用表格法解決初中數學應用題的研究實踐

徐 妍

（廣東省中山市黃圃鎮中學，廣東 中山）

一、問題的提出

初中數學應用題是學生普遍感覺到難的問題。筆者曾做過調查，兩個班90名學生，愿意做應用題的不超過20人，喜歡做的更是少之又少。有些學生在小學就已經對應用題產生畏懼心理，看到較多文字就已感到束手無策。很多人只是通讀文字而不能理解意思。升入初中后，由于應用題的難度逐漸提高，隱含的邏輯關系更加復雜，再加上初中理解應用題的一般方法是設未知數、列方程，這就更使得學生感到極大的不適應，對應用題的畏懼感也與日俱增。具體表現為：①設未知數時，用未知數來表示相關量不熟練；②抓不住等量關系；③找出等量關系后又不會列方程；④分析問題時，缺乏整體意識等。

二、研究實踐

1.研究設計

（1）研究界定

表格法：就是通過列表理清有關列方程（組）解應用題的題目中的各條件和各數量之間的關系，從而幫助解題者審清題目的一種方法。表格由M行N列所組成，而其中每格中的數據可稱為表格中的元素。表格具有簡潔、直觀、系統和有趣的優點，能化繁為簡、化難為易，對比性強，一目了然。

初中數學應用題：應用題是將所學知識應用到實際生活實踐的題目。應用題一直都是數學學科的重點和難點，目前教學大綱對學生解答應用題的能力提出了較高的要求。我們將研究范圍限定于初中學段的數學應用題。

（2）研究方法

經驗總結法、實驗法、個案研究法。

2．研究實施

（1）表格建模

基于經驗總結法，將初中數學應用題歸類，進行表格建模。得到表1。

匹配問題：物品一 物品二每數共調配問題：情況一 情況二原有調配現有積分問題：情況一 情況二勝負平總計

表1 初中數學常見的七類應用題表格模型

（2）表格法應用實驗

選取任教的兩個班級作為實驗對象，前測分數均值基本相當，可以認為學生的學習能力和學習水平基本相當，一個班為實驗組，另一個班為對照組。教學內容為初中數學的典型應用題，教學結束進行后測。

表格模型的應用步驟分兩步：

一審題，確定本題屬于哪一類型題目，包括行程問題、工程問題、數字問題、利潤問題、匹配問題、調配問題、積分問題。

二填表，先填上已知關系量、再確定設未知量，然后表示其他相關量，并找出已知條件中表示等量關系的一個語句，列出方程，將表格填寫完整。

（3）表格法應用法則

筆者和學生一起總結出了“三二一”法則。以下列舉“三二一”法則的應用。

例1行程問題：某班的學生到距學校15千米的地方秋游，一部分學生騎自行車先走，40分鐘后，其余學生乘汽車去，結果同時到達，已知汽車的速度是自行車的三倍，求汽車的速度。

三個量：路程、速度、時間。

兩種情況：乘汽車的學生、騎車的學生。

一個等量關系：騎車學生的時間－乘汽車學生的時間＝40分鐘。

將找到的“三二一”填入表格并完善。（設騎車速度為x）

表2 表格法應用示例1行程問題

根據等量關系得到：15/x－15/（3x）＝2/3。

例2工程問題：一件工作，甲單獨做6小時完成，乙單獨做12小時完成，丙單獨做18小時完成，若先由甲、乙合做3小時，然后由乙丙合做，問乙丙還需幾小時完成。設乙丙還需x小時完成。

三個量：工作量、工作效率、工作時間。

鑒于不同模式的矩陣對環境有不同的適應性和選擇性，必須要從職責分工、系統支持和團隊文化等方面進行密切配合。①明確總體、專冊所在專業處及專業室、設計院總部和專業處副總工程師的職責分工，強調總體在數據管理、計劃編制和執行管理，以及進度控制方面的職責，并在生產指揮上給總體以充分授權，全力維護總體指令的權威；②加強勘察設計信息化建設，保證總體能夠對設計計劃、設計流程、設計任務與人員的匹配、設計資料互提等進行全過程管控，努力實現各專業網上協同設計和管理信息化；③培育開放式的內部文化，倡導各專業處及專業室之間、總體組內部建立良好的橫向溝通協作文化，為總體開展優質高效的溝通奠定基礎。

兩種情況：甲乙合作、乙丙合作。

一個等量關系：工作量之和等于1。

表3 表格法應用示例2工程問題

根據等量關系得到：3（1/6+1/12）+（1/12+1/18）x＝1。

例3匹配問題：某車間28名工人生產螺釘和螺母，每人每天平均生產螺釘12個或螺母18個，一個螺釘要配兩個螺母。為了使每天的產品剛好配套，應該分配多少名工人生產螺釘，多少名工人生產螺母？

