。

總結

總而言之，不能只是把大學物理中的微積分和矢量看成數學工具，而是一種有效的思維方式。所以，在實際教學中，教師要注意通過選取適當的例證進行講解，引導學生把微積分與矢量的思想同解決物理問題相結合，使其可以通過微積分和矢量方法解答物理問題，這對提高大學物理的教學效果是比較重要的，此外，對于幫助學生構建科學思維方式和科研能力也有所幫助。

參考文獻

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