離散型隨機變量的期望與方差

趙碧云+余錦銀

離散型隨機變量的分布列、期望、方差是三個緊密相連的有機統一體，一般綜合在一起進行考查. 其解題的關鍵是求出分布列，然后套用公式即可求出期望與方差. 下面我們結合實例談一談離散型隨機變量的期望與方差及其應用.

常見分布列的數學期望與方差

例1 一個口袋內裝有5個白球和2個黑球，現從中每次摸取一個球，取出黑球就放回，取出白球則停止摸球. 求取球次數[ξ]的數學期望[Eξ]與方差[Dξ].

分析 每次取出黑球就放回，取到白球才結束. 每次從袋內取出白球的概率[p=57]，取出黑球的概率[q=27]. [ξ]的取值為1，2，3，…，有無窮多個. 因此[ξ]服從幾何分布.

解 用[ξ=k]表示前[k-1]次均取到黑球，而第[k]次取到白球，

故[pξ=k=qk-1?p=27k-1?57]，[k=1，2，3，…].

又[ξ]服從幾何分布.

從而[Eξ][=1p=75]，[Dξ][=1-pp2=1-57572=1425].

點評 （1）幾何分布：概率為[p]的事件[A]，以[X]記為[A]首次發生所進行的實驗次數，則[X]的分布列：[pX=k=1-pk-1?p，k=1，2，3，…]，具有這種分布列的隨機變量[X]，稱為服從參數[p]的幾何分布. （2）幾何分布的期望[Eξ=1p]，方差[Dξ=1-pp2].

例2 某校校慶，各屆校友紛至沓來，某班共來了n位校友（n>10且[n∈N*]），其中女校友6位，組委會對這n位校友制作了一份校友名單. 現隨機從中選出2位校友代表，若選出的2位校友是一男一女，則稱為“最佳組合”.

（1）若隨機選出的2位校友代表為“最佳組合”的概率等于[12]，求n的值；

（2）當n=12時，設選出的2位校友中女校友人數為ξ，求ξ的分布列以及Eξ，[Dξ].

解析 （1）由題意可知，所選兩人為“最佳組合”的概率[P=C1n-6C16C2n=12n-6nn-1].

則[12n-6nn-1=12].

化簡得，n2-25n+144=0，

解得，n=9（舍去），或n=16.

故n=16.

（2）由題意得，[ξ]的可能取值為0，1，2.

則P（ξ=0）=[C26C212=522]，P（ξ=1）=[C16C16C212=611]，

P（ξ=2）=[C26C212=522].

[[ξ] 0 1 2 [P] [522] [611] [522] ]

[∴][Eξ=0×522+1×611+2×522=1]，

[Dξ=0-12×522+1-12×611+2-12×522=511.]

點評 ①在含有[M]件次品數的[N]件產品中，任取[n]件，其中含有[X]件次品數，則事件[{X=k}]發生的概率為[P（X=k）=CkMCn-kN-MCnN]，[k]=0，1，2，…，[m]，其中[m=min{M，n}]，且[n≤N]，[M≤N]，[n]，[M]，[N∈N*]，稱此分布列為超幾何分布列.

②超幾何分布的期望[EX=nMN]，[DX=nMN-][nMN2+nn-1MM-1NN-1].

離散型隨機變量在實際中的應用

例3 甲、乙兩個野生動物保護區有相同的自然環境，且野生動物的種類和數量也大致相等. 而兩個保護區內每個季度發現違反保護條例的事件次數的分布列如下. 試評定這兩個保護區的管理水平.

甲保護區

分析 一是要比較一下甲、乙兩個保護區內每季度發生的違規事件的次數的均值，即數學期望；二是要看發生違規事件次數的波動情況，即方差值的大小. （當然，亦可計算其標準差，同樣說明道理. ）

解 甲保護區的違規次數[ξ1]的數學期望和方差為：

[Eξ1=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3，]

[Dξ1=（0-1.3）2×0.3+（1-1.3）2×0.3+（2-1.3）2×0.2 ]

[+（3-1.3）2×0.2=1.21.]

