向量在解題中的應用

程鈺茜

摘 要：向量是近代數學中最基本，也是最重要的數學概念之一，是連接代數、幾何和三角等其他數學內容的紐帶，在實際解題中有著廣泛的應用。本文在概述了向量涵義和運算的基礎上，通過實例主要分析了向量在代數和三角函數中的應用，說明了向量在解題中的重要性。

關鍵詞：向量；解題；應用

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2017）05-053-02

一、向量

（1）向量的涵義

向量，又稱為矢量，指的是既有大小又有方向的量。它可以用帶箭頭的線段來表示，箭頭所指的方向代表的是向量的方向，線段的長度指的是向量的大小。所以，向量也可以說是在空間或者是平面的有向線段。

（2）向量的常用運算

1.向量的加法

求兩個已知向量 、 和的運算叫做向量的加法， + 是向量 和 的和向量。向量的加法滿足三角形法則和平行四邊形法則。向量加法的三角形法則是將向量平移讓它們首尾相連，但要保證第一個向量的首指向第二個向量的尾。向量加法的平行四邊形法則是將它們平移到同一個起點，以它們作鄰邊平行四邊形的共起點的對角線。另外，向量的加法也滿足交換律和結合律。交換律即 + = + ，結合律即（ + ）+ = +（ + ）。

2.向量的減法

求兩個已知向量 、 差的運算叫做向量的減法，記作 = - 。向量的減法滿足三角形法則，是將第二個向量的終點指向第一個向量的終點。

3.數乘

實數 與向量 的乘積是一個向量，記作 ，而且l l=l ll l。當 >0時， 的方向和 的方向相同；當 <0時， 的方向和 的方向相反；當 =0時， =0，方向任意；當 =0時，對于任意實數 都有 =0。

4.數量積

已知兩個向量 、 和它們夾角的余弦的乘積叫做向量的數量積，記作 或者 · ，即 · =l ll lcos （ ， ）。

5.向量積

已知兩個向量 、 的向量積是一個向量，記作 × ，記作 × =l ll lsin （ ， ）。

二、向量在解題中的應用

（1）向量在代數中的應用

向量與許多代數內容都有著緊密的聯系，利用向量知識解決代數問題，可以將復雜的問題簡單化。

1.函數的最值問題

利用向量求函數的最值問題主要是利用向量模的不等式|l l-l l|≤l + l≤l l+l l等進行求解。

例1：設x R，求函數f（x）= + 的最值。

由已知條件 = ， = ，我們可以設向量 =（x-1，1），向量 =（5-x，3），那么 + =（4，4），所以l + l=4 ，又因為 + =l l+l l≥l + l=4 ，

也就是f（x）= + ≥4 。當且僅當 = ，即x=2時，等號成立。所以當x=2時，函數f（x）= + 有最小值，最小值是4 。

2.條件等式和不等式的證明

條件等式和不等式的證明過程中，往往需要一些變形的技巧，證明難度加大。但利用向量就可以使證明轉化成向量的運算，更容易讓人求解。

例2：設（a2+b2）（c2+d2）=（ac+bd）2，其中cd≠0，求證 = 。

通過觀察給出等式的結構特征，我們可以想到向量的模和向量的數量積，設 =（a，b）， =（c，d），兩個向量的夾角為 ，根據向量的夾角公式cos2 = = = 。由已知條件cos2 =1，可以解出cos = 1，所以 =0或者是π，因此 // ，所以 = 。

3.解方程問題

對方程進行求解有很多方法，但有時候利用常規的方法很難達到結果，而利用向量進行求解，就可以將過程簡化。

例3：解方程x· + x· =1

根據題設條件，設 =（x， ）， =（ ， x），所以l l=1，l l=1，l ll l=1， · =x· + x· =1，因此， · =l ll l=1，那么 // 而且方向相同，所以，x· x= · ，且x>0，求得x= 。

4.參變數的范圍問題

參變數的范圍問題是代數考察中的難點，經常需要分情況進行具體的討論，但掌握了向量的用法，就可以根據一個結果求出相關的問題。

例4：已知a、b、c、d R，而且a+b+c+d=m（m>0），a2+b2+c2+d2= ，討論a、b、c的范圍。由已知條件a2+b2+c2+d2我們可以想到向量的模，設 =（a，b，c）， =（1，1，1），那么 · =a·1+b·1+c·1=m-d，l l= ，l l= ，由 · ≤l ll l得到m-d≤ · = ，求出0≤d≤ ，再由a、b、c的對稱性就可以求出a、b、c的范圍。

（2）向量在三角函數中的應用

通過向量數量積的定義，我們就可以知道向量與三角函數之間有著緊密的聯系。向量的模與三角函數的關系，為利用向量解決三角函數問題提供了直接的思路。

1.求值

例5：已知cos +cos -cos（ + ）= ，求銳角 和 的值。

由已知條件cos +cos -cos（ + ）= 得到（1-cos ）cos +sin sin = -cos ，此時設向量 =（1-cos ，sin ）， =（cos ，sin ）。由于 · =（1-cos ）cos +sin sin = -cos ，l l·l l= · = ，又（ · ）2≤l l2·l l2，所以（ -cos ）2≤2-2cos ，也就是（cos - ）2≤0，得出cos = ， = ，將 = 代入cos +cos -cos（ + ）= 并整理得到sin（ + ）=1， = ，即 = = 。

2.證明恒等式

例6：求證cos（ - ）=cos cos +sin sin 。

由cos cos +sin sin 想到向量的數量積，設 =（cos ，sin ）， =（cos ，sin ），那么l l=1，l l=1，通過作圖，我們可以知道 與 的夾角是 - ，那么 · =l ll lcos（ - ）=cos（ - ），又因為 · =cos cos +sin sin =cos（ - ），所以cos（ - ）=cos cos +sin sin 。

三、總結

向量是數學中的一個有效工具，在很多數學問題，如代數、三角函數等中有著很廣泛的應用。靈活運用向量知識，利用向量去分析問題，不僅可以幫助我們快速解答問題，而且可以培養和拓寬解決數學問題的思維。因此，向量在解題中是有著重要的意義與價值的。

參考文獻

[1] 翁龍宇，向量在三角函數中的應用[J]，中學數學研究：江西師大2004（9） ：37-39

[2] 楊 亮，高中數學解題中向量方法的應用研究[J]，高中數理化2015（18） ：10endprint