創設應用導向的校本數學課程

◇李孟柔

我校校本數學課程基于兩方面的考慮：一方面，要響應世界各國培養學生數學素養的趨勢，著重培養學生能將生活中所遇到的問題轉化成數學問題并解決它，能欣賞數學的美，對數學有正向的態度；另一方面，要改善我校學生對數學的態度與學習信心不足的現象，達成把每一個學生帶上來、適性揚才的重要理念。

一、課程區塊與課程主題

應用導向的校本數學課程具體規劃為三個課程模塊及六個課程主題。三個課程模塊按照情境學習的脈絡分別是：數學問題游戲化、數學問題概念化、生活問題數學化。六個課程主題按照學習內容分別是：數學游戲、數學繪本、建構反應、數學奠基、數學步道、生活數學。各課程主題培養學生的能力與態度簡述如下。

1.數學游戲主題：

（1）能激發主動學習數學的動機。

（2）能應用探究窮盡、逆向思考、合理性高層次解題策略。

（3）能轉化數學解題策略，作為完成游戲任務策略。

2.數學繪本主題:

（1）能增強興趣、降低對數學的枯燥感。

（2）能在閱讀過程中探索數學的奧妙。

（3）能將數學知識與繪本擬真情境聯結。

3.建構反應主題:

（1）能鞏固數學概念。

（2）能破除迷思概念。

（3）能養成獨立思考、自我批判、溝通表述的能力。

4.數學奠基主題:

（1）能奠定學習教材內容的具象經驗。

（2）能引發對數學知識的好奇心、挑戰感。

（3）能透過操作理解數學概念。

5.數學步道主題:

（1）能從校園情境中汲取數學知識。

（2）能借助校園的景物，提高學生的學習興趣，促使學生主動學習。

（3）能在校園環境中獲得與生活相關的數學能力。

6.生活數學主題:

（1）能聯結數學概念和生活情境。

（2）能在生活情境中應用數學知識。

（3）能擴展數學知識視野。

二、各年段學習目標

基于應用意識的進展及課程主題的安排，決定各年段學習目標。一、二年級重點是動手操作與發現關系；三、四年級重點是分析、理解與應用；五、六年級重點是推理、解讀、表征與陳述。學習目標為了滿足教學單元及教材的需求，再依照數學內容，分別以“數與量”“空間與形狀”“關系”“數據與不確定性”逐條說明，更符合老師教學設計的需求。學習目標規劃如表1所示。

表1 各年段學習目標一覽表

三、校本數學課程教學示例——二年級“建構反應”主題中的“數量關系”單元

（一）單元目標。

1.知識：透過表征物(紙幣)解決整數化聚的生活問題。

2.應用：轉化情境問題，應用數學思維，理出數量關系。

3.溝通：利用符號表征想法，口頭分享，并透過討論，了解他人的想法。

（二）教學活動實錄。

1.引入階段：教師引入探究問題的情境，利用關鍵性問題，引導學生從題目中提取數學信息，并確認學生是否了解任務。

（1）引入問題情境。

小明、小美要去游泳，將錢交給小玉保管，小玉連同她的錢放在一起。游泳結束后，請按照他們提供的線索，拿回他們原本的錢。（如圖1）

圖1

（2）分析題意、縮小范圍。

師：我們先找出小明的錢幣組合，誰來幫小明讀一讀他的線索？

生：我有20元，全部都是“元”的紙幣，而且至少有1張10元紙幣。

師：我們學過我國有這些種類的錢幣（屏幕上出現各種錢幣，如圖2），一一組合找出小明錢幣要花很長時間，所以我們先根據小明的線索，刪除不可能出現的錢幣，誰來試試看？

圖2

生：我覺得角的紙幣和硬幣都是不可能的，因為小明說“全部都是‘元’的紙幣”。

生：我覺得100元、50元的紙幣是不可能的，因為小明說他只有20元，100元及50元都超過20元。

生：我覺得20元也是不可能的。

（這時，有些學生發出“可能”的聲音）

師：老師調查一下，覺得小明的錢幣中，“不可能”出現20元紙幣的同學舉手。覺得“可能”出現20元紙幣的同學舉手。

（這時老師在進行形成性評價，評價學生是否了解題目中“至少有1張10元紙幣”的意思，以便進行下一階段的教學）

師：請覺得小明的錢幣中，“可能”出現20元紙幣的同學說說你的看法。

生：因為小明說他有20元，所以給他1張20元紙幣就剛好了。

師：針對這個同學的說法，誰有不同的看法？

生：雖然小明說他只有20元，但是他還有另一個條件“至少有1張10元紙幣”，因此如果他有1張20元紙幣，他的錢就滿了，就不能有10元紙幣了，可見20元紙幣是“不可能”出現的。