乙保護區的違規次數[ξ2]的數學期望和方差為：

[Eξ2=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3，]

[Dξ2=（0-1.3）2×0.1+（1-1.3）2×0.5+（2-1.3）2×0.4 ]

[=0.41].

因為[Eξ1=Eξ2，Dξ1>Dξ2]，所以兩個保護區內每季度發生的違規平均次數是相同的；乙保護區內的違規事件次數更集中和穩定，而甲保護區的違規事件次數相對分散和波動.

（標準差[σξ1=Dξ1=1.1，σξ2=Dξ2≈0.64]這兩個值在科學計算器上容易獲得，顯然，[σξ1>σξ2].）

點評 數學期望只體現了隨機變量取值的平均大小，但有時僅知道均值大小還是不夠的（比如：兩個隨機變量的均值相等了，即數學期望值相等），這就還需要知道隨機變量的取值如何在均值周期變化，即計算其方差（或是標準差）. 方差大說明隨機變量取值分散性大，方差小說明取值分散性小或者說取值比較集中、穩定.

期望、方差與其他知識的綜合應用

例4 某廠用鮮牛奶在某臺設備上生產[A，B]兩種奶制品. 生產1噸[A]產品需鮮牛奶2噸，使用設備1小時，獲利1000元；生產1噸[B]產品需鮮牛奶1.5噸，使用設備1.5小時，獲利1200元. 要求每天[B]產品的產量不超過[A]產品產量的2倍，設備每天生產[A，B]兩種產品時間之和不超過12小時. 假定每天可獲取的鮮牛奶數量W（單位：噸）是一個隨機變量，其分布列如下.endprint

[[W] 12 15 18 [P] 0.3 0.5 0.2 ]

該廠每天根據獲取的鮮牛奶數量安排生產，使其獲利最大，因此每天的最大獲利[Z]（單位：元）是一個隨機變量.

（1）求[Z]的分布列和均值；

（2）若每天可獲取的鮮牛奶數量相互獨立，求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率.

解析 （1）設每天[A，B]兩種產品的生產數量分別為[x，y]，相應的獲利為[z]，

則[2x+1.5y≤W，x+1.5y≤12，2x-y≥0，x≥0， y≥0. ] （*）

目標函數為[z=1000x+1200y].

①當[W=12]時，（*）表示的平面區域如圖1，三個頂點分別為[A（0， 0）， B（2.4， 4.8）， C（6， 0）].

[圖1]

將[z=1000x+1200y]變形為[y=-56x+z1200]，

當[x=2.4， y=4.8]時，直線[l]：[y=-56x+z1200]在[y]軸上的截距最大，

最大獲利[Z=zmax=2.4×1000+4.8×1200][=8160].

②當[W=15]時，（*）表示的平面區域如圖2，三個頂點分別為[A（0， 0）， B（3， 6）， C（7.5， 0）].

將[z=1000x+1200y]變形為[y=-56x+z1200]，

當[x=3， y=6]時，直線[l]：[y=-56x+z1200]在[y]軸上的截距最大，

最大獲利[Z=zmax=3×1000+6×1200=10200].

③當[W=18]時，（*）表示的平面區域如圖3，四個頂點分別為[A（0， 0）， B（3， 6）， C（6， 4）， D（9， 0）].

將[z=1000x+1200y]變形為[y=-56x+z1200]，

當[x=6，y=4]時，直線[l]：[y=-56x+z1200]在[y]軸上的截距最大，

最大獲利[Z=zmax=6×1000+4×1200=10800].

故最大獲利[Z]的分布列為

[[Z] 8160 10200 10800 [P] 0.3 0.5 0.2 ]

故[E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2]

[=9708.]

（2）由（1）知，一天最大獲利超過10000元的概率[p1=P（Z>10000）=0.5+0.2=0.7].

由二項分布知，3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為[p=1-（1-p1）3=1-0.33=0.973.]

點評 本題是隨機變量的分布列、期望、二項分布與線性規劃的綜合應用. 很多同學由于題目較長讀不懂題意，無法轉化，導致丟分. 其實只需根據[W]的取值和線性規劃的知識求出[Z]的所有可能取值及對應的概率就可得到[Z]的分布列，問題也就迎刃而解了.endprint