復利中的數學

叢心尉

【摘 要】本文結合經濟學中的單利，復利與數學中的一次函數、指數函數，介紹單利，復利，一次函數與指數函數，以及它們的聯系。

【關鍵詞】單利；復利；一次函數；指數函數

單利與復利在理財、投資等經濟領域里扮演了非常重要的角色，尤其是復利。愛因斯坦曾說過“復利的威力比原子彈還可怕”，被稱為世界第八大奇跡。下面將從數學的角度來了解單利與復利。

一、一次函數

概念：形如的函數叫做一次函數，其定義域為：（-∞，+∞）。

當時，一次函數在其定義域內是嚴格單調遞減的；當時，一次函數在其定義域內是嚴格單調遞增的?，F以k=0.5，b=1為例，給出其函數圖像：

圖1

二、指數函數

概念：形如的函數叫做指數函數，其定義域為。

當時，指數函數在其定義域內是嚴格單調遞減的；當時，指數函數在其定義域內是嚴格單調遞增的?，F以a=1+0.5為例，給出其函數圖像：

圖2

現將與的函數圖像在同一直角坐標系中呈現如下圖：

圖3

通過函數圖像可以看出，隨著x的增大，指數函數值增大的速度要快于一次函數。

三、單利

概念：單利是指按照固定的本金計算利息，是計算利息的一種方法。單利的計算取決于本金，時間及市場一般利率水平等因素。

例1、小明手中現有5000元壓歲錢，準備以定期方式，存入銀行2年，年利率以2.25%計，以單利方法計息，試問存款到期后小明共能取出多少錢？其中利息有多少？

解：由于年利率為2.25%，且存款時長為2年，所以到期后取出的錢共有

其中利息金額為

答：2年存款到期后小明共能取出5225元，其中利息金額為225元。

注：（1）由例1可以看出，按照單利的計算方法，第一年存款產生的利息不會計入本金，即本金金額一直保持不變。

（2）假設本金為A，利率為p，存款（貸款）時間長度為x，則單利計算方法下，最終金額為。

四、復利

概念：復利是指在每經過一個計息期后，都要將所生利息加入本金，以計算下期的利息。

例2、小明手中現有5000元壓歲錢，準備以定期方式，存入銀行2年，年利率以2.25%計，以復利方法計息，試問存款到期后小明共能取出多少錢？其中利息有多少？

解：由于年利率為2.25%，且存款時長為2年，所以到期后取出的錢共有

其中利息金額為 ：

答：2年存款到期后小明共能取出5227.53125元，其中利息金額為227.53125元。

注：（1）由例2可以看出，按照復利的計算方法，第一年存款產生的利息會計入本金，即以利生利，也就是俗稱的“利滾利”。

（2）假設本金為A，利率為p，存款（貸款）時間長度為x，則復利計算方法下，最終金額為。

對于復利最終金額計算可以看做是的指數函數。單利最終金額可以看做是的一次函數。顯然當本金，利率相同的情況下，復利計算方法的利息金額要高于單利計算方法的利息金額，并且隨著時間的延長，兩個利息金額的差距會越來越大（可以參考圖3）?？磥怼皬屠耐Φ拇_比原子彈還可怕”。

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