師：剛才覺得“可能”出現20元紙幣的同學，你們認同他的說法嗎？

生：認同。

師：同學們很棒，經過大家的討論，我們已經將小明可能有的錢幣縮小范圍了，小明的錢幣只可能由10元、5元、1元來組合。

2.探索階段：提問或提示，來引導學生探索問題。

（1）圖像表示、尋找規律。

圖3

（2）自我探究：學生個別解題。

教師巡視，并針對不同程度的學生，適時給予提示語，協助學生進行探究。

①對低成就學生的提示語。

a.小明至少有1張10元紙幣，所以畫了1張10元紙幣后，還差幾元？

b.還差的10元如何用10元、5元、1元紙幣來表示呢？

②對高成就學生的提示語。

a.你是如何找出這幾種組合的呢？

b.除了這幾種組合，你是如何判斷沒有其他組合了？

（3）分組探究：請同桌2人一組，互相討論，討論問題如下。

①你如何有規律地找出這幾種組合？

②你如何說明就只有這幾種組合？

3.分享討論階段：學生分享和說明探索的結果后，教師引導學生歸納結論。

（1）學生分享和說明探索的結果。

老師拿“有錯誤錢幣組合的學生白板”“錢幣組合不足4種的學生白板”“錢幣組合有4種的學生白板”到臺前。

師：（面向有錯誤錢幣組合的學生）現在我們先請這個同學說明他的組合方法。

生A：小明有20元，所以我畫出4張5元紙幣。

師：同學們對他的畫法有什么看法？

生B：我覺得有問題，因為小明說他“至少有1張10元紙幣”……

（生B未說完，剛才發言的生A舉手，我立即請生A發言）

生A：我知道哪里錯了，我沒有畫出10元紙幣。

師：老師覺得生A很勇敢，能勇敢承認自己的錯誤，大家給他掌聲。

師：你能上臺修改成正確組合方式嗎？

（生A上臺將2張5元紙幣擦掉，畫成1張10元紙幣）

師：你為什么要將2張5元紙幣擦掉，畫成1張10元紙幣？

生A：因為小明的線索中，提到他至少有1張10元紙幣，我剛才忽略了這條信息，所以我把2張5元改成1張10元，就符合小明的說法了。

師：你真是太棒了，不僅知道自己的錯誤，還能及時修正。

師：因為小明提供的線索中至少有1張10元紙幣，就表示他一定會有1張10元紙幣。我們在找小明錢幣組合時，可以先畫1張10元紙幣，再湊成20元。

師：（面向錢幣組合不足4種的學生）現在我們來看看這個同學所畫出的錢幣組合。他畫出3種組合方式。這3種方式都正確嗎？

生：（齊）正確。

師：跟他白板上所畫的方式比較看看，有哪些組合跟你一樣？

師：除了這3種組合方式，你還有其他組合嗎？

生：我還有1種組合方式，是1張10元、1張5元、5張1元。

師：（問白板的作者）你覺得他的組合方式正確嗎？

生：正確，我漏掉了5元和1元的組合。

師：很好，現在我們找到4種組合方式，就像這張白板所畫的。

（將錢幣組合有4種的學生白板貼在黑板上）

師：小明的錢幣組合要怎樣找才不會有遺漏呢？我們來聽聽他是如何找到這4種組合方式的。

生：因為小明說他至少有1張10元紙幣，所以我就先畫1張10元紙幣，剩下的10元，再用10元、5元、1元排成，由大的紙幣慢慢換成小的紙幣，就找到這4種組合方式了。

師：大家想一想，只有這4種組合方式嗎？你怎么確定沒有第5種組合方式了？

生：因為剩下的10元，就只有1張10元、2張5元、1張5元及5張1元、10張1元這4種變化而已，所以沒有第5種方式了。

（2）引導歸納。

師：從小明的線索中，我們可以得到一個已知信息“至少有1張10元紙幣”。所以我們可以先給小明1張10元紙幣。由此可以引發出一條內隱的信息“還差10元”，再由10元、5元、1元錢幣的換算，就可以找出小明的錢幣有以下4種組合了。（如圖4）

