不等式恒成立問題的求解方法和誤區

徐 ?。ê鲜∮乐菔薪A縣第一中學，湖南 永州）

高中數學中的恒成立問題，考查了學生學習的綜合解題能力，并培養和提升學生的創造性思維能力。而且近年來高考中的熱點問題也涉及恒成立問題。在恒成立問題的解題中，一般需要用到函數的單調性、不等式、方程、函數最值的求法等知識，一般所用到的充要條件如下：定理：設函數f（x）的最大值是M，最小值是m.（1）不等式f（x）≥k恒成立的充要條件是m≥k；（2）不等式f（x）≤k恒成立的充要條件是M≤k。通過這個定理可把恒成立問題轉化成求函數最值的問題。

一、反參為主的求解法

恒成立問題通常是變量的取值范圍是已知的，求解出參數的取值范圍。與此同時還有一些比較特殊的問題是參數的取值范圍已知，要求解出變量的取值范圍。實際上，這類題型是一般題型的相反問題，因而可進行換位思考，將參數變為主元，把問題轉化為一次函數的恒成立問題，這樣即可通過一次函數的圖象解答出問題的答案。因此，若恒成立問題已有了參數范圍，通常將參數看作是主元，將主元當作是已知數，具體也即是將原題看作是參數的函數，從而進行函數的解答。

例1：對于滿足0≤p≤4的所有實數，求使不等式x2+px＞4x+p-3都成立的x的范圍。對于這道題，可作如下分析：題目中已有了參數的范圍，可將p看作是主元，得到一個有關字母p的一次函數。那么即可這樣解題：整理不等式得出（x-1）p+x2-4x+3＞0。令f（p）=（x-1）p+x2-4x+3，要使不等式f（p）＞0在0≤p≤4時恒成立，則只要不等式組成立，解得 x＞3或 x＜-1。

綜上，對于部分含參不等式的恒成立問題，在進行參數分離的過程中，如果遇到一定的障礙，或者是在完成參數與變量的分離后但求最值遇到障礙時，可把變元和參數進行換位，然后通過與其他知識的融合滲透，從而解答出來。如，在以上的例題中把參數看作是主元，那么可引導學生在草稿紙上將一次函數的圖象畫出來，使一次函數在區間［0，4］恒大于0，觀察圖象要求必須滿足不等式組f（0）=x2-4x+3＞0，f（4）=x2-1＞0。

二、數形結合的求解法

數的本質特征是形，而形的表述形式是數，通過數形結合的方式來解題，可以達到事半功倍的效果。但由于圖形的呈現非常直觀，所以依然還是要通過數來完成精確的計算。

例2：若關于x的不等式x2-logax＜0在區間恒成立，求解出實數a的取值范圍。對于這道題，可引導學生作如下分析：因不等式的左邊不僅有二次式，而且還有對數式，所以分離參數時很難找到其突破口，那么經過觀察發現可將其轉換成不等式x2＜logax在區間上恒成立。那么此時可設f（x）=x2，g（x）=logax，那么此時則僅僅使得f（x）和g（x）在區間（的圖象上，并觀察a是什么值時，f（x）的圖象恒在g（x）的下方。這樣即可容易得出：0＜a＜1，且在區間上時，g（x）為減函數，所以從而解答出

三、求導數分析法

通過導數分析法來對恒成立問題進行求解，需通過使用函數與導數的關系，探討函數的單調性。所以，在解答恒成立問題時，通常需要將函數的導數先求出來，并對導函數的符號進行判斷，這樣才能確定函數在所給定區間的最值，并在指定區間上找到函數的變化趨勢，結合函數值的這種變化趨勢，再結合區間的端點值、函數的極值，對參數所滿足的不等式或不等式組予以確定，然后求解的過程中采用數學轉化思想。

例3：已知函數f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），如果曲線y=f（x）和曲線 y=g（x）都過點 P（0，2），同時在點 P 處有相同的切線 y=4x+2.求a、b、c、d的值。對于這道題，首先應引導學生明白此題的解題思路是進行參數分離，接著通過導數采用導數求函數的區間最值。那么具體首先分離參數k，此時注意必須考慮極值點是否在定義域所在的區間上。

解：從題意已知，得f（0）=g（0）=2，f′（x）=g′（x）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=ex（cx+d+c），得出a=4，b=c=d=2。

綜上所述，通過上文對不等式恒成立問題的幾種求解方法的介紹，可以總結出這些解題思路及方法有著很強的知識綜合性，要求學生必須思路保持靈活，而且意識到這些解題方法都可轉化為函數求出最值進行解答，這實際上也充分體現了數學這門學科最本質的思想。