六點三重插值-逼近混合細分法的研究①

朱 洪

(安徽三聯學院基礎部，安徽 合肥 230601)

0 引 言

細分法是由初始控制多邊形的控制網格不斷細化而產生的光滑曲線曲面的一類造型方法。其算法簡單高效，容易實現等優勢，因此在計算機輔助幾何設計等領域中有著廣泛的應用。Dyn等[1]和Deslauriers等[2]分別提出C1連續的四點二重插值細分和四點三重插值細分。為了提高細分算法的光滑性，Hassan等[3]C2四點三重插值細分方法。Siddiqi等[4]利用Lagrange多項式基函數提出了2N點三重細分算法，當N=2,3,4時，極限曲線的連續階數分別為C3,C4,C5。Siddiqi等[5]和胡玫瑰等[6]給出了C2連續的六點插值細分法和C4連續的六點細分算法。汪缽等[7]提出了一類含參數的細分法，對于三參數的五點二重逼近算法可達C6連續。Tan等[8]提出C2連續的四點二重細分，同時對保形性進行了探討。莊興龍等[9]提出C7連續的五點二重逼近細分算法。張艷艷等[10]提出了含有雙張力參數的C2連續五點插值細分法。檀結慶等[11]提出從三重插值細分中推導逼近細分的方法，同時產生的曲線為C2連續。王棟等[12]將插值逼近兩種細分格式相結合，從而生成C2連續的極限曲線。雖然逼近細分法能夠使得產生的曲線更加光滑，但是不能很好的控制初始多邊形，而插值細分法對于初始控制多邊形較為依賴，能夠有效保持原來的形狀?；谏鲜鲅芯?，將六點三重細分算法的掩模引入張力參數，統一插值逼近兩種細分格式，并對參數進行適當取值，從而得到一系列的插值曲線和逼近曲線。

1 預備知識

(1)

定理1[3]若三重細分算法S一致收斂，則掩模α={ai}滿足

(2)

定理2[3]設三重細分算法S的掩模α={ai}滿足式(2)，則存在一個三重細分算法S1，滿足

dPk=S1dPk-1

(3)

2 六點三重插值-逼近混合細分法及連續性分析

(4)

其中，a0=a4=-α，a1=a3=4α，a2=1-6α,

定理4 對于任意給定的控制多邊形，當α=0,-0.0062<β<0.0556時，式(4)生成的插值曲線是C1連續的，當β=0,-0.0031<α<0.0741時，式(4)生成的逼近曲線也是C1連續的。

證明：

因為a=(ai)={…,b5,b0,a0,b4,b1,a1,b3,b2,a2,b2,b3,a3,b1,b4,a4,b0,b5,…}

∴a(z)=b5z-8+b0z-7+a0z-6+b4z-5+b1z-4+a1z-3+b3z-2+b2z-1+a2+b2z+b3z2+a3z3+b1z4+b4z5+a4z6+b0z7+b5z8

由定理2知，S1的生成多項式為

i=-6,-5,…,8

當-0.0031<α<0.0741,-0.0062<β<0.0556時，

因此，由定理3可知，該細分法是一致收斂的。

再根據定理2，

i=-4,-3,…,8

當-0.0031<α<0.0741,-0.0062<β<0.0556時，

根據定理3，式(4)C1連續。

定理5 對于任意給定的控制多邊形，當0.0041<α<0.0185,β=0時，式(4)生成的逼近曲線是C2連續的。

證明： 根據定理2，

i=-2,-1,…,8

當0.0041<α<0.0185,β=0時，

根據定理3，式(4)C2連續。

定理6 對于任意給定的控制多邊形，當0.0168<α<0.0173,β=0時，式(4)生成的逼近曲線是C3連續的。

證明： 根據定理2，

i=0,1,…,8

當0.0168<α<0.0173,β=0時，

根據定理3，式(4)C3連續。

3 算 例

通過統一插值細分和逼近細分兩種細分格式，給出插值-逼近六點三重混合細分法。在同一個初始控制多邊形下，當α=0,β=-0.006,-0.001,0,0.01,0.02,0.03,0.05時，得到一系列極限曲線插值于控制頂點，如圖1(a)、(b)所示；當β=0,α=-0.003,-0.02,0,0.005,0.01,0.017,0.03時，生成一系列逼近的極限曲線，如圖1(c)、(d)所示。

圖1

結合插值細分法和逼近細分法的各自優勢，對插值-逼近混合細分算法中的兩個張力參數進行適當取值，使得產生的極限曲線能夠靈活調控。當α=0.017且β=0,0.01,-0.01,0.02-0.02時，生成一系列六點插值-逼近混合細分曲線，如圖2所示；當β=0且α=0,0.01,-0.01,0.02-0.02時，生成一系列細分曲線，如圖3所示。

4 結 語

通過引入張力參數將插值算法與逼近算法進行統一，且張力參數可以反映出插值算法及逼近算法兩者之間的緊密聯系。未來工作將對該細分算法的保形性以及動態的其它細分格式作具體研究。

[1] Dyn N, Levin D, Gregory J A. A 4-point Interpolatory Subdivision Scheme for Curve Design[J]. Computer Aided Geometric Design, 1987, 4(4): 257-268.

[2] Deslauriers G, Dubuc S. Symmetric Iterative Interpolation Processes[M].Constructive Approximation. Springer US, 1989:49-68.

[3] Hassan M F, Ivrissimitzis I P, Dodgson N A, Sabin M A. An Interpolating 4-points Ternary Stationary Subdivision Scheme[J]. Computer Aided Geometric Design, 2002,19:1-18.

[4] Siddiqi S S, Rehan K. Ternary 2N-point Lagrange Subdivision Schemes[J]. Applied Mathematics and Computation, 2014, 249:444-452.

[5] Siddiqi S S, Noreen T. Convexity Preservation of Six Point Interpolating Subdivision Scheme[J]. Applied Mathematics and Computation,2015,265:936-944.

[6] 胡玫瑰,鄭紅嬋,段建偉.四參數六點細分法[J].計算機工程與應用,2011,47(6):184-187.

[7] 汪缽,檀結慶.一類由Laurent多項式誘導的帶參數二重細分[J].計算機輔助設計與圖形學報,2016,28(12):2082-2087.

[8] Tan J Q, Zhuang X L, Zhang L. A New Four-point Shape-preserving Subdivision Scheme[J]. Computer Aided Geometric Design, 2014, 31: 57-62.

[9] 莊興龍,檀結慶.五點二重逼近細分法[J].圖學學報, 2012, 33(5): 57-61.

[10] 張艷艷,檀結慶.雙參數五點插值細分法[J].計算機工程與應用, 2014, 50(6): 135-138.

[11] 檀結慶,童廣悅,張莉.基于插值細分的逼近細分法[J].計算機輔助設計與圖形學學報, 2015, 27(7):1162-1166.

[12] 王棟,張曦,李桂清.混合細分曲線及其應用[J].計算機輔助設計與圖形學學報, 2007, 19(3): 286-291.

[13] 鄭紅嬋,葉正麟,趙紅星.雙參數四點細分法及其性質[J].計算機輔助設計與圖形學學報, 2004,16(8):1140-1145.