例析離散型隨機變量及其分布列

余錦銀

離散型隨機變量及其分布列是隨機事件及其概率的延續. 通過研究全國和各省的高考題，不難發現，“求離散型隨機變量及其分布列”是一種非常重要的題型. 本文通過對這種類型試題的研究，總結了幾種常見的基本題型與求解方法，供大家參考.

離散型隨機變量的分布列的性質

離散型隨機變量的分布列的性質主要有三方面的作用：（1）利用“總概率之和為1”可以求相關參數的值或取值范圍；（2）利用“離散型隨機變量在某范圍內的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和”求某些特定事件的概率；（3）可以根據性質判斷所得分布列的結果是否正確.

例1 若離散型隨機變量X的分布列為

[X 0 1 P [9c2-c] [3-8c] ]

則常數[c]=________，[P（X=1）]=________.

解析 由離散型隨機變量分布列的性質知，

[9c2-c+3-8c=1，0≤9c2-c≤1，0≤3-8c≤1.] 解得，[c=13.]

所以[P（X=1）=3-8×13=13.]

點評 （1）利用分布列中各概率之和為1可求參數的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數. （2）求隨機變量在某個范圍內的取值概率時，根據分布列將所求范圍內隨機變量對應的取值概率相加即可，其依據是互斥事件的概率加法公式.

離散型隨機變量分布列的求法

（1）找出隨機變量X的所有可能取值xi，i=1，2，3，…，n；（2）求出各取值的概率P（X=xi）=pi；（3）列成表格并用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確.

例2 甲、乙兩位射擊運動員，在某天訓練中已各射擊10次，每次命中的環數如下：

（1）通過計算估計，甲、乙兩人的射擊成績誰更穩；

（2）若規定命中8環及以上環數為優秀，以頻率作為概率，請依據上述數據估計，甲在第11至第13次射擊中獲得優秀的次數[ξ]的分布列和期望.

分析 （1）分別計算甲、乙兩人射擊的平均成績與方差，比較其大小即可；（2）由題意得，甲運動員命中8環及以上的概率為[p=25，]分別計算[ξ=0，1，2，3]時的概率，即可得到相應的概率分布列與期望.

解 （1）由題意得，[x甲=1107+8+…+4=7，]

[x乙=1109+5+…+7=7，]

所以[s2甲=1107-72+8-72+…+4-72=4，]

[s2乙=1109-72+5-72+…+7-72=1.2.]

因為[s2乙

所以乙比甲的射擊成績穩定.

（2）由題意得，甲運動員命中8環及以上的概率為[p=25.]

則甲在第11至13次射擊中獲得優秀次數的情況[ξ]取得[0，1，2，3.]

所以[P（ξ=0）=35×35×35=27125，]

[P（ξ=1）=C13×25×35×35=54125，]

[P（ξ=2）=C23×252×35=36125，]

[P（ξ=3）=253=8125.]

所以[ξ]的分布列為

例3 某商店試銷某種商品20天，獲得如下數據：

試銷結束后（假設該商品的日銷售量的分布規律不變），設某天開始營業時有該商品3件，當天營業結束后檢查存貨，若發現存量少于2件，則當天進貨補充至3件，否則不進貨，將頻率視為概率.

（1）求當天商店不進貨的概率；

（2）記X為第二天開始營業時該商品的件數，求X的分布列.

解析 （1）P（當天商店不進貨）=P（當天商品銷售量為0件）+P（當天商品銷售量為1件）=[120+520=310.]

（2）由題意知，X的可能取值為2，3.

P（X=2）=P（當天商品銷售量為1件）=[520=14，]

P（X=3）=P（當天商品銷售量為0件）+P（當天商品銷售量為2件）+P（當天商品銷售量為3件）= [120+920+520=34或P（X=3）=1-P（X=2）=34.]

所以X的分布列為

[X 2 3 P [14] [34] ]

點評 在求解隨機變量的概率值時，注意結合計數原理、古典概型等知識求解.

超幾何分布

若隨機變量X滿足如下條件，則X服從超幾何分布. 第一，該試驗是不放回地抽取n次；第二，隨機變量X表示抽取到的某類個體的個數（如次品件數或類似事件），反之亦然.

超幾何分布的特征：（1）考查對象分兩類；（2）已知各類對象的個數；（3）從中抽取若干個個體，考查某類個體數X的概率分布.

例4 某小組共10人，利用假期參加義工活動. 已知參加義工活動次數為1，2，3的人數分別為3，3，4. 現從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.

（1）設A為事件“選出的2人參加義工活動次數之和為4”，求事件A發生的概率；

（2）設X為選出的2人參加義工活動次數之差的絕對值，求隨機變量X的分布列.

解析 （1）由題意得，[P（A）=C13C14+C23C210=13.]

所以事件A發生的概率為[13.]

（2）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2.

[P（X=0）=C23+C23+C24C210=415，]

[P（X=1）=C13C13+C13C14C210=715，]

[P（X=2）=C13C14C210=415.]

