解析幾何課程難度的定量分析比較

楊新玲

（古浪縣第一中學，甘肅 武威）

解析幾何是幾何方法與代數方法相結合的第一次嘗試，在高考試卷中一般以解答題的形式出現，學生需要用代數的方法計算證明幾何問題，所以解析幾何給人的直觀感受就是難度較大。如果一門課程需要在有限的課時內，學習太多的知識點，每個知識點的掌握都需要學生進行很多的推理和運算步驟，那這門課程的難度系數自然就會增加，可見課程難度與課程時間、課程廣度和課程深度都有關系，其中與課程時間反比，與其他兩個因素成正比?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準》（以下簡稱《標準》）是課程的基本理念、課程目標、課程實施建議等的詳細闡述和要求，是最低限度的教學要求，《高中數學教學大綱》（以下簡稱《大綱》）是每門學科的教學綱要，包括教學目標、任務、教學內容的范圍、深度和結構、教學進度等的基本要求，也是對學生進行考核的出題范圍及出題深度的綱要性文件。以下，筆者對《標準》與《大綱》中的要求對解析幾何部分進行難度分析，并針對難點提供解題思路。

一、高中解析幾何課程難度分析

在《標準》中解析幾何的內容是分層次的，對于選修文科的學生和選修理科的學生，部分內容是要求不同的。在課程廣度上，《標準》中解析幾何包括必修2的直線與方程、圓與方程、空間直角坐標系，以及選修課的圓錐曲線與方程；《大綱》中的解析幾何包括直線和圓的方程、圓錐曲線與方程兩部分內容均在必修當中。在課程時間上，《標準》中理科生解析幾何總課時是34個學時（文科生總課時是30個學時本文不做考慮，只比較對理科生來說的《標準》與《大綱》的比較），而《大綱》中授課總時數為40個學時。從課程難度來說，《標準》比《大綱》的課程難度要大，《標準》中對解析幾何的要求有以下特點：內容滲透著數形結合的思想，注重知識發生發展的過程強調幾何背景。

例如《標準》中要求學生經歷橢圓曲線的形成過程，讓學生對圓錐曲線的定義和幾何背景有個深入的了解，并提出有條件的學校要發揮現代信息技術的應用，用計算機演示出平面截圓錐得的圓錐曲線，這樣可以使學生對所學的知識有切身的實踐和體現，通過看演示過程，更能發現空間幾何圖形與解析幾何中的一些結論，并能將這些思想和方法用到解題過程中去。

從幾次大綱的修訂來看，現行的2003年的《標準》在解析幾何部分的課程時間在減少，課程廣度和深度相對以前的1996年和2000年的《大綱》來說沒有相應地減少，反而是增大了，尤其是課程深度增大比較明顯。

二、高中解析幾何難點的解題思路

從問卷調查來看，筆者發現學生在解析幾何的基本定義與概念理解上問題不大，但一到實際運用環節卻表現較差。經過分析后，筆者認為解析幾何比較難的原因是：學生對基本定義與概念更加偏向于機械地記憶，缺乏真正的理解，也不能在知識點間建立有效的聯系。其實，解析幾何就是一個對幾何方法和代數方法的綜合運用。就像《標準》所要求的那樣，教師在課堂教學中應注重讓學生通過自主學習獲得知識，體會解題的技巧，養成良好的數學思維習慣，這樣才能從根本上解決這個“一看就懂一用就錯”的問題。以下筆者總結了幾種比較常見的解題方法。

1.利用“韋達定理”設而不求

韋達定理說明了一元二次方程中根和系數之間的關系，所以是解答解析幾何題非常有效的工具，在考題中，很多題目都是將圓錐曲線與直線綜合起來考查，利用知識交叉點進行出題。這類題目在解答過程中，一般不容易求出交點坐標，但是可以通過聯立方程組，利用韋達定理得到交點坐標的和與積。

2.利用“點到直線的距離公式”建立等量關系

如果考題當中涉及了直線與圓相切，那么我們可以利用點到直線的距離公式建立聯系。因為這時，圓心到切線的距離就是圓的半徑，設 M（x0，y0），直線 l：Ax+By+C=0，則點 M 到直線 l的距離是這樣可以得到很多有用的結果。這個點到直線的距離有時是三角形的高，有時是直線的垂直關系而產生的距離，學生要學會靈活運用該知識點，才能真正服務于解題。

3.利用“兩點間的距離公式”求弦長

如果高考題目當中出現一條直線被圓錐曲線截得一段線段，要求它的長度時，弦長一定與兩個交點的坐標有關，所以在解答的過程中，最好是設直線的斜率是 k，交點為 A（x1，y1），B（x2，y2），通過建立一個直角三角形就可以很容易得到的形式，解后就可以通過韋達定理求解。

本文用定量的方法對《標準》與《大綱》中高中解析幾何部分的難度進行了分析，得出由于這部分內容在《標準》中課時減少，課程廣度和深度都有所增加，更加注重學生對數學原理的理解，以往只是記住公式的做法，在遇到問題時不能發揮作用，所以筆者列舉了幾個難點進行了解析。