求生成子空間的交的一種方法

陳之輝

(滄州師范學院 數學與統計學院，河北 滄州 061001)

研究線性空間的子空間，經常會遇到子空間的交和子空間的和．如果V是數域F上線性空間，V1和V2是V的子空間，那么V1與V2的交V1∩V2和V1與V2的和V1+V2也是V的子空間．如果V1是由V中向量α1，α2，…，αt生成的，V2是由V中向量β1，β2，…，βs生成的，即

V1=L(α1，α2，…，αt)，V2=L(β1，β2，…，βs)，

容易知道，V1+V2=L(α1，α2，…，αt，β1，β2，…，βs)．那么怎樣求出V1∩V2？

定理[1][2]設α1，α2，…，αt和β1，β2，…，βs都是數域F上線性空間V中向量，

V1=L(α1，α2，…，αt)，V2=L(β1，β2，…，βs)．

取V的線性無關的向量γ1，γ2，…，γn，又設

(α1，α2，…，αt)=(γ1，γ2，…，γn)A，(β1，β2，…，βs)=(γ1，γ2，…，γn)B，

其中A是n×t矩陣，B是n×s矩陣．作齊次線性方程組

(A，-B)X=0，

其中X=(x1，x2，…，xt，y1，y2，…，ys)T．

如果該齊次線性方程組只有零解，那么V1∩V2={0}．

如果該齊次線性方程組有非零解，求出它的一個基礎解系η1，η2，…，ηk，其中

ηi=(ci1，ci2,…，cit,di1,di2,…,dis)T(i=1,2,…,k)．

以x1,x2,…，xt在每個ηi中的分量ci1,ci2,…，cit與α1,α2,…，αt作線性組合，構造向量

ξi=ci1α1+ci2α2+…+citαt(i=1,2,…,k)，

或者以y1,y2,…,ys在每個ηi中的分量di1,di2,…,dis與β1,β2,…,βs作線性組合，構造向量

ξi=di1β1+di2β2+…+disβs(i=1,2,…,k)，

那么V1∩V2=L(ξ1,ξ2,…,ξk)．

特別地，如果α1,α2,…,αt和β1,β2,…,βs都是數域F上n元數組空間Fn中向量，那么依次以α1,α2,…,αt為第1,2,…,t列作矩陣A，依次以β1,β2,…，βs為第1,2,…，s列作矩陣B即可．

證明設α1,α2,…，αt和β1，β2，…，βs都是數域F上線性空間V中向量，

V1=L(α1,α2,…，αt)，V2=L(β1，β2，…，βs)．

現在求V1∩V2．

任意ξ∈V1∩V2，有ξ∈V1，ξ∈V2，設

ξ=x1α1+x2α2+…+xtαt，ξ=y1β1+y2β2+…+ysβs，

那么

x1α1+x2α2+…+xtαt-y1β1-y2β2-…-ysβs=0．

(1)

令X=(x1,x2,…，xt，y1,y2,…,ys)T，那么(1)式可以寫成

(α1，α2，…，αt，-β1，-β2，…，-βs)X=0．

(2)

取V中線性無關的向量γ1，γ2，…，γn，并求出矩陣A，B使

(α1，α2，…，αt)=(γ1，γ2，…，γn)A，(β1，β2，…，βs)=(γ1，γ2，…，γn)B，

其中A是n×t矩陣，B是n×s矩陣，就有

(-β1，-β2，…，-βs)=(γ1，γ2，…，γn)(-B)．

于是(α1，α2，…，αt，-β1，-β2，…，-βs)=(γ1，γ2，…，γn)(A，-B)，代入(2)有

(γ1，γ2，…，γn)(A，-B)X=0，

(3)

其中(A，-B)是n×(t+s)矩陣．因為γ1，γ2，…，γn線性無關，所以得齊次線性方程組

(A，-B)X=0．

(4)

如果齊次線性方程組(4)只有零解，就說明ξ=0，即V1∩V2={0}．

如果齊次線性方程組(4)有非零解，求出它的一個基礎解系η1，η2，…，ηk，其中

ηi=(ci1,ci2，…，cit,di1,di2，…,dis)T(i=1,2,…,k),

以x1,x2,…，xt在每個ηi中的取值ci1,ci2,…，cit與α1,α2,…，αt作線性組合，構造向量

ξi=ci1α1+ci2α2+…+citαt(i=1,2,…，k)，

(5)

或者以y1,y2,…,ys在每個ηi中的取值di1,di2,…，dis與β1，β2，…，βs作線性組合，構造向量

ξi=di1β1+di2β2+…+disβs(i=1，2，…，k)．

(6)

因為ξ∈V1∩V2，所以ξ∈V1，ξ∈V2，存在c1,c2,…，ct,d1,d2,…，ds，使

ξ=c1α1+c2α2+…+ctαt，ξ=d1β1+d2β2+…+dsβs，

所以

c1α1+c2α2+…+ctαt-d1β1-d2β2-…-dsβs=0．

這說明x1=c1,x2=c2,…，xt=ct,y1=d1,y2=d2,…，ys=ds滿足(1)，進而滿足(2)、(3)和(4)，所以

η=(c1,c2,…,ct,d1,d2,…,ds)T

是(4)的解，可以由η1,η2,…，ηk線性表示．設

η=u1η1+u2η2+…+ukηk．

(7)

