趙馨妍(重慶市育才中學校高2019級,重慶)
在目前的高中數學教學中,橢圓標準方程的運用非常廣泛,同時也是高考考查的熱點和難點。橢圓方程的運用經常與其他內容綜合考查,要求學生要深入理解橢圓方程的意義和推導過程。只有掌握了為什么,才知道怎么做。對橢圓標準方程的推導有很多方法,例如可以運用坐標法求動點軌跡方程的方法,借助等差數列的方法,三角換元的方法等來求。下面我們具體的對坐標系法推導橢圓軌跡方程的辦法進行了闡述,希望能幫助大家理解,更好的在實踐中運用。
如圖,建立直角坐標系,使x軸經過點F1,F2,并且點O與線段F1F2的中點重合。
設 M(x,y)是橢圓上任意一點,橢圓的焦距為 2C(C>0),那么焦點 F1,F2的坐標分別為(-C,0)(C,0).
又設點M與F1,F2的距離的和等于常數
由定義可知橢圓就是集合
將這個方程移項后兩邊平方,得
上式兩邊再平方得=a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
整理得(a2-c2)x2+a2y2=a(2a2-c2)
由橢圓的定義知 2a>2c,a2-c2>0
令a2-c2,代入上式得b2x2+a2y2=a2b2
這個方程就是橢圓的標準方程,它所表示的橢圓焦點在x軸上。
橢圓面積公式在高中數學中也是橢圓部分運用公式之一,其定理:如果一條固定直線被甲乙兩個封閉圖形所截得的線段比都為k,那么甲面積是乙面積的k倍。橢圓面積公式的推導可以采用三角代換法、參數方程法、極坐標法、分部積分法等方法。橢圓面積公式的推導方法很多,下面我們選取了比較簡單的一種方法來具體闡述。
推導:分析可知,在一個圓柱上作一斜截面可得一橢圓面
設圓柱oo1的底面直徑AB′=2b,斜截面橢圓的長軸長AB=2a,橢圓面M′與圓柱底面M所成角為,將橢圓圓周n+1等分,設其分點分別為 P′1、P′2、…、P′i、P′1+i、…、P′n、P′1+n,在底面圓周上的射影分別為 P1、P2、…、Pi、P1+i、…、Pn、P1+n,分別連結點 A、P′1、P′2;A、P′2、P′3;、…;A、P′i、P′1+i;…;A、P′n、P′1+n及點 A、P1、P2;A、P2、P3;…;A、Pi、P1+i;…;A、Pn、P1+n。設橢圓面的面積及圓柱底面面積分別為S′、S,因為圓柱底面面積 S′=πb2.
且b=acosa,則仿定理2(若一平面圖形M′是另一凸平面圖形M的射影,且凸平面圖形M與射影平面圖形M′所成角為a,則射影平面圖形M′的面積與凸平面圖形M的面積比為cosa.)可證
因此橢圓的面積公式為S=πab.(其中a、b分別是橢圓的長半軸、短半軸的長).
焦點弦長公式指直線與圓錐曲線相交所得弦長d的公式。直線與圓錐曲線的位置關系是平面解析幾何的重要內容之一,也是高考的熱點,反復考查。直線與圓錐曲線公共點的個數問題、弦的相關問題(弦長問題、中點弦問題、垂直問題、定比分點問題等)、對稱問題、最值問題、軌跡問題等都是高考考查的熱點,掌握焦點弦長公式的推導過程有助于幫助大家加深理解和認識,在各種考察點中靈活運用,提高解題的效率,為高考奠定基礎。下面我們以一個例題開始對橢圓焦點弦長公式進行推導。
直線直線L過右焦點,則可以假設直線為:x=my+c(m不等于0)
代入上式得:(b2m2+a2)+2mcb2y+b2c2-a2b2=0
整理得(b2m2+a2)y2+2mcb2y-b4=0
(2)若=90°,則 m=0,
當且僅當m=0時,過焦點弦長最短
橢圓部分有很多的定理和公式,其中有的更是高考考查的熱點和難點問題。通過對橢圓公式的推導,希望能幫助大家更好地掌握橢圓性質和定理,在解題中能夠更加靈活的運用。