游戲中的數學問題

廖柳晴

在撲克牌游戲中，有一種叫做“24點”的游戲，它的游戲規則是：在除掉大王與小王的52張撲克牌中任取4張牌，看能否在其間添加四則運算符號和括號，得出24，其中A，J，Q，K分別代表數字1，11，12，13，

我們可以提出兩個與之相關的數學問題：一是從一副除掉大王與小王的撲克牌中任取4張牌。一共有多少種可能的出牌組合？二是在所有可能的出牌中，有多少種組合是可以算出24的？

我們先解決第一個問題，所選的4張牌有以下5種情況：

若4張牌的點數都不相同，則共有從13張牌中選4張的組合數，即有C⁴₁₃=715種組合，

若4張牌的點數中只有2張牌的點數相同，另外2張牌的點數不同。則先從13張牌中選3張牌，再在3張牌中取1張重復牌。即13取3的組合數乘以3取1的組合數，即有C³₁₃C¹₃=858種組合，

若4張牌的點數中有2張牌點數相同。另外2張牌的點數也相同，則從13張牌中取2張的組合數，即有C²₁₃=78種組合，

若4張牌的點數中有3張牌的點數相同，另外1張牌的點數不同，則先從13張牌中取2張牌。再從這2張牌中取1張重復兩次，即有C²₁₃C¹₂=156種組合，

若4張牌的點數都相同，則共有13種組合，

所以，所有的可能情況數為715+858+78+156+13=1820.

對第二個問題?？赡芘c你所期待的相反，并沒有什么快捷的方法得出答案，只能通過枚舉的方法一個一個進行判斷，根據計算機編程得出的結果，在這1 820種可能的組合中，有1 362種組合是可以算出24的，即有458種組合算不出24，進一步的研究表明，在所有1 362種可解的組合中：

有515種組合有且只有1個解：

有427種組合有且只有2個解：

有216種組合有且只有3個解：

有125種組合有且只有4個解：

有31種組合有且只有5個解：

有17種組合有且只有6個解：

有17種組合有且只有7個解：

有8種組合有且只有8個解：

有2種組合有且只有9個解：

有3種組合有且只有10個解；

最后，只有（2，4，8，10）有11個解，

上述有且只有1個解的意思是，比如（1，1，1，8），只有1種方式算出24：（1+1+1）x8=24，有且只有2個解的意思是，比如（1，1，2，6）只有2種方式算出24：（1+1）x6x2=24和（2+1+1）x6=24，即有且只有2個解，

現在人們玩“24點”游戲，往往將乘方、開方、階乘等算符也用上，在這樣的情況下。又有多少種可解的組合呢？這個問題就留給各位讀者思考吧，

（責任編校/馮琪）