所以隨機變量X的分布列為

[X 0 1 2 P [415] [715] [415] ]

點評 求超幾何分布的分布列的步驟：第一步，驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數[N]，[M]，[n]的值；第二步，根據超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率；第三步，用表格的形式列出分布列.

離散型隨機變量的交匯問題

高考對隨機變量的考查以分布列和期望為主，涉及填空題、選擇題、解答題三種形式，且常在解答題中考查；涉及的數學思想方法主要有分類討論思想、轉化與化歸思想.

例5 某超市在節日期間進行有獎促銷，凡在該超市購物滿400元的顧客，將獲得一次摸獎機會，規則如下：獎盒中放有除顏色外完全相同的1個紅球、1個黃球、1個白球和1個黑球. 顧客不放回地每次摸出1個球，若摸到黑球則停止摸獎，否則繼續摸球. 規定摸到紅球獎勵20元，摸到白球或黃球獎勵10元，摸到黑球不獎勵.

（1）求1名顧客摸球2次停止摸獎的概率；

（2）記[X]為1名顧客摸獎獲得的獎金數額，求隨機變量[X]的分布列和數學期望.

解析 （1）這是一個古典概型問題，摸2次后停止摸獎，說明第一次不是黑球，而第2次摸的是黑球；（2）因為是不放回地摸球，因此得獎金額可能為0元、10元、20元、30元、40元，這樣隨機變量[X]的分布列就要求出. 獎金0元，說明第1次摸的是黑球；獎金10元說明第一次摸的是拍球或黃球，第2次黑球；獎金20元，說明第1次紅球，第2次黑球或第1、第2次是白球或黃球，第3次黑球；獎金30元，第1次與第2次里有1次是紅球，另一次為白球或黃球，第3次黑球；而獎金40元說明第4次是黑球. 由上可計算出分布列、期望.

（1）設“1名顧客摸球2次停止摸獎”為事件[A]，

則[P（A）=A13A24=14].

故1名顧客摸球2次停止摸獎的概率為[14].

（2）隨機變量[X]的所有取值為[0，10，20，30，40].

[P（X=0）=14]，[P（X=10）=A12A24=16]，

[P（X=20）=A22A34+1A24=16]，[P（X=30）=C12A22A34=16]，

[P（X=40）=A33A44=14].

所以隨機變量[X]的分布列為

[EX=0×14+10×16+20×16+30×16+40×14=20].

點評 本題考查利用古典概型求分布列，具有一定的綜合性. 求離散型隨機變量的分布列有三個步驟：①明確隨機變量取哪些值；②利用排列、組合與概率知識計算隨機變量取每一個值時的概率；③將結果用二維表格形式給出. 計算概率時注意結合排列與組合知識.

而解決分布列、期望與方差及應用等問題時，一般利用它們相關的性質就可以求解，或通過建立方程來解決.

例6 據IEC（國際電工委員會）調查顯示，小型風力發電項目投資較少，且開發前景廣闊，但受風力自然資源影響，項目投資存在一定風險. 根據測算，風能風區分類標準如下：

假設投資A項目的資金為[x（x≥0）]萬元，投資B項目的資金為[y（y≥0）]萬元，調研結果是：未來一年內，位于一類風區的A項目獲利30%的可能性為0.6，虧損20%的可能性為0.4；位于二類風區的B項目獲利35%的可能性為0.6，虧損10%的可能性是0.1，不賠不賺的可能性是0.3.

（1）記投資A，B項目的利潤分別為[ξ]和[η]，試寫出隨機變量[ξ]與[η]的分布列和期望[E（ξ），E（η）]；

（2）某公司計劃用不超過100萬元的資金投資于A，B項目，且公司要求對A項目的投資不得低于B項目，根據（1）的條件和市場調研，試估計一年后兩個項目的平均利潤之和[z=E（ξ）+E（η）]的最大值.

解析 （1）A項目的利潤[ξ]的分布列為

[[ξ] [0.3x] [-0.2x] [P] 0.6 0.4 ]

[E（ξ）=0.18x-0.08x=0.1x].

B項目的利潤[η]的分布列為

[[η] [0.35y] [-0.1y] 0 [P] 0.6 0.1 0.3 ]

[E（η）=0.21y-0.01y=0.2y].

（2）由題意知，x，y滿足的約束條件為

[x+y≤100，x≥y，x，y≥0.]

由（1）可知，[z=E（ξ）+E（η）=0.1x+0.2y]，

當x=50，y=50時，z取得最大值15.

所以對A，B項目各投資50萬元，可使公司獲得最大利潤，最大利潤是15萬元.

在高考解答題中，離散型隨機變量常常與等可能事件、互斥事件、相互獨立事件等多種事件交匯在一起進行考查. 另外，在近幾年的高考題中也出現了離散型隨機變量與函數、不等式等知識的交匯創新題. 因此在透徹理解各類事件的基礎上，準確把題中所涉及的事件進行分解，明確所求問題所屬的事件類型.endprint