設生產螺釘的工人數為x。

三個量：每名工人生產數量、工人數、總生產數。

兩種情況：螺釘、螺母。

一個等量關系：螺母數量是螺釘數量的2倍。

表4 表格法應用示例3匹配問題

（4）表格法應用效果

將測試分數進行比較，講授了表格法的實驗組與未講授表格法的對照組分數存在顯著差異，實驗組平均分明顯高于對照組。選取A班中的某生C講授表格法前后分數也有明顯差異，前三次測驗平均分81.67，后三次平均分94.0，提高了12分。學會表格法解應用題之后，面對應用題測試，學生變得明顯輕松自信，效果明顯。實驗證明，學生應用表格法能夠比較快樂地、高效地解決數學應用題，收效良好，很好地突破了這個難點。

表5 A班某生C應用題測驗成績

（5）表格法應用小結

實踐發現，表格法的優點表現在：

①幫助學生讀題，攻破“題意關”。

應用題一般涉及的數量關系較多，關系復雜，學生有時讀了很多遍題，仍覺大腦一片空白，不知所云。通過列表，學生可將題目背景中所涉及的已知數量和未知數量進行梳理，并將其分門別類，展示在表格中，讓學生對題目的中心思想有一個準確的把握，攻破“題意關”。

②幫助學生分析，攻破“思路關”。

列出表格后，下一步重要工作就是要將相關數量用代數式表示出來。學生會將題中的已知數量直接填寫在表格內，對于未知數量，學生會考慮選擇哪個未知量設未知數，其余量又如何用含未知數的代數式表示。這無形中給學生提供了思維的順序，幫助學生理清思路。

③幫助學生尋找隱性等量關系，攻破“難點關”。

有一些應用題其等量關系很明顯，我們稱之為“顯性等量關系”，這種等量關系學生在讀題后很容易找到；有些等量關系隱含在題意之中,我們稱之為“隱性等量關系”，這種等量關系學生不易找到。借助表格，找“隱性等量關系”往往事半功倍。

在表格法的實際應用過程中，學生表現出如下一些問題：

①部分學生語文理解能力較差，當題目中出現了很多量，學生就分不清應用哪個模型。即使能分清用哪個模型，有時也無法識別哪個數代表的是哪個量，最終導致無法順利填表。

②表格法解應用題大多數時候是豎著表示，橫著列式。部分學生會思維固化，遇到豎著列式的題時不會變通。

③雖然草稿上已經理清等量關系，但有學生因為原來的思維設錯未知數，最終導致解題錯誤。

④當表格中的情況分成幾個階段時，就會出現表格中套表格的情況，這個時候學生不容易處理。

三、研究小結

1．創新之處

在以前解應用題的過程中，學生的解題習慣比較容易停留在“想”上，但又想不清楚。通過表格法，可以把自己思考的過程明明白白地寫出來，看得見，“無形”變“有形”。抽象的關系變為具體的符號，有利于自己判斷審題是否正確。實踐證明，在應用題的教學中運用表格的分析方法是分析數量關系、解決問題的有效途徑，它讓已知的、未知的量都參與到了解決問題的核心——列關系式，這是用算式解法無法比擬的優勢。

表格法的創新之處在于，幫助學生將應用題中所蘊含的邏輯順序、邏輯關系理順、理清，從而極大地降低解題難度，使得學生解應用題變得輕松而富有成就感，大大提高學生的學習自信。

2．存在的問題

表格法的創新，大大降低了應用題的解題難度。但也出現了一些問題：

（1）有部分學生思維固化，只會套用模型，不會自己獨立分析，以基礎較薄弱的學生居多。因此，應用表格法時，不能忽略學生解題能力的培養。學生的解題能力用題海戰術、死記硬背的機械記憶是培養不出來的。不應強求學生對表格模型的機械記憶，而應強調的是表格模型的理解與運用。應倡導的是“授之以漁”，而非“授之以魚”。實際表現看，學生解題的錯誤，一般是由于理不清應用題中的邏輯關系造成的，表格法恰恰可以幫助學生理順其中的邏輯關系，這才是表格法的意義所在。

（2）學生都有多年積累的經驗，特別是對于基礎較好的學生，用最簡單、最易操作的方法來解決問題，并不一定強求用表格法。學生的解題方法是悟出來的，而非教出來的。解決問題的策略是多樣化的，只要“殊途同歸”就好。