具有兩個備用服務臺的異步限制休假排隊

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(1.安徽信息工程學院,安徽 蕪湖 241000;2.江蘇大學,江蘇 鎮江 212013)

現實生活中,休假期間也會有顧客到達,鑒于工作休假的研究[1，2],在休假期內引入備用服務臺上崗工作,會更好地兼顧系統服務及休假期內設置輔助工作兩者的效益.馬金旺,胡彬等[3，4]將備用服務臺引入單服務臺休假排隊系統中,具有很好的實際效果.而服務臺同步休假[5，6]要求所有服務臺需在空閑一定數量的條件下同步進入休假,從而造成資源的浪費,故異步休假[7，8]更適合實際應用.基于此,提出了具有兩個備用服務臺的異步限制休假排隊.

1 具有兩個備用服務臺的異步限制休假排隊

1.1 模型描述

1) 顧客到達均為泊松到達,到達率為λ,服務機制為FCFS.

2) 系統設有5個標準服務臺和2個備用服務臺.服務時間均服從負指數分布,服務率分別為u1和u2,u2

3) 標準服務臺完成某項服務,若遇系統中有顧客等待,則繼續為下個顧客服務;若遇系統中無顧客等待,可能出現兩種情形:

i.系統中處于休假的標準服務臺數小于2 h,該標準服務臺休假,由一個備用服務臺替換工作.

ii.系統中處于休假的標準服務臺達到2 h,該標準服務臺不能休假進入空閑狀態.

4) 若一個標準服務臺結束休假時系統無顧客等待,就開始另一次獨立同分布的休假,若系統有顧客等待則休假結束,若此時系統中有顧客正被備用服務臺服務,則備用服務臺立刻中止服務且已服務的時間無效,標準服務臺對該顧客重新開始服務,備用服務臺轉為備用.

5) 標準服務臺休假時間V服從參數為θ的指數分布,備用服務臺不休假.

以上隨機變量均相互獨立.

Lv(t)表示時刻t系統內顧客數,J(t)表示時刻t正在休假的標準服務臺數(即工作的備用服務臺數).{Lv(t),J(t)}是一個QBD(擬生滅過程),有狀態空間

Ω={(k,2):0≤k≤3}∪{(4,j):2≥j≥1}∪{(k,j):k≥5,0≤j≤2}

J(t)=0表示所有的服務臺都是標準服務臺,J(t)=2表示2個備用服務臺全在工作.

系統的狀態轉移情況如圖1所示.

圖1 模型的狀態轉移圖

將狀態按字典排序,過程的無窮小生成元可寫成以下三對角分塊矩陣的形式

其中A0=-λ,A1=-(λ+u1),A2=-(λ+2u1),A3=-(λ+3u1),

1.2 率陣R

引理1 代數方程

[(3+k)u1+(2-k)u2]z2-[λ+(3+k)u1+(2-k)u2+(2-k)θ]z+λ=0,0≤k≤2

(1)

證明:采用文獻[9]的方法,設a=(3+k)u1+(2-k)u2,b=(2-k)θ,

由于方程根的判別式

Δ=(λ+a+b)2-4aλ=(λ-a)2+2λb+2ab+b2>0

當k=2時,5u1z2-(λ+5u1)z+λ=0,可得r22=λ(5u1)-1=ρ<1,r22*=1.

定理1ρ=λ(5u1)-1<1時,矩陣方程R2B+RA+C=0

(2)

有最小非負解

(3)

其中r00,r11,r22=ρ是方程(1)在(0,1)內的根.

證明:將A,B,C,R代入(2)式,整理后可得

{(3u1+2u2)r002-(λ+3u1+2u2+2θ)r00+λ=0

(4u1+u2)(r00r01+r01r11)+2θr00-(λ+4u1+u2+θ)r01=0

5u1(r00r02+r01r12+r02r22)+θr01-(λ+5u1)r02=0

(4u1+u2)r112-(λ+4u1+u2+θ)r11+λ=0

5u1(r11r12+r12r22)+θr11-(λ+5u1)r12=0

5u1r222-(λ+5u1)r22+λ=0

(4)

從而定理得證.

1.3 系統的穩態性指標

當ρ<1時,(Lv,J)表示過程(Lv(t),J(t))的穩態極限.記

定理2 當ρ<1時,(Lv,J)的分布可表為:

(5)

其中β0,…,β5是方程組(π02,π12,π22,π32,(π42,π41),(π52,π51,π50))B[R]=0的正解,常數因子可表為:

證明:先求B[R]及正左不變向量(π02,π12,π22,π32,(π42,π41),(π52,π51,π50)),

代入方程組可

1.4 條件隨機分解結果

典無休假M/M/5的等待顧客數,附加隊長Qd有PGF(概率母函數)

常數σ可表示為:σ=β50+δ(I-H)-1ξ.

證明:將R和β5的分塊表示代入πk=Kβ5Rk-5,k≥5,可得:

于是,條件隨機變量Qv(5)的分布可表示為:

(6)

對(6)取PDF,我們有

定理4ρ<1時,對條件等待時間Wv(5)可隨機分解為Wv(5)=W0(5)+Wd,其中W0(5)對應經

典無休假M/M/5的條件等待時間,附加延遲Wd有LST:

于是Wv(5)的LST可計算如下:

由定理3和定理4的隨機分解結果,可給出下列均值公式:

取λ=0.7,θ=0.3,u1分別為0.5,0.6,0.7,得到平均附加隊長和平均附加延遲隨備用服務臺的服務率的變化情況圖2與圖3所示.

圖2 平均附加隊長隨備用服務員服務率的變化

圖3 平均附加延遲隨備用服務員服務率的變化

2 結束語

在5個服務臺異步休假排隊系統的基礎上引入2個備用服務臺,利用擬生滅過程和矩陣幾何解得方法給出了在服務臺全忙條件下隊長和等待時間的條件隨機分解,以及忙期的概率,平均附加隊長的母函數和附加延遲的LST,并通過MATLAB刻畫出備用服務率以及休假策略對系統的影響,為實際中出現此類模型的研究提供了理論依據.