又設

ω=(c1,c2,…,ct)T,δ=(d1,d2,…，ds)T,

ωi=(ci1,ci2，…，cit)T,δi=(di1,di2,…,dis)T(i=1,2,…,k),

那么

這樣(5)式可以寫成

ξi=(α1,α2,…,αt)ωi(i=1,2,…，k)．

(7)式可以寫成

可見ω=u1ω1+u2ω2+…+ukωk，于是

ξ=(α1，α2，…，αt)ω=(α1，α2，…，αt)(u1ω1+u2ω2+…+ukωk)

=u1(α1,α2,…，αt)ω1+u2(α1,α2,…，αt)ω2+…+uk(α1,α2,…，αt)ωk

=u1ξ1+u2ξ2…+ukξk.

這說明ξ∈L(ξ1,ξ2,…，ξk)．可見V1∩V2?L(ξ1,ξ2,…，ξk)．

反過來，對于每個ξi(i=1，2，…，k)，考慮ηi，因為

x1=ci1,x2=ci2,…，xt=cit，y1=di1，y2=di2，…，ys=dis

滿足(4)，進而滿足(3)，(2)和(1)．于是

ci1α1+ci2α2+…+citαt-di1β1-di2β2-…-disβs=0，

即

ci1α1+ci2α2+…+citαt=di1β1+di2β2+…+disβs．

而ξi=ci1α1+ci2α2+…+citαt，所以ξi=di1β1+di2β2+…+disβs．

這說明ξi∈V1，ξi∈V2，即ξi=V1∩V2．所以L(ξ1，ξ2，…，ξk)?V1∩V2．

這就證明了V1∩V2=L(ξ1，ξ2，…，ξk)．#

當然，在這個定理中，ξ1，ξ2，…，ξk的極大無關組即為V1∩V2=L(ξ1，ξ2，…，ξk)的基．

如果V是數域F上n維線性空間，那么在應用上述方法時可以把γ1，γ2，…，γn取為V的基．

因為V1，V2都是V1+V2的子空間，所以在應用上述方法時也可以把γ1，γ2，…，γn取為V1+V2的基．例如取γ1，γ2，…，γn為α1，α2，…，αt，β1，β2，…，βs的極大無關組．

例1對于數域F上多項式空間F[x]4中多項式

f1(x)=-x2-x+1,f2(x)=x3+x2-2x-2,f3(x)=3x3+5x2-3x-6,

g1(x)=-x3+2x2+2x-2,g2(x)=2x3+2x2-2x-3,g3(x)=x3+x2-x-1,

g4(x)=6x3+7x2-7x-12．

令V1=L(f1,f2,f3)，V2=L(g1,g2,g3,g4),求V1∩V2并求其一個基．

解任意h(x)∈V1∩V2，有h(x)∈V1,h(x)∈V2，設

h=x1f1+x2f2+x3f3，h=y1g1+y2g2+y3g3+y4g4，

那么

x1f1+x2f2+x3f3-y1g1-y2g2-y3g3-y4g4=0．

(8)

令X=(x1,x2，…，xt,y1,y2,…,ys)T，那么(8)式可以寫成

(f1,f2,f3,-g1,-g2,-g3,-g4)X=0．

(9)

取F[x]4中線性無關的多項式x3,x2,x,1(它是F[x]4的一個基)，有

(f1,f2,f3)=(x3,x2，x,1)A，(g1,g2,g3,g4)=(x3,x2，x,1)B，

其中

由(-g1,-g2,-g3,-g4)=(x3，x2,x,1)(-B)，有

(f1,f2,f3,-g1,-g2,-g3,-g4)=(x3,x2,x,1)(A,-B)

代入(9)有

(x3,x2,x,1)(A,-B)X=0，

因為x3,x2,x,1線性無關，所以得齊次線性方程組(A,-B)X=0，即

解之，得其基礎解系

η1=(1，-2，2，1，0，5，0)，η2=(-2，2，-1，0，1，-3，0)，η3=(-7，8，-3，0，0，-7，1)．

令

p1(x)=g1+0g2+5g3+0g4=4x3+7x2-3x-7,

p2(x)=0g1+g2-3g3+0g4=-x3-x2+x,

p3(x)=0g1+0g2-7g3+g4=-x3-5,

那么V1∩V2=L(p1,p2,p3)．

而(p1,p2,p3)=(x3,x2,x,1)P，其中

因為P的3個列向量線性無關(是其自身的極大無關組)，所以p1,p2,p3是其自身的極大無關組，是V1∩V2的基．

參考文獻：

[1]陳之輝，張偉偉，高瑞．高等代數[M]．保定：河北大學出版社，2012．

[2]錢吉林．高等代數題解精粹[M]．北京：中國民族大學出版社，2010．