圖4

（3）分析圖表、自創線索。

師：單從小明的這條線索，只能知道小明的錢幣有4種可能的組合。有誰能增加一條線索，就可以確定小明的錢幣是哪一種組合？

生：小明的錢幣里有2張5元，就是第二種組合。

生：小明的錢幣里只有1張5元，就是第三種組合。

生：小明的錢幣里只有2張紙幣，就是第一種。

師：最后小明想起一條線索，他說他總共有7張紙幣。所以他的錢幣是哪一種組合？

生：第三種。

4.延伸應用階段：提供另一情境，鞏固學生數學概念，激發學生思考，檢驗把所學知識遷移到另一情境的能力。

師：找到小明的錢幣組合后，現在根據小美提供的線索，請你找出小美的錢幣組合，寫在活動記錄單上。（如圖5）

(學生個別解題，老師巡視，并適時進行個別指導。利用此建構反應題，在類似的情境脈絡下，評價學生是否能應用本節所學知識與策略完成解題)

圖5

5.結論階段：指導學生總結學到什么概念、方法及關鍵的想法。

師：從這節課你學到了什么？(如圖6)

圖6

師：你如何利用題目已知信息引出內隱信息？

已知信息 內隱信息10元、5元及1元的紙幣至少都有1張還差多少錢( )元第一種第二種第三種第四種信息組合

師：你如何應用內隱信息解決問題？

四、本節教學思維剖析

1.提取題目信息，與數學知識聯結。

本節課利用語文課的閱讀理解策略中“提取信息”的方法，從小明及小美所提供線索中，提取與數學知識相關的信息，轉化成數學問題，利用數學思維解題。例如：

（1）小明只有“元”的紙幣：與錢幣的種類元、角、分聯結，剔除角幣、分幣。

（2）小明有20元：與幣值大小比較，剔除100元及50元紙幣。

（3）小明至少有1張10元紙幣：考慮總數與部分間的關系，總數20元，又要符合“至少有1張10元紙幣”條件，所以20元紙幣就不可能有了。

2.利用圖像表征，簡化數學記錄。

3.察覺已知信息，推論內隱信息。

從題目表面上所提取的已知信息不足以解決問題時，學生必須仔細推敲如何從已知信息推論出內隱信息，以幫助解題。本節提供給學生“小明有20元，且至少有1張10元紙幣”的信息，學生只要將總數20，減掉部分10，還差10，再利用10、5、1有規律湊出，就能應用10、5、1三個數之間的化聚關系解題。

4.窮盡所有可能，尋求數學規律。

人的思維都是從嘗試開始，在不斷的嘗試中，期望找到所有可能，才有尋找規律的需求感，才有應用“10、5、1三數化聚關系”數學知識的迫切性。本節創設兩種可能的情境：一是10元、5元、1元可能出現在小明的錢幣組合中；二是小明的錢幣組合有4種可能，要將小明錢幣組合的可能性變成確定性，就讓學生化身為情境中的主角小明，由學生自創一條線索，就使得小明錢幣組合變成確定的。體會有時可能與確定就在一線之間。

5.借建構反應題，達形成性評價。

本節利用建構反應題將數學教學與評價相結合，先收集全體學生的解題結果，再通過學生討論、教師反饋來鞏固和修補學生的數學概念。并以建構反應題作為小型任務，進行形成性評價教學活動，可以掌握全體學生的解題狀況，借助學生不同解法的分享討論多元解題思維，提升解題的溝通和表征，產生有意義、有思考的學習，這就是本校校本數學課程要帶給學生的學習中心思想。