數學教學如何合理運用數學中的對稱方法

高尚斌

[摘 要] 現行的高中數學教材中，體現數學中對稱方法的內容比比皆是。教師如何挖掘教材中蘊含體現對稱方法的內容，并通過一定的教學手段和學生的數學學習活動直觀形象地概括，歸納所涉及內容的對稱性質，這樣才能使數學思維的訓練與數學方法的培養有機地結合，才能合理達成教學目標。

[關 鍵 詞] 對稱方法；數學教學；合理運用

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2018）07-0146-01

一、對稱方法的背景

自然辯證法告訴我們：世界上的萬事萬物都處在運動變化中。運動是絕對的，靜止是相對的。許多事物的運動變化狀態呈現出各種各樣的對稱特征。例如，一些植物的葉片、動物的形體；中國古代的建筑設計、工藝美術圖案；天體的固有周期運動相對于時間；地理學中的經度與時差；大量的平面圖形，空間幾何圖形相對于基本元素——點、線、面，呈現的對稱等。運用數學理論和方法定量精準地刻畫數學問題中的對稱性便產生了數學中的對稱方法。在數學課堂教學中如何有效合理地運用數學中的對稱方法，對培養學生良好的思維品質和創新性的數學能力具有十分重要的意義。

二、根據圖形對稱的特征，設計數學教學活動

1.在《平面幾何》的教學中，我們把具有軸對稱性質的一類圖形（如等腰三角形、等腰梯形、圓等）要求學生通過畫圖—折疊—剪紙等數學實驗活動，探索發現圖形關于某直線（對稱軸）兩旁的部分能完全重合。同樣，把具有中心對稱特征的圖形（如平行四邊形、圓、雙曲線等）通過翻轉180度能夠與原來的圖形重合。通過數學活動使學生加深了對軸對稱、中心對稱概念的理解和認識，為進一步探求兩類圖形的性質奠定了基礎。

2.在《平面解析幾何》的教學中，為了通過方程討論曲線（或直線）的性質，我們可以將具有關于原點對稱和坐標軸對稱的曲線對應的標準方程（例如，圓、橢圓、雙曲線的標準方程）引導學生通過分析方程中變數x與y具有的輪換對稱不變性，利用這個特征通過對方程的討論得出它們既是中心對稱（原點對稱）圖形又是軸對稱（坐標軸對稱）圖形的性質，體現了數與形的完美統一。

3.在二項式定理的教學中，利用對稱方法引導學生發現二項式系數具有等距對稱性，得出二項式系數的性質。

三、根據數學問題中字母或變量系數具有的對稱性，研究數式的性質

1.在三角函數關系式的教學中，由于許多恒等式在表達形式上具有簡單明了的對稱關系，所以，教學中通過分析對稱特征可以加深對這些公式的理解與記憶。

2.對命題及其關系，簡單的邏輯關系的教學中，一些命題的結構形式具有對稱性，例如，原命題與逆否命題可以通過它們的題設與結論的否定轉換，使復雜抽象的命題轉化為簡單具體的

命題，從而使問題得以解決。

3.根據數學美感要素中的對稱美創設課堂情境，激發學生的求知欲。數學中的對稱美從古到今充滿著數學發展的每一個角落?？v觀數學發展史，畢達哥拉斯發現的勾股定理，他認為直角三角形具有簡明和諧的對稱關系；笛卡兒創立的解析幾何，在方程與曲線之間建立了相應關系，推動了數學的發展；愛因斯坦創立的相對論，一些結論的產生是現代物理學研究中采用數學中運用平衡對稱法的范例。教學中遴選那些在數學發展史上對自然科學的發展和研究方法具有影響的內容，作為引入新課內容的“敲門磚”以此激發學生的學習興趣和探索科學的精神。例如，在講解橢圓性質時可在電腦搜集“中國大劇院”“鳥巢”“神舟七

號”的太空運行軌道等圖片，由于它們的設計風格與運行軌道具有橢圓的對稱性。在講正弦定理和余弦定理的公式推導時，可緊扣“邊與對應角正弦的比相等”“任意邊與其余兩邊及夾角的

關系”具備數學中輪換對稱式的特征，這樣，學生也能正確表述寫出其余三組公式，并加深對公式的記憶。

四、根據數學中的對稱方法，合理達成課堂教學目標

依據數學課程標準制定的課堂教學目標——知識與技能目標；過程與方法目標；情感態度與價值觀。必須突出：（1）知識目標符合課程標準——具體性。（2）教學方法符合學生易掌握的實際——可操作性。（3）有利于學生智力開發和能力提高——可檢測性。三維目標實際上是教學目標的子目標，它們既相互聯系又相互依存，因此，在課堂教學中通過創設情境、導入新課的環節讓學生觀察一些對稱圖形，動手實踐（折疊、剪紙、畫圖等）直觀感悟對稱圖形的特征。接著，在直角坐標系平面內，通過數形結合精辟分析對稱圖形的性質。當他們得出結論時，不僅感悟到學習數學的方法，而且體驗到數學活動充滿探索與創造，感受到數學的對稱美。通過練習與檢測獲得的成功與喜悅，獲得情感體驗，使不同層次學生學習數學的價值得到了體現，價值觀隨之發生了變化。

總之，數學中的對稱方法和對稱思想在數學教學中具有廣

泛的運用。從數學教學的核心目標之一即培養學生良好的思維品質和創新性的數學應用意識來看，在傳授知識的同時必須注重學生數學思想和方法的培養。因為數學中許多概念的產生、公式及定理的得出都是人們從大量的生產生活實踐及科學技術發展過程中積累的事實，通過人腦抽象思維的形式逐步呈現出來的。所以，重視數學中一些特定的數學方法——對稱方法等的數學教學有助于學生觀察能力、應變能力、猜想歸納能力的培養，對形成抽象思維能力具有重要意義，同時對中學數學教學的改革與發展具有積極的促進作用。

參考文獻：

[1]王仲春，李元中，顧莉蕾，等.數學思維與數學方法論[M].高等教育出版社，1989（11）.

[2]徐利治.數學方法論選講[M].華中理工大學出版